Κάποτε ο μεγάλος Euler (Όϋλερ) καταπιάστηκε με το απειροάθροισμα: $1-1+1-1+1-1+ \cdots$
Την εποχή εκείνη, δεν υπήρχε ακόμη κάποιος "συστηματικός" τρόπος να αναλύονται γενικά σειρές. O Όϋλερ αντιμετώπισε το θέμα ως εξής: Αν γκρουπάρουμε τους όρους της ακολουθίας ως:
$(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \cdots$ ,τότε το άθροισμα είναι ξεκάθαρα: $0+0+0+ \cdots =0$.
Αλλά αν γκρουπάρουμε τους όρους ως: $1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \cdots$ ,τότε το άθροισμα είναι: $1+0+0+0+ \cdots =1$.
Το συμπέρασμα του Οϋλέριου ήταν πως πρόκειται για ένα παράδοξο.
Συμφωνείτε με τον Λέοναρντ; Τον είχε -ως συνήθως- δικαιώσει η παροιμιώδης διαίσθησή του; Έχουμε όντως να κάνουμε με ένα παράδοξο ή όχι; Αν δεν συμφωνείτε ,τεκμηριώστε γιατί θεωρείτε πλανεμένη την προσέγγισή του.
Συμφωνείτε με τον Λέοναρντ; Τον είχε -ως συνήθως- δικαιώσει η παροιμιώδης διαίσθησή του; Έχουμε όντως να κάνουμε με ένα παράδοξο ή όχι; Αν δεν συμφωνείτε ,τεκμηριώστε γιατί θεωρείτε πλανεμένη την προσέγγισή του.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρόκειται για ένα άθροισμα άπειρων όρων που ούτε συγκλίνει σε κάποια τιμή ούτε αποκλίνει προς το άπειρο, αλλά εναλλάσσεται μεταξύ των τιμών 1 και 0. Αν σταματήσουμε στον 2ν-οστό όρο το άθροισμα θα είναι 0, ενώ αν σταματήσουμε στον (2ν+1)-οστό όρο το άθροισμα θα είναι 1. Ο πρώτος τρόπος ομαδοποίησης που προτείνει ο Όϋλερ υπονοεί ότι σταματάμε σε ζυγό όρο και ο δεύτερος τρόπος υπονοεί πως σταματάμε σε μονό όρο. Αφού όμως οι όροι είναι άπειροι δεν ξέρουμε που πρέπει να σταματήσουμε, οπότε κατά την άποψή μου το αποτέλεσμα είναι μη αποφασίσιμο. Ο Όϋλερ ουσιαστικά λέει πως όποιος παίζει με το άπειρο μπορεί να καταλήξει σε παράδοξα συμπεράσματα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να κάνουμε το παράδοξο ακόμα πιο έντονο, έστω Σ το άθροισμα των όρων της ακολουθίας. Τότε:
ΑπάντησηΔιαγραφή1-Σ=1-(1-1+1-....)=Σ, άρα 1=2Σ, δηλαδή Σ=1/2!
Eυχαριστώ Πάνο και Στράτο για τα ωραία σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΈτσι είναι. Δεν πρόκειται για κάποιο παράδοξο ,απλώς η ακολουθία δεν συγκλίνει. Τέτοιες ακολουθίες "διαισθητικά" μπορεί να εξεταστούν μόνο με τον τρόπο που προτείνει ο Πάνος "όρο προς όρο" και να διαπιστωθεί η εναλλαγή του ορίου(άρα και η μη υπαρξή του) κι όχι με τον τρόπο που την προσέγγισε ο Όϋλερ. H "μπανανόφλουδα" αυτή του Όϋλερ (είχαν υπάρξει και κάποιες άλλες, αλλά τόσα χιλιόμετρα σκληρά που είχε κάνει σε παρθένους δρόμους που ο ίδιος άνοιγε, θα ήταν πραγματικά παράδοξο να μην είχε πατήσει και κάποια μπανανόφλουδα) δείχνει και την ανάγκη που προέκυψε για έναν αυστηρό ορισμό του ορίου και των προσεγγίσεών του , αυστηρότητα που ήρθε με τον Κωσύ και (οριστικά) με τον Βάιερστρας και τον εψιλοντικό ορισμό.
Σήμερα, ξέρουμε πως η αυστηρή προσέγγιση είναι να πούμε:
΄Εστω x(n) µια ακολουθία και ℓ ∈ R. Λέµε ότι η x(n) συγκλίνει στο ℓ και γράφουµε x(n) → ℓ ή lim x(n) = ℓ
αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n(0) ∈ N τέτοιο ώστε για κάθε n ≥ n0 έχουµε |xn − ℓ| < ε. To ℓ ονομάζεται "όριο" της ακολουθίας $x_{n}$ .
Στην περίπτωσή μας εδώ,έχουμε να εξετάσουμε την ακολουθία: $x_{n}= (-1)^{n}$ . H ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει. Αν συνέκλινε σε κάποιο ℓ, θα υπήρχε $n_{0}$ τέτοιο ώστε $\mid x_{n} -l \mid < \frac{1}{10}$ για κάθε n > n0.
Θα είχαμε ιδιαίτερα:
$\mid 1 -l \mid = \mid x_{2 n_{0} } -l \mid<1/10$ και
$\mid 1 +l \mid = \mid -1 -l \mid = \mid x_{2 n_{0}+1 } -l \mid < 1/10 $ . Άρα:
2 = |1 − ℓ + ℓ + 1| ≤ |1 − ℓ| + |1 + ℓ| < 1/5 . Άτοπο.
Όπως αναφέρει σε προηγούμενα σχόλια ο χρήστης stratos, αν δουλέψουμε με σύνολα και θέσουμε $\Sigma = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.......$ , τότε έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\begin{gathered}
1 - \Sigma = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1......) = \hfill \\
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1..... = \Sigma \hfill \\
\end{gathered} $
Άρα:
$\begin{gathered}
1 - \Sigma = \Sigma < = > \hfill \\
1 = 2\Sigma < = > \hfill \\
\Sigma = {\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}} \hfill \\
\end{gathered} $
Ωστόσο δεν είναι κάτι παράδοξο, απεναντίας είναι φυσική συνέπεια της απειρότητας και δεν είναι δύσκολο να εξηγηθεί γιατί μαθηματικά το άθροισμα δεν βγαίνει ούτε 0, ούτε 1, αλλά 0,5. Πολλοί δυσκολεύονται να καταλάβουν πως ένα απειροάθροισμα μεταξύ 1 και -1, ακέραιων αριθμών, κάνει 0,5. Ακριβώς εκεί είναι το κλειδί. Για την ακρίβεια, βλέπουμε πως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια το άθροισμα εμπειρικά, γιατί θα βοηθούσε γνωρίζοντας αν έχουμε ζυγό ή περιττό αριθμό όρων για να βάλουμε ανάλογα τις παρενθέσεις και να δούμε αν κάνει 0 ή 1. Όμως οι όροι είναι άπειροι, κι έτσι κάτι τέτοιο δεν γίνεται. Όμως αρκεί να σκεφτούμε πως φιλοσοφικά και μόνο, επειδή για να ικανοποιήσουμε τον ζήλο μας και να έχουμε μια ξεκάθαρη λύση στο πρόβλημα, παίρνουμε σαν λύση τον μέσο όρο, ή αλλιώς εκεί που συγκλίνουν οι τιμές των άπειρων όρων της παράστασης. Ακριβώς επειδή οι όροι είναι άπειροι, τα άπειρα αποτελέσματα των επιμέρους μερών της παράστασης 0,1, συγκλίνουν στο 0,5 , σε μια μέση τιμή. Πρακτικά ένα τέτοιο απειροάθροισμα δεν μπορεί να υπολογιστεί, αλλά σκεπτικιστικά και μόνο, όπως 0!=1 και παρόλο που βγαίνει μαθηματικά, δεν πολυστέκει, αλλά σκεπτόμαστε λίγο φιλοσοφικά για να το κατανοήσουμε, έτσι κι αυτή η περίπτωση, θέλει να δείξει πως όταν δουλεύεις με αθροίσματα, και θέτεις σε αυτά παραστάσεις απείρων όρων, σε τέτοια καταλήγεις, που φυσικά αφού μπλέκεις με το άπειρο, δεν μπορείς να δουλέψεις και πολύ πρακτικά αν δεν το κατανοήσεις θεωρητικά. Γενικά κάθε πρόβλημα απείρου θέλει λίγη δόση σκέψης και φιλοσοφίας, και περιορισμός πρακτικής, καθώς το άπειρο δεν είναι αριθμός που μπορείς να δουλέψεις μαζί του, αλλά κάτι άλλο... Κλασικό παράδειγμα το πρόβλημα/παράδοξο του Hilbert με το ξενοδοχείο απείρων δωματίων.
Άρα εν τέλει το ότι αλγεβρικά το άθροισμα αυτό αποδεικνύεται 0,5 , δεν συμπίπτει απόλυτα με την πρακτική λογική, αλλά είναι μια μέση συμβιβαστική λύση, που φιλοσοφικά και θεωρητικά βρίσκει μια καλή βάση.