Σε δυο φανταστικά κρατίδια, το Μποράχ και το Κοράχ, τα εθνικά νομίσματα τους, είναι αντίστοιχα το Μπορχ και το Κορχ. Στο Μποράχ, 1 Μπορχ ανταλλάσσεται με 10 Κορχ και στο Κοράχ, 1 Κορχ ανταλλάσσεται με 10 Μπορχ . Ένας νεαρός από το Μποράχ που έμενε κοντά στα σύνορα έχοντας 1 Μπορχ το αντάλλαξε με 10 Κορχ πέρασε τα σύνορα, αγόρασε ένα παντελόνι και μια μπλούζα αξίας 9 Κορχ και αντάλλαξε το Κορχ που του έμεινε με 10 Μπορχ και πέρασε ξανά τα σύνορα. Το ερώτημα που έθετε ο Northrop ήταν ποιος πλήρωσε για τα ψώνια του νεαρού καθώς και τα 9 Μπορχ που του περίσσεψαν. Η απάντηση δεν ήταν δύσκολη αν σκεφτεί κανείς ποιος πληρώνει πάντα, οι φορολογούμενοι των δυο κρατών. Ας το κάνουμε λίγο πιο δύσκολο . Ένας πονηρός έμπορος από το Μποράχ ξεκινά με 1 Μπορχ και μπορεί να μεταβαίνει ελεύθερα από την μια χώρα στην άλλη , ανταλλάσσοντας νομίσματα .Είναι δυνατόν κάποια στιγμή ο έμπορος να έχει τον ίδιο αριθμό νομισματων Μπορχ και Κορχ;
Από το βιβλίο του Α. Northrop με τίτλο: «Riddles in mathematics.»,1960
1 μπροχ/κροχ δίνει 10 κροχ/μπροχ αντίστοιχα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΙσοζύγιο:-1 +10 .Mεταβολή σχέσης κροχ/μπροχ= 11
Τα 2 δίνουν 20 . -2+20. Μεταβολή 22
Τα 3 --->30 . -3+30=33
Τα ν --->10ν .Μεταβολή -ν--->10ν =10ν+ν=11ν
Βλέπουμε πως η σχέση μεταξύ των αριθμών των κροχ και μπροχ είναι "αμετάβλητη" (invariant) mod 11. H αρχική είναι 1-0=1=1mod11 ,άρα δεν μπορεί ποτέ να γίνει 0 mod11 ώστε να ισοφαριστούν τα δύο νομίσματα.
YΓ.Εντάξει, μάλλον πήγα Αθήνα-Θεσ/νίκη μέσω Καϊρου ...μιας και μπορούμε μάλλον πιο άμεσα να σκεφτούμε πως το "κέρδος" οποιουδήποτε νομίσματος σε κάθε μετατροπή είναι 0 mod 10, άρα για να υπάρξει ισορροπία θα πρέπει να είναι ίσα τα αρχικά ποσά κροχμπροχ. :-)
To ΥΓ.μου είναι λάθος. Εκτός από ίσα τα αρχικά ποσά, μπορεί να έχουν και διαφορά 0mod11. Aν ας πούμε ο έμπορος έχει 11 ή 22 ή 11ν κροχ ,γίνεται.
ΔιαγραφήΟμοίως και στη γενική περίπτωση.
Αν ας πούμε η ισοτιμία είναι 1 προς 5 ,αρκεί να έχει ένα αρχικό ποσό από ένα νόμισμα που να είναι 0 mod 6.
Όσο για το αρχικό ερώτημα για το ποιος πλήρωσε τα ψώνια, θα έλεγα κανείς! (απ'το Μποράχ και το Κοράχ τουλάχιστον..) καθώς η πραγματική αξία των κροχ και μπροχ προκύπτει από την αμείλικτη λύση του συστήματος
ΑπάντησηΔιαγραφήx=10y και y=10x... ;-)
Γιώργο πολύ σωστά. Δεν υπάρχει ισοτιμία λόγω του ότι κάθε προσθέτουμε και αφαιρούμε πολλαπλάσιο του 11.
ΔιαγραφήΛύση
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς υποθέσουμε ότι κάποια στιγμή ο έμπορος έχει «χ» Μπορχ και «ψ» Κορχ . Αν ο έμπορος βρίσκεται στο Μποράχ και ανταλλάξει κ Μπορχ με Κορχ , τότε θα έχει:
(χ-κ) Μπορχ και (ψ+10κ) Κορχ
Η διαφορά των Μπορχ και Κορχ σε αυτή την περίπτωση είναι :
(χ-κ)-(ψ+10κ)=χ-ψ-11κ (1)
Αν ο έμπορος βρίσκεται στο Κοράχ και ανταλλάξει «κ» Κορχ , τότε θα έχει :
(χ+10κ) Μπορχ και (ψ-κ )Κορχ
Η διαφορά των Μπορχ και των Κορχ είναι τώρα:
(χ+10κ)-(ψ-κ)=χ-ψ+11κ (2)
Από την (1) και τη (2) παρατηρούμε ότι σε κάθε ανταλλαγή νομισμάτων που έγινε ουσιαστικά προσθέτουμε ή αφαιρούμε πολλαπλάσια του 11 , αρχικά όμως (χ-ψ)=1 που διαιρούμενο με το 11 αφήνει υπόλοιπο 1 . Άρα η διαφορά (χ-ψ) δεν θα γίνει ποτέ 0, δηλαδή χ=ψ. Ό,τι και να κάνει ο έμπορος δεν πρόκειται να έχει τον ίδιο αριθμό από Μπορχ και Κορχ.