Οι Οπαδοί

Σε μια εκδήλωση που πραγματοποιήθηκε για την καταπολέμηση της βίας στα γήπεδα παραβρέθηκαν μόνο οπαδοί (!) των δυο αιωνίων ποδοσφαιρικών αντίπαλων του Αλγεβρικού Αστέρα, και του Γεωμετριακού. Ομολογουμένως η προσέλευση δεν ήταν μεγάλη. Παρατηρήθηκε όμως ότι κάθε οπαδός αντάλλαξε χειραψία με ακριβώς 8 οπαδούς του Αλγεβρικού Αστέρα και ακριβώς 6 οπαδούς του Γεωμετριακού.
Οι χειραψίες μεταξύ οπαδών αντιπάλων ομάδων ήταν κατά πέντε λιγότερες από τις χειραψίες οπαδών των ίδιων ομάδων. Πόσοι ήταν συνολικά οι οπαδοί που παραβρέθηκαν στην εκδήλωση; 

Πηγή: Λύση:

Συνολικά οι οπαδοί που παραβρέθηκαν στην εκδήλωση ήταν 35. Έστω «Α» το πλήθος των οπαδών του Αλγεβρικού Αστέρα και «Γ» το πλήθος των οπαδών του Γεωμετριακού. Αφού κάθε οπαδός του Γεωμετριακού αντάλλαξε χειραψία με 8 οπαδούς του Αλγεβρικού Αστέρα το πλήθος των χειραψιών μεταξύ οπαδών των δυο αντιπάλων ομάδων είναι 8Γ. Όμως αυτό το πλήθος είναι παράλληλα και 6Α διότι κάθε οπαδός του Αλγεβρικού Αστέρα αντάλλαξε χειραψία με 6 οπαδούς του. Άρα 8Γ=6Α (1) Πόσες χειραψίες ανταλλάχτηκαν μεταξύ των οπαδών του Αλγεβρικού Αστέρα; Κάθε οπαδός του Αλγεβρικού Αστέρα  χαιρέτησε άλλους 8 οπαδούς της ίδιας ομάδας και το συνολικό πλήθος των οπαδών του Αλγεβρικού Αστέρα ισούται με Α. Αυτό μας δίνει 8Α χειραψίες, με την διαφορά ότι έχουμε μετρήσει κάθε χειραψία δυο φορές .Επομένως, το πλήθος των χειραψιών μεταξύ των οπαδών του Αλγεβρικού Αστέρα είναι: 8Α/2=4Α . Ομοίως, βρίσκουμε ότι το πλήθος των χειραψιών μεταξύ των οπαδών του Γεωμετριακού ισούται με: 6Γ/2=3Γ.Από την υπόθεση ισχύει: 8Γ+5=4Α+3Γ (2).

Λύνουμε τα σύστημα (1) και (2) και προκύπτει ότι:

8Γ=6Α (1)

8Γ+5=4Α+3Γ (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

8Γ=6Α ---> Γ=6Α/8 ---> Γ=(3Α)/4 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

8Γ+5=4Α+3Γ ---> 8*(3Α)/4+5=4Α+3*(3Α)/4 ---> 2*3Α+5=4Α+(9Α)/4 --->

4*(2*3Α+5)=4*4Α+9Α ---> 4*(6Α+520=16Α+9Α ---> 24Α+20=25Α --->

25Α-24Α=20 ---> Α=20 (4)

Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:

Γ=(3Α)/4 --->  Γ=(3*20)/4 ---> Γ=60/4 ---> Γ=15 (5)

Επαλήθευση:

8Γ=6Α ---> 8*15=6*20 ---> 120=6*20

8Γ+5=4Α+3Γ ---> 8*15+5=4*20+3*15 ---> 120+5=80+45 ---> 125=80+45

Ή

8Γ=6Α (1)

8Γ+5=4Α+3Γ (2)

Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:

8Γ+5=4Α+3Γ  ---> 6Α+5=4Α+3Γ ---> 6Α-4Α=3Γ-5  --->  2Α=3Γ-5  ---> Α=(3Γ-5)/2 (3)

Διερεύνηση:

Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων 
ριζών. Δίνοντας στο "Γ" τις τιμές από το 1 έως το N, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή  που 
ικανοποιεί  τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Α" είναι ο αριθμός   Γ=15 (4)

Αντικαθιστούμε τη τιμή του «Γ» στην (3) κι’ έχουμε:

Α=(3Γ-5)/2 ---> Α=[(3*15)-5]/2 ---> Α=(45-5)/2 ---> Α=40/2 --->  
Α=20 (5)

Επαλήθευση:

8Γ=6Α ---> 8*15=6*20 ---> 120=6*20

8Γ+5=4Α+3Γ ---> 8*15+5=4*20+3*15 ---> 120+5=80+45 ---> 125=80+45

Ή

 Λύση του halb Wesen halb Ding

6A=8Γ (1)
14*(A+Γ)/2=12Α+5 (2)

Από τη (1) συνάγουμε ότι:

6A=8Γ ---> Α=(8Γ)/6

Απλοποιούμε με το 2κι’ έχουμε:

Α=(8Γ)/6 ---> Α=(4Γ)/3 (3)

Απλοποιούμε το πρώτο μέλος με το 2 κι’ έχουμε:

14*(A+Γ)/2=12Α+5 ---> 7*(Α+Γ)=12Α+5 (4)

Από τη (4) συνάγουμε ότι:

7*(Α+Γ)=12Α+5 ---> 7Α+7Γ=12Α+5 ---> 12Α-7Α=7Γ+5 --->5Α=7Γ+5 --->

Α=(7Γ+5)/5 (5)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (5) κι’ έχουμε:

Α=(7Γ+5)/5 ---> (4Γ)/3=(7Γ+5)/5 ---> 5*4Γ=3*(7Γ+5) ---> 20Γ=21Γ+15 --->

21Γ-20Γ=15 ---> Γ=15 (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στη (3) κι’ έχουμε:

Α=(4Γ)/3 ---> Α=(4*15)/3 ---> Α=60/3 ---> Α=20 (7)

Επαλήθευση:

6A=8Γ ---> 6*20=8*15 ---> 120=8*15
14*(A+Γ)/2=12Α+5 ---> [14*(20+15)]/2=12*20+5 ---> (14*35)/2=240+5 --->

490/2=245