Το κόρνο του Γαβριήλ

Ο E.Torricelli (1608-1647) περιγράφει ένα στερεό, του οποίου η επιφάνεια είναι άπειρη και ο όγκος του πεπερασμένος. Το στερεό παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης με εξίσωση $y=\frac{1}{x}$, για $x ≥1$, γύρω από τον άξονα $Οx$.

Η μαθηματική εξήγηση του παράδοξου αυτού σχετίζεται με τις διαφορετικές διαστάσεις των ποσοτήτων που εμπλέκονται στους υπολογισμούς. Η διάσταση του μήκους είναι $1$, της επιφάνειας είναι $2$, και του όγκου είναι $3$ (π.χ. $m, m^2, m^3$ αντίστοιχα).

Όταν υπολογίζουμε τη δισδιάστατη επιφάνεια του στερεού που προέκυψε από περιστροφή του γραφήματος της $y=\frac{1}{x}$, υποθέτουμε ότι το αποτέλεσμα προέκυψε από άθροιση (ολοκλήρωση) μονοδιάστατων «δακτυλίων» των οποίων οι ακτίνες είναι ίσες με το ύψος του γραφήματος στο εκάστοτε δεδομένο σημείο. Ομοίως, όταν υπολογίζουμε τον τρισδιάστατο όγκο του στερεού εκ περιστροφής, υποθέτουμε ότι το αποτέλεσμα προέκυψε από άθροιση (ολοκλήρωση) δισδιάστατων κυκλικών δίσκων, ακτίνας ίσης με το εκάστοτε ύψος του γραφήματος.

Το παράδοξο αυτό είναι επίσης γνωστό και ως το κόρνο του Γαβριήλ (Gabriel’s corn). Ο μύθος ταυτίζει τον Γαβριήλ με τον Αρχάγγελο Γαβριήλ, ο οποίος αναγγέλλει με το κόρνο του την Ημέρα της Κρίσης, συσχετίζοντας το άπειρο με το Θείο.