Ένα κάθε φορά, τα ψάρια ψαρεύονται τυχαία και τηγανίζονται, έως ότου μείνει μόνο ένα είδος στο ενυδρείο. Ποια είναι η πιθανότητα ο Μήτσος να επιζήσει απ'αυτή τη διαδικασία; Η απάντηση να δοθεί στην απλούστερη δυνατή μορφή.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να γλιτώσει ο Μήτσος το τηγάνισμα πρέπει:
ΑπάντησηΔιαγραφήα) να ψαρευτούν πρώτα όλοι οι κέφαλοι και να απομείνουν στο ενυδρείο μόνο τ τσιπούρες, όπου 1 ≤ τ ≤ Τ και
β) ο Μήτσος να είναι μια από τις τ τσιπούρες που θα απομείνουν.
Για να συμβεί το α, θα πρέπει να έχουν ψαρευτεί Κ κέφαλοι και Τ-τ τσιπούρες, δηλαδή συνολικά Κ+Τ-τ ψάρια, από τα οποία τα Κ κέφαλοι (ή ισοδύναμα τα Τ-τ τσιπούρες). Αυτό μπορεί να συμβεί με C(Κ+Τ-τ, Κ) τρόπους, ενώ οι συνολικοί τρόποι να ψαρευτούν Κ+Τ-τ ψάρια, ανεξαρτήτως είδους, είναι 2^(Κ+Τ-τ).
Συνεπώς για να απομείνουν στο ενυδρείο τ τσιπούρες (και κανένας κέφαλος), η πιθανότητα είναι:
Ρτ = C(Κ+Τ-τ, Κ) / 2^(Κ+Τ-τ).
Για να συμβεί το β (με την προϋπόθεση να έχει συμβεί το α), η πιθανότητα είναι:
Πτ = τ/Τ.
Επομένως για να γλιτώσει ο Μήτσος, η πιθανότητα είναι:
Σ(Ρτ*Πτ), για τ από 1 έως Τ.
Να διορθώσω τον υπολογισμό της Ρτ:
ΑπάντησηΔιαγραφήοι συνολικοί τρόποι να ψαρευτούν Κ+Τ-τ ψάρια, άρα να απομείνουν τ, ανεξαρτήτως είδους, από Κ+Τ αρχικά, είναι C(Κ+Τ, τ), επομένως:
Ρτ = C(Κ+Τ-τ, Κ) / C(Κ+Τ, τ)
Θανάση, ευχαριστώ για το σχόλιο!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ερμηνεύω σωστά την ανάλυση και το αποτέλεσμά σου ,συναρτάς την πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου από το τ . Ουσιαστικά δηλαδή από τον ολικό αριθμό από τσιπούρες που είναι στο ενυδρείο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό. Μοναδική προϋπόθεση για να σωθεί ο Μήτσος (και ο οποιοσδήποτε "μήτσος=τσιπούρα" ) είναι να φαγωθούν/ψαρευτούν όλα τα Κ κεφαλόπουλα πριν η απόχη τσακώσει αυτόν. Άρα...
ΥΓ.Η πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου είναι πολύ συγκεκριμένη και εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των...
Μία μικρή διόρθωση, στην κατά τα άλλα, εξαιρετική προσέγγιση του Θανάση. Η πιθανότητα Ρτ ισούται με
ΑπάντησηΔιαγραφήΡτ = C(Τ,τ) / C(Κ+Τ, τ), και αυτό διότι για να συμβεί η (α) συνθήκη, θα πρέπει τα τ ψάρια που θα απομείνουν να είναι όλα τσιπούρες (Τ). Και αυτό μπορεί να συμβεί με C(Τ,τ) δυνατούς τρόπους.
Μία πιό διαισθητική προσέγγιση θα ήταν να πούμε ότι η πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου είναι 1/(Κ+1). Και αυτό γιατί αν ο Μήτσος ήταν η μοναδική τσιπούρα ανάμεσα σε Κ κέφαλους, τότε πράγματι η πιθανότητα να ψαρευτεί τελευταίος θα ήταν 1/(Κ+1). Η παρουσία των υπόλοιπων Τ-1 τσιπουρών, δεν επηρεάζει τις πιθανότητες που εχει ο Μήτσος να επιβιώσει μέχρι να ψαρευτεί και ο τελευταίος κέφαλος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤώρα το αν προκύπτει αυτό το αποτέλεσμα απο την ανάλυση που προηγήθηκε, είναι ένα ερώτημα. Μάλλον δεν προκύπτει και πιθανολογώ ότι οφείλεται στο γεγονός ότι τα διάφορα ενδεχόμενα που αθροίζονται (από τ=1 εως Τ), δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.
Στράτο, αυτό είναι! Μπράβο.
ΔιαγραφήΤο κλειδί είναι ακριβώς το γεγονός πως οι Τ-1 υπόλοιπες τσιπούρες είναι άσχετες(δεν επηρεάζουν) τις πιθανότητες του Μήτσου.
Ο Μήτσος σώζεται εάν και μόνο εάν και τα Κ κεφαλόπουλα ψαρευτούν πριν απ'αυτόν.
Υπάρχουν Κ+1 τρόποι να μετατεθούν τα κεφαλόπουλα κι ο Μήτσος και μόνο μία απ'αυτές (αυτή με το Μήτσο στο τέλος της ουράς...κάνει),
άρα p(Mήτσος ζει)= $1/(Κ+1)$
Αφοπλιστικά έξυπνη η σκέψη ότι ο Μήτσος γλιτώνει μόνο στην περίπτωση που έχουν ψαρευτεί πριν από αυτόν όλοι οι κέφαλοι και χωρίς άλλο οδηγεί αμέσως στην απάντηση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπράβο Στράτο!!
Υποψιάζομαι ότι η αρχική μου προσέγγιση, με κάποιες βελτιώσεις , θα μπορούσε να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά αντί για αυτό θα προτιμήσω να αρκεστώ στη μαγεία της παραπάνω λύσης.
Μπράβο και σε εσένα Γιώργο για το ωραίο πρόβλημα!
Πολύ ωραίο πρόβλημα. Το εκνευριστικό είναι το ότι δεν αντιλαμβάνεται εύκολα κανείς ότι δίνονται στοιχεία που δεν επηρεάζουν το ζητούμενο (είχα φτάσει να σκέφτομαι για ακολουθιακά σχέδια δειγματοληψίας). Αν κάποιος δεν έχει πειστεί, μια προσομοίωση μπορεί να βοηθήσει.
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://ideone.com/osarCZ
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχουν 4 κέφαλοι και 50 τσιπούρες, άρα αναμένεται πιθανότητα 1/5. Πατώντας fork μπορείτε να επαναλάβετε τη διαδικασία δίνοντας άλλο πλήθος τσιπούρων (TSI, στην τελευταία γραμμή) και να δείτε ότι η πιθανότητα δεν μεταβάλλεται.
Ωραίο το προγραμματάκι σου, Herr Halb! :-)
ΔιαγραφήΟι Πιθανότητες θέλουν (και προσκαλούν "εκ φύσεως") πράγματι το "επί τον τύπον των ήλων" τους! :-)