Ένας ωραίος γεωμετρικός γρίφος:
Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε $6$ κύκλους (όχι απαραιτήτως ίδιου μεγέθους). Έστω πως υπάρχει κάποιο σημείο $P$ το οποίο βρίσκεται αυστηρά στο εσωτερικό όλων των κύκλων.
Δείξτε πως το κέντρο ενός τουλάχιστον κύκλου από τους έξι βρίσκεται αυστηρά στο εσωτερικό κάποιου άλλου κύκλου.
Διευκρίνιση: "αυστηρά στο εσωτερικό" σημαίνει "όχι πάνω στην περίμετρο" αλλά πιο μέσα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν υπάρχει κύκλος που περιέχεται πλήρως στο εσωτερικό άλλου κύκλου, τότε αυτόματα εκεί θα βρίσκεται και το κέντρο του. Εξετάζουμε λοιπόν την περίπτωση τεμνόμενων κύκλων.
ΔιαγραφήΑς πάρουμε δύο από τους έξι τεμνόμενους κύκλους, με κέντρα Α και Β και ακτίνες ρ1 και ρ2 αντιστοίχως και έστω Ρ ένα σημείο στο εσωτερικό τής περιοχής τομής των δύο κύκλων. Εάν τα κέντρα Α και Β βρίσκονται το καθένα στο εξωτερικό τού άλλου κύκλου, τότε στο τρίγωνο ΑΒΡ η ΑΒ είναι μεγαλύτερη από τις ρ1 και ρ2, ενώ ΑΡ μικρότερη της ρ1 και η ΒΡ μικρότερη της ρ2. Επομένως, η πλευρά ΑΒ θα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και η γ.ΑΡΒ η μεγαλύτερή του γωνία, και ως τέτοια θα είναι μεγαλύτερη από 60 μοίρες.
Αν λοιπόν υπήρχε σημείο Ρ που περιέχεται και από τους 6 κύκλους χωρίς κάποιος κύκλος να περιέχει το κέντρο άλλου κύκλου, τότε από το σημείο Ρ θα έπρεπε όλες οι διάκεντροι (τα τμήματα που συνδέουν τα κέντρα των κύκλων ανά δύο) να φαίνονται υπό γωνίες μεγαλύτερες των 60 μοιρών.
Αν πάρω τώρα το 6γωνο με κορυφές τα 6 κέντρα των κύκλων που περιβάλλουν διαδοχικά το Ρ, το σημείο Ρ θα έβλεπε τις διαδοχικές πλευρές του 6γώνου υπό γωνίες που αθροίζονται συνολικά σε περισσότερες από 360 μοίρες. Άτοπο.
Πολύ όμορφη απόδειξη Θανάση!
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργη, ευχαριστώ πολύ για τα καλά σχόλια. Η λύση που παρέθεσες έχει όντως την ίδια κεντρική ιδέα με τη δική μου και είναι γραμμένη σε άψογη μαθηματική γλώσσα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια τους 'ερασιτέχνες' φίλους των μαθηματικών, στους οποίους συγκαταλέγω και τον εαυτό μου, παραθέτω παραπάνω και τη δική μου αφήγηση, που ελπίζω σήμερα να διαβάζεται χωρίς προβλήματα.