Η ερμηνεία της Στατιστικής είναι από τα πιο δύσκολα και δυστυχώς πονεμένα πράγματα στον τόσο σημαντικό αυτό κλάδο των εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Έχουμε ξανασυζητήσει αυτό το θέμα σε παλιότερες αναρτήσεις.
Μια πολύ συνηθισμένη παρανόηση και πλήθος λάθος συμπερασμάτων, προκύπτουν από αδόκιμη σύγκριση "μέσων όρων" μεγάλων πληθυσμών ή κοινωνικών ομάδων. Ας δούμε μια περίπτωση, με ένα πρόβλημα που θεωρώ χαρακτηριστικό και διαφωτιστικό, και αφορά έναν συνηθισμένο, και κατά την προσωπική μου άποψη πολύ άχρηστο για να μην πω κοινωνικά απεχθή, στατιστικό μέσο, το "δείκτη νοημοσύνης" ή Ι.Q.
ΕΚΦΩΝΗΣΗ:
Aς υποθέσουμε πως όλοι οι κάτοικοι κάθε χώρας εξετάζονται ως προς το δείκτη νοημοσύνης, το I.Q.
Aς υποθέσουμε πως όλοι οι κάτοικοι κάθε χώρας εξετάζονται ως προς το δείκτη νοημοσύνης, το I.Q.
Ας υποθέσουμε επίσης πως, για όσο διαρκεί αυτό το παζλ τουλάχιστον..., κανείς δεν γεννιέται ούτε πεθαίνει.
$1.$ Μια ομάδα/σύνολο από πολίτες της χώρας Α μεταναστεύει στη χώρα Β. Δείξτε πως το "μέσο Ι.Q" μπορεί να μεγαλώσει και στις δύο χώρες.
Σημ. Όταν λέμε "μέσο I.Q" εννοούμε για παράδειγμα πως στο σύνολο ,έστω Α={12,8,10}, δηλαδή σε ένα σύνολο τριών ανθρώπων με Ι.Q: 12, 8 και 10 αντίστοιχα, ο αριθμητικός μέσος του συνόλου καθορίζει το γενικό μέσο. Το Ι.Q του συνόλου Α δηλαδή είναι: (12+8+10)/3=10.
$1β.$ Μετά την πρώτη αυτή μετανάστευση από την Α στη Β, ένα σύνολο κατοίκων από τη χώρα Β (το οποίο μπορεί να περιλαμβάνει και πρώην κατοίκους τής Α),μεταναστεύει από τη Β στην Α. Είναι δυνατόν οι μέσοι όροι και των δύο χωρών να αυξηθούν ξανά;
$2.$ Τώρα έχουμε τρεις χώρες ,τις Α, Β και Γ. Μια ομάδα πολιτών μεταναστεύει από την Α στη Β και μια ομάδα πολιτών της Β μεταναστεύει στη Γ. Σαν αποτέλεσμα, το μέσο I.Q και στις τρεις χώρες μεγάλωσε! Κατόπιν η μετανάστευση ακολούθησε την αντίστροφη πορεία. Κάποιοι πήγαν από το Γ στο Β, και από το Β στο Α. Μπορούν οι μέσοι όροι και των τριών χωρών να αυξηθούν ξανά;
Αν ναι, αποδείξτε το ή δώστε ένα παράδειγμα. Αν όχι, γιατί όχι;
ΥΓ. Θα πρότεινα σε όποιον θέλει να ασχοληθεί να δουλέψει αν θέλει με μικρά σύνολα και αριθμούς για ευκολία.
Να πω εκ των προτέρων πως δεν θα εκφράσω στην αρχή αξιολογική κριτική επί των σχολίων ,για λόγους διατήρησης του ενδιαφέροντος. Έτσι ,μια άποψη -απάντηση που δεν θα σχολιαστεί, δεν σημαίνει πως είναι σωστή ή λάθος και όλοι όσοι θέλουν μπορούν να εκφράσουν την προσέγγισή τους. Δεν είναι βέβαια το ίδιο με το να είναι κρυφά τα σχόλια, αλλά είναι θεωρώ ό,τι καλύτερο μπορώ να κάνω, (Στέλιο. :-) )
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξυπακούεται πως σε απορίες/διευκρινίσεις (αν και δεν νομίζω οτι χρειάζονται) το μαγαζί απαντάει! (όταν είναι ανοικτό. :-) )
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ μέσος όρος των δυο (ή τριών ή ν) είναι πάντα σταθερός.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε μια μετακίνηση μπορεί να αυξηθεί το IQ και των δυο (ή περισσότερων) κρατών, αλλά θα αυξηθεί ο πληθυσμός του κράτους με το μικρότερο IQ.
Για να συμβεί αυτό, πρέπει αυτοί που θα μετακινηθούν από κράτος σε κράτος να έχουν μο IQ που να βρίσκεται ανάμεσα στους μέσους όρους των κρατών από τα οποία μετακινήθηκαν. Εάν το Α έχει μο 6 και το Β έχει μο 5, εάν αυτοί που θα μετακινηθούν έχουν μο μεταξύ 5 και 6 θα αυξηθεί και ο μο του Α και του Β. Αυτό όμως αποκλείει το να αποκτήσει το Β μεγαλύτερο μο από το Α επομένως το αντίστροφο είναι αδύνατον.
καλησπέρα κι απο εμένα, θα το παίξω άλλιως!!! αυτη τη στιγμη είμαι στο πανεπιστήμιο μόλις τάραξα κάποιες πρωτεινες μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο , άρχισα να δουλευω την αναλυση μου, οπότε αναγκαστικά θα σκεφτώ το πρόβλημα το βραδάκι, έτσι δεν θα ξαναμπω στον ιστότοπο διότι θα δω την λύση, αν καταφέρω και το λύσω και διαβάζοντας τα σχόλια όλλων σας διαπιστώσω πως έχω κάτι ενδιαφέρων να πω θα στείλω, δεν υπάρχει πρόβλημα εσείς μπορείτε να σχολιάζεται τον γρίφο και να στέλνεται λύσεις , πλάκα έκανα πριν , δεν διαμαρτύρομαι!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήλοιπόν με το μισό μυαλό στις πρωτείνες και το άλλο μισο σε αυτό το ενδιαφέρον πρόβλημα (τι το ήθελε και το δίαβασα!) προτείνω κάτι που μου ήρθε τώρα!. Εστώ 2 χώρες μεγάλου σχετικού πληθυσμού, Α , Β (ΟΙ ΧΩΡΕΣ) διαιρώ την Α σε ν σύνολα χωρίς να μας ενδιαφέρει το μεγεθος του κάθε συνόλου, όμως επειδή η χώρα Α έχει μεγάλο πλυθησμό η διαίρεση μπορεί να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε το πρώτο σύνολο να έχει μεσο όρο iq έστω ε, το δευτερο σύνολο 2*ε και το νιοστο ν*ε, άρα το μέσο iq της Α είναι ε*(ν+1)/2 , έστω τα ίδια ισχύουν για την Β όμως το 1 σύνολο έχει iq ε'#ε άρα μέσο όρο ε'(ν+1)/2 , ΄τωρα το καλό!!! έστω το κ σύνολο απο την Α χώρα με ιq φυσικά κ*ε μεταναστέυει στην Β άρα το μέσο ιq της Β γίνεται τώρα (ε΄(ν+1)/2 +κε)/2 > έ(ν+1)/2, για να ισχύει η παραπάνω ανισότητα επειδή ν+1>κ πρέπει ε'>ε δηλαδη το πρώτο σύνολο της Β χώρας να είναι ποιο έξυπνο απο το 1 σύνολο της Α ,άρα γίνεται σε αυτή την περίπτωση να αυξηθεί το ιq της Β χώρας.
ΑπάντησηΔιαγραφήπως σας φαίνεται σαν πρώτη ιδέα η αναλυση μου;
συγνώμη ήθελα να πω ε>ε' και και νομίζω πως για να ισχύει ακι το αντίστροφο δηλαδη να αυξηθει και το ιq της Α χώρας αρκει να φύγει απο την Α το πρώτο συνολο, το οποίο είναι πιο έξυπνο απο το 1 σύνολο της Β χώρας! άρα γίνεται
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε τρία κράτη έχει ενδιαφέρον, αλλά πάλι δεν γίνεται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω IQ Α>Β>Γ.
Μετακομίζοντας μερικοί από το Α στο Β μπορεί να αυξηθεί το ΙQ και των δυο, το ΙQ των Α θα εξακολουθεί να είναι μεγαλύτερο.
Μετακομίζοντας τώρα μερικοί από το Β στο Γ, μπορεί το IQ των Β να περάσει το ΙQ των Α.
Το Γ όμως δεν θα περάσει το Β.
με άλλα λόγια αν κάθε σύνολο της Α χώρας είναι πιο έξυπνο απο κάθε σύνολο της Β χώρας και μετανεστευσει το πιο χαζο σύνολο της Α στην Β τότε το iq των 2 χωρών αυξάνεται , νομίζω είναι και λογικό , τι λέτε;
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ για τα πρώτα σχόλια! Στέλιο, κρατάω τον πρώτο λόγο μου και διατηρώ το poker face :-) ,απλώς θα πω ,έτσι για να γίνει λίγο πικάντικο το πράμα, ότι μέχρι στιγμής έχουν εκφραστεί και σωστά και λάθος πορίσματα. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα πρότεινα(βοηθάει και στην κατανόηση της θέσης κάποιου), χωρίς φυσικά να είναι υποχρεωτικό, εκτός από την όποια θεωρητική θεμελίωση, να δίνεται κι ένα πρακτικό παράδειγμα εκεί που κάποιος θεωρεί πως τηρείται κάποιο από τα ζητούμενα του θέματος. Π.χ: έστω η χώρα Α {1,6,4,4,5} μ.ο 4 , φεύγουν οι 6,4 για τη Β , μένει :Α ={1,4,5} μ/o 3,33 κ.λ.π.
ωραία ας αναφέρω ένα παράδειγμα αν και το θεωρω περιττό, έστω Α{5 , 10, 15, 20) Μ.Ο=12.5 ΚΑΙ Β {1,2,3,4) Μ.Ο.=2.5 πάει τώρα ο 5 στο Β άρα Μ.Ο (Α)=15 ΚΑΙ Μ/Ο. Β=3 ΑΡΑ ΤΟ IQ AΥΞΗΘΗΚΕ ΚΑΙ ΣΤΑ 2, ΓΑΜΏΤΟ ο καθηγητης φωνάζει, θα τη γλιτώσω όμως πάλι διότι ξέρει τι χαζοεφηρημένος είμαι!! θα ασχοληθώ με τα άλλα ερωτήματα το βράδυ ! πολυ ωραίο πρόβλημα Γιώργο!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ (10, 10, 10, 10, 9) μο 10-
ΑπάντησηΔιαγραφήΒ (12, 4 , 12, 4, 12, 4, 12, 4, 10.1 , 5.9, ) μο 8
Γ (3,3,3,3 ) μο3
Από το Α πάει στο Β το 9. Νέος μο του Α =10 (μεγάλωσε), νέος μο Β 8+ (μεγάλωσε). Το Α όμως εξακολουθεί και έχει μεγαλύτερο μο από το Β.
Από το Β πάνε στο Γ όλα τα 4.
Το Β από 8+ πήγε πάνω από 10 πέρασε και το Α.
Το Γ επίσης αυξήθηκε.
Στην αντιστροφή τώρα από το Β μπορούμε να πάμε στο Α το 10.1 και να αυξηθούν και τα δυο!!!
Από το Γ όμως, δεν μπορούμε να κάνουμε μετακίνηση στο Β και να αυξηθούν και τα δυο, γιατί δεν αυξάνεται το σύνολο με τον μικρο μο.
το αντίστροφο δεν ισχύει, παραπάνω κατέληξα πως
ΑπάντησηΔιαγραφήκ*ε>(ν+1)*ε' και είδαμε και ένα σχετικό παράδειγμα για ε>ε'
με ε=5, αν ισχυει το αντίστροφο θα έπρεπε κ΄*ε'>(ν+1)*ε
πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη αυτες τια ανισότητες προκύπτει
κ*κ'>(ν+1)^2, άτοπο δίοτι κ,κ'<ν+1 το καθένα. θα το σκεφτώ όμως καλύτερα, τώρα δυστυχώς πρέπει να σας α΄φησω τα λέμε το βράδυ.
ΩΠΑ ξέχασα αυτό που λέει η εκφώνηση, ότι κατα την αντίστροφη πορεία γίνεται να συμμετέχουν και κάποιοα άτομα του Α, άρα σε αυτή την περίπτωση η ανίσωση γίνεται κ*κ'+κ">(ν+1)^2 όπου κ" το ποσοστό συμμετοχης των Α που είναι στο Β και ξαναπάνε στο Α, άρα μπορεί να γίνεται!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο πρώτο ερώτημα του προβλήματος, συμφωνώ με την ανάλυση που έχει προηγηθεί, δηλαδή πραγματικά μπορεί να αυξηθεί το IQ και των δύο χωρών, αρκεί η μετακίνηση να γίνει από τη χώρα με το μεγαλύτερο IQ προς αυτή με το μικρότερο, και το μέσο IQ αυτών που μετακινούνται να βρίσκεται σε μία ενδιάμεση τιμή. Στη συνέχεια, το αντίστροφο δεν είναι δυνατόν, καθ'όσον η δεύτερη χώρα εχει μικρότερο μέσο IQ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το δεύτερο σκέλος, η απάντηση μου είναι καταφατική, δηλαδή μπορεί τελικά να αυξηθεί το IQ και των τριών χωρών.
Πράγματι, ξεκινώντας τις μετακινήσεις, θα πρέπει το IQ της χώρας Α να είναι μεγαλύτερο της Β, και θα παραμείνει μεγαλύτερο και μετά τη μετακίνηση. Το "λεπτό" σημείο είναι η μετακίνηση από τη χώρα Β στη χώρα Γ, η οποία να γίνει με τρόπο ώστε προς στιγμήν να φαίνεται ότι μειώνεται το IQ της χώρας Β, ενώ συνολικά (δηλαδή λαμβάνοντας υπόψιν και την "εισροή" από τη χώρα Α να αυξάνεται. Για να γίνει ποιό κατανοητό, ας δώσω ένα αριθμητικό παράδειγμα: Εστω αρχικά:
Α=(10 άτομαΧ109+10 άτομαΧ111), Μ.Ο. 110
Β=(1 άτομοΧ75+1 άτομο Χ125), Μ.Ο. 100
Γ=(10 άτομαΧ112+10 άτομαΧ120+10 άτομαΧ124), Μ.Ο. 118,7
Μετά τη μετακίνηση των 10Χ109 ατόμων από την Α στη Β, η κατάσταση διαμορφώνεται ως εξής:
Α: (10*111), Μ.Ο. 111
Β: (1*75+1*125+10*109), Μ.Ο. 107,5
Γ: (10*112+10*120+10*124), Μ.Ο. 118,7
Μετά τη μετακίνηση ενός ατόμουΧ125, από τη Β στη Γ, έχουμε:
Α: (10*111), Μ.Ο. 111
Β: (1*75+10*109), Μ.Ο. 105,9
Γ: (10*112+10*120+10*124+1*125), Μ.Ο. 118,9
Βλέπουμε ότι στο τέλος του πρώτου γύρου, όλες οι χώρες εχουν αυξήσει το μέσο IQ τους. Στην αντίστροφη πορεία τώρα:
Μετά την μετακίνηση 10*112+10*124 απο τη Γ στη Β, εχουμε:
Α: (10*111), Μ.Ο. 111
Β: (1*75+10*109+10*112+10*124), Μ.Ο. 113,7
Γ: (10*120+1*125), Μ.Ο. 120,5
Και τέλος, με τη μετακίνηση 10*112, από τη Β στην Α εχουμε:
Α: (10*111+10*112), Μ.Ο. 111,5
Β: (1*75+10*109+10*124), Μ.Ο. 114,5
Γ: (10*112+1*124), Μ.Ο. 120,5
με όλες τις χώρες να εχουν πάλι αυξήσει το μέσο IQ τους.
συμφωνώ Στράτο για το 1β ότι δεν είναι δυνατόν, ξαναείδα τα μαθηματικά μου και διαπίστωσα πως η προτελευταία σχέση μου δεν χάνει την γενικότητα της ηλαδη ισχύει κ1*κ2<(ν+1)^2 αφου κ1,κ2 το καθένα μικρότερο απο το ν+1, το θέτεις όμως πολύ ωραία
ΑπάντησηΔιαγραφήλέγοντας ότι "δεν είναι δυνατόν καθόσον η δευτερη χώρα έχει μικρότερο μέσο ιq" και φυσικά δεν μπορώ παρά να συμφωνήσω με την απάντηση σου για το δευτερο σκέλος, στα ίδια συμπεράσματα φτάνω κάνοντας μια γενικκή τύπου ανάλυση όμοια με την προηγούμενη απλά πέρνοντας τρία σύνολα με ε,ε',ε", φυσικά όποιος ενδιαφέρεται και έχει όρεξη για μελέτη μπορώ να του στείλω την ολοκληρωμένη γενική αναλυσή μου η οποία είναι λίγο πιο σύνθετη απο αυτη που έγραψα πρώτα άλλα και σωστότερη, καταλήγει όμως σε απλές και όμορφες μαθηματικές ανισώσεις, ΜΠΡΑΒΟ ΣΤΡΑΤΟ.
Ευχαριστώ για όλα τα σχόλια και το ενδιαφέρον για το πρόβλημα. Ας δώσω κι εγώ παραδείγματα.
ΑπάντησηΔιαγραφή$1.$ Έστω Α={5,6,7} μ.τιμή=6 και Β={2,3,4} μ.τ=3
Αν μεταναστεύσει το 5 από το Α στο Β έχουμε:
B={2,3,4,5) νέα μ.τ=3.5 και Α={6,7} ν.μ.τ=6.5
Και τα δύο σύνολα αύξησαν τη μέση τιμή τους! Ο λόγος και οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μπορεί να γίνει αυτό αναλύθηκαν και από τους φίλους πιο πάνω και είναι πως μετακινήσαμε κάποιο (ή κάποια) στοιχεία που έχουν μέση τιμή μικρότερη από τη μ.τιμή του συνόλου εκκίνησης ,αλλά μεγαλύτερη από τη μέση τιμή του συνόλου προορισμού. Προφανώς αυτό είναι δυνατόν μόνο όταν το σύνολο Β έχει μικρότερη μέση τιμή από το Α, πράγμα που εξηγεί αρκούντως και το γιατί η αντίστροφη διαδικασία είναι αδύνατη.
Το ενδιαφέρον είναι πως με 3 σύνολα γίνεται και το αντίστροφο.
Έστω A={2,4} B={5,5,6,6,35} Γ={1}
Mετακινώντας το 2 από το A στο B, και τα δύο πεντάρια από το B στο Γ, και οι τρεις μέσες τιμές αυξάνουν.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ: Μετακινήστε το 1από το σύνολο Γ στο B, και τα δύο εξάρια από το B στο A. Και οι τρεις μέσες τιμές αυξήθηκαν και πάλι. To "κόλπο" το κάνει προφανώς η "ορμή" στις μετακινήσεις των πληθυσμών.
ΗΘΙΚΟ ΔΙΔΑΓΜΑ: Προσοχή στους σωστούς μαθηματικώς,αλλά πιθανώς παραπλανητικούς μέσους όρους! Διαρκής "συνταγή" ψευδοεπιστήμης, ημιμάθειας και μπαρουφολογίας δυστυχώς.