Πώς να κάνετε τη χώρα σας "εξυπνότερη"!

Η ερμηνεία της Στατιστικής είναι από τα πιο δύσκολα και δυστυχώς πονεμένα πράγματα στον τόσο σημαντικό αυτό κλάδο των εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Έχουμε ξανασυζητήσει αυτό το θέμα σε παλιότερες αναρτήσεις. 

Μια πολύ συνηθισμένη παρανόηση και πλήθος λάθος συμπερασμάτων, προκύπτουν από αδόκιμη σύγκριση "μέσων όρων" μεγάλων πληθυσμών ή κοινωνικών ομάδων. Ας δούμε μια περίπτωση, με ένα πρόβλημα που θεωρώ χαρακτηριστικό και διαφωτιστικό, και αφορά έναν συνηθισμένο, και κατά την προσωπική μου άποψη πολύ άχρηστο για να μην πω κοινωνικά απεχθή, στατιστικό μέσο, το "δείκτη νοημοσύνης" ή Ι.Q.

ΕΚΦΩΝΗΣΗ:
Aς υποθέσουμε πως όλοι οι κάτοικοι κάθε χώρας εξετάζονται ως προς το δείκτη νοημοσύνης, το I.Q.

Ας υποθέσουμε επίσης πως, για όσο διαρκεί αυτό το παζλ τουλάχιστον..., κανείς δεν γεννιέται ούτε πεθαίνει.

$1.$ Μια ομάδα/σύνολο από πολίτες της χώρας Α μεταναστεύει στη χώρα Β. Δείξτε πως το "μέσο Ι.Q" μπορεί να μεγαλώσει και στις δύο χώρες.

Σημ. Όταν λέμε "μέσο I.Q" εννοούμε για παράδειγμα πως στο σύνολο ,έστω Α={12,8,10}, δηλαδή σε ένα σύνολο τριών ανθρώπων με Ι.Q: 12, 8 και 10 αντίστοιχα, ο αριθμητικός μέσος του συνόλου καθορίζει το γενικό μέσο. Το Ι.Q του συνόλου Α δηλαδή είναι: (12+8+10)/3=10.

$1\beta .$ Μετά την πρώτη αυτή μετανάστευση από την Α στη Β, ένα σύνολο κατοίκων από τη χώρα Β (το οποίο μπορεί να περιλαμβάνει και πρώην κατοίκους τής Α),μεταναστεύει από τη Β στην Α. Είναι δυνατόν οι μέσοι όροι και των δύο χωρών να αυξηθούν ξανά;

$2.$ Τώρα έχουμε τρεις χώρες ,τις Α, Β και Γ. Μια ομάδα πολιτών μεταναστεύει από την Α στη Β και μια ομάδα πολιτών της Β μεταναστεύει στη Γ. Σαν αποτέλεσμα, το μέσο I.Q και στις τρεις χώρες μεγάλωσε! Κατόπιν η μετανάστευση ακολούθησε την αντίστροφη πορεία. Κάποιοι πήγαν από το Γ στο Β, και από το Β στο Α. Μπορούν οι μέσοι όροι και των τριών χωρών να αυξηθούν ξανά;

Αν ναι, αποδείξτε το ή δώστε ένα παράδειγμα. Αν όχι, γιατί όχι;

ΥΓ. Θα πρότεινα σε όποιον θέλει να ασχοληθεί να δουλέψει αν θέλει με μικρά σύνολα και αριθμούς για ευκολία.