Άλλο ένα ωραίο πρόβλημα που έστειλε ο Θανάσης Παπαδημητρίου.
Βρείτε τον μικρότερο πολλαπλάσιο του $99$, που έχει άθροισμα ψηφίων $99$ και αρχίζει και τελειώνει με $97$.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
$9799999991397$
ΑπάντησηΔιαγραφή$99*98989898903=9799999991397$
$9+7+9+9+9+9+9+9+9+1+3+9+7=99$
Καλημέρα σε όλους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργο ευχαριστώ για την ανάρτηση. Το πρόβλημα είναι πράγματι ωραίο, κυρίως γιατί η λύση του δεν απαιτεί χρήση υπολογιστικών βοηθημάτων (ούτε καν κομπιουτεράκι), αλλά προκύπτει από μια καθαρά παραγωγική συλλογιστική.
Ευθύμη, ευχαριστώ! πολύ καλή ομολογουμένως η προσπάθειά σου, γίνεται όμως και καλύτερα.
Εφ’όσον ο αριθμός αρχίζει και τελειώνει σε 97, έχουμε ήδη άθροισμα ψηφίων 32 από τα 4 αυτά ψηφία. Επομένως τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμού έχουν άθροισμα 67. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός έχει τουλάχιστον 8 ακόμα ψηφία, είναι δηλαδή τουλάχιστον 12-ψήφιος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξετάζουμε τη δυνατότητα να είναι ο αριθμός 12-ψήφιος. Ο αριθμός θα πρέπει να διαιρείται με 99, άρα θα πρέπει να διαιρείται τόσο με το 9, όσο και με το 11. Το άθροισμα ψηφίων 99, εξασφαλίζει τη διαιρετότητα του με το 9, αλλά η διαιρετότητα με το 11, επιβάλει όπως η διαφορά του αθροίσματος των ψηφίων του αριθμού περιττής τάξης, από το άθροισμα των ψηφίων άρτιας τάξης να διαιρείται με το 11. (δηλαδή το άθροισμα του 1ου, 3ου, 5ου κλπ ψηφίου, μείον το άθροισμα του 2ου, 4ου, 6ου κλπ ψηφίου να διαιρείται με το 11).
Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 11 είναι οι 0, +-11, +-22, +-33 κλπ. Επειδή όμως το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι 99 (περιττός), τα δύο επιμέρους αθροίσματα, είναι το ένα άρτιο και το άλλο περιττό, άρα η διαφορά τους είναι περιττή. Επομένως αποκλείονται οι άρτιες διαφορές (0, +-22).
Εξετάζουμε διαφορά περιττή, κατ’αρχήν +-11, και 12ψήφιο αριθμό ( το μικρότερο δυνατό αριθμό ψηφίων). Διαφορά 11 μεταξύ των δύο αθροισμάτων, (που το κάθε ένα αποτελείται από 6 ψηφία), συνεπάγεται ότι το ένα είναι 55 και το άλλο 44. Όμως άθροισμα 55 από 6 ψηφία δεν είναι δυνατόν. Οπότε ο αριθμός δεν μπορεί να είναι 12-ψήφιος.
Εξετάζουμε τη περίπτωση 13-ψήφιου αριθμού , με άθροισμα ψηφίων των 9 άγνωστων ψηφίων ίσο με 67 και με τα δύο επιμέρους αθροίσματα ψηφίων 55 και 44. Το πρώτο άθροισμα (55) είναι τα περιττής τάξης ψηφία (1,3,5,7,9,11 και 13), εκ των οποίων το πρώτο είναι 9 και το 13ο 7, σύνολο 16, άρα τα υπόλοιπα 5, περιττής τάξης, ψηφία έχουν άθροισμα 39. Επομένως, το μικρότερο δυνατόν από αυτά τα ψηφία δεν μπορεί να είναι μικρότερο του 3, έχουμε δηλαδή την περίπτωση 3,9,9,9,9. Τα 6 άρτιας τάξης ψηφία έχουν άθροισμα 44, με το πρώτο και τελευταίο να έχουν άθροισμα 16, επομένως τα υπόλοιπα 4 να έχουν άθροισμα 28, οπότε μπορούμε να έχουμε την ακολουθία 1,9,9,9.
Επομένως για να δημιουργήσουμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό, θα πρέπει στη τρίτη θέση (περιττής τάξης θέση) να μπεί το 3, στη τέταρτη θέση το 1, και στις υπόλοιπες εννιάρια, δηλαδή ο αριθμός να είναι ο 9731999999997 που ισούται με 99*98303030303.
Ουσιαστικά είναι η ίδια λύση με του Ευθύμη, με αλλαγμένη τη σειρά των ψηφίων.
Καλημέρα Θανάση, Στράτο, Γιώργο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΒλέποντας την λύση του Στράτου που είναι "οικονομικότερη" αντιλήφθηκα τι εννοούσες Θανάση με "το πολύ καλή ομολογουμένως η προσπάθειά σου, γίνεται όμως και καλύτερα."
και ευτυχώς που ήρθε η ανάρτηση του Στράτου και δεν έγραψα την αντίρρηση μου σε αυτό!
Και φυσικά, για τρίτους το γράφω αυτό, σε αυτό το αποτέλεσμα οδηγήθηκα, όχι κάνοντας πειράματα στο κομπιουτεράκι, αλλά με "καθαρά παραγωγική συλλογιστική" και με βάση μία μέθοδο που έχω φτιάξει για τέτοιες περιπτώσεις και που σήμερα διαπιστώνω ότι δεν είναι αλάνθαστη.
Αν δε ληφθεί υπ' όψιν ο χρόνος που χρειάστηκα, σχεδόν $dt, 1 \sim 1.5$ λεπτό, αμέσως μόλις γύρισα από τη θάλασσα, νομίζω ότι δεν θα έχει αντίρρηση ο Στράτος να ακουμπήσω το χρυσό που δικαιωματικά του ανήκει :-)
Στράτο, δεν έχουμε δυστυχώς τη χαρά να σε διαβάζουμε συχνότερα στις αναρτήσεις αυτού εδώ του ιστολογίου, αλλά οι παρεμβάσεις σου είναι πάντα μεστές και ουσιαστικές. Υποκλίνομαι λοιπόν και σε αυτή σου την ανάλυση / απόδειξη / λύση, την οποία θεωρώ υποδειγματική! Εύγε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυθύμη, όντως η προσπάθειά σου άγγιξε το άριστα, αφού αυτό που της έλειψε ήταν μια μόνο μικρή αναδιάταξη των ψηφίων για να το φτάσει. Μπράβο λοιπόν και σε εσένα! Όσο για το χρυσό, νομίζω ότι το δικαίωμα να το ακουμπήσεις σου το έδωσε ο ίδιος ο Στράτος και δε θα μπορούσα να έχω άλλη άποψη.
Θανάση σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, και γνωρίζεις ότι η εκτίμηση είναι αμοιβαία. Επισκέπτομαι συχνά αυτό το ιστολόγιο, αλλά είναι γεγονός ότι όποτε αναρτάται ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, συνήθως με προλαβαίνει κάποιος εκλεκτός συνάδελφος και αναρτά τη λύση, οπότε κρίνω ότι δεν θα προσέθετε κάτι ενδιαφέρον τυχόν δική μου περαιτέρω συνεισφορά.
ΔιαγραφήΤο συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν ομολογουμένως πολύ όμορφο, κυρίως γιατί, όπως έγραψες, καταλήγεις σε ένα τόσο μεγάλο αριθμό, καθαρά με συλλογιστική και χωρίς τη χρήση κανενός υπολογιστικού μέσου. Αν και για να είμαι ειλικρινής, μόλις κατέληξα στον αριθμό, δεν άντεξα στο πειρασμό και, (ναι, το ομολογώ!) παρ'ότι δεν έβρισκα το συλλογισμό μου να πάσχει κάπου, επιβεβαίωσα σε ένα κουμπιουτεράκι ότι, όντως, διαιρείται διά 99.....
Eυχαριστώ το Θανάση για το πρόβλημα και τους σχολιαστές για τα σχόλιά τους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτράτο, πολύ ωραία η λύση σου!
Συγχαρητηρια σε Ευθυμη,Στρατο,Θαναση στον πρώτο για τον πολύ γρήγορο χρόνο ανάλυσης (φανταστικό!) στον δευτερο για την πολύ όμορφη λύση του (πραγματικά την απολαυσα) και στον τρίτο για το πολύ όμορφο πρόβλημα που έθεσε. Αλλα ρε παιδιά μη το λύνεται τόσο γρήγορα αφήστε και κανα άλλον να σκεφτεί!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού ευχαριστήσω το Θανάση για το ενδιαφέρον θέμα και ιδιαίτερα τον Στυλιανό, πάντα με έναν καλό λόγο για όλους θέλω να αναφερθώ σε μερικές σκέψεις, αυθόρμητες πιο πολύ που μου έρχονταν στη διαδικασία της ανάγνωσης του θέματος του Θανάση, στην ανάγνωση της λύσης του Στράτου αλλά και μετά στην καφετέρια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιαβάζοντας το θέμα του Θανάση το "πολλαπλάσιο του $99$" κάτι μου θύμισε, διαβάζοντας την λύση του Στράτου η "διαιρετότητα με το $11$" επίσης κάτι μου θύμιζε.
Στην καφετέρια διαβάζοντας ένα ενδιαφέρον βιβλίο ΘΥΜΗΘΗΚΑ.
Μου θύμιζαν, ένα εξίσου ενδιαφέρον θέμα θεωρώ, το παρακάτω:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=45201