Πέμπτη 4 Σεπτεμβρίου 2014

Πολλαπλάσιο του $99$

Άλλο ένα ωραίο πρόβλημα που έστειλε ο Θανάσης Παπαδημητρίου.
Βρείτε τον μικρότερο πολλαπλάσιο του $99$, που έχει άθροισμα ψηφίων $99$ και αρχίζει και τελειώνει με $97$.
Αναρτήθηκε από στις 4.9.14
Ετικέτες ,

9 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Σεπτεμβρίου 2014 στις 8:33 μ.μ.

    $9799999991397$
    $99*98989898903=9799999991397$
    $9+7+9+9+9+9+9+9+9+1+3+9+7=99$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 8:37 π.μ.

    Καλημέρα σε όλους.
    Γιώργο ευχαριστώ για την ανάρτηση. Το πρόβλημα είναι πράγματι ωραίο, κυρίως γιατί η λύση του δεν απαιτεί χρήση υπολογιστικών βοηθημάτων (ούτε καν κομπιουτεράκι), αλλά προκύπτει από μια καθαρά παραγωγική συλλογιστική.
    Ευθύμη, ευχαριστώ! πολύ καλή ομολογουμένως η προσπάθειά σου, γίνεται όμως και καλύτερα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. stratos5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 9:28 π.μ.

    Εφ’όσον ο αριθμός αρχίζει και τελειώνει σε 97, έχουμε ήδη άθροισμα ψηφίων 32 από τα 4 αυτά ψηφία. Επομένως τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμού έχουν άθροισμα 67. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός έχει τουλάχιστον 8 ακόμα ψηφία, είναι δηλαδή τουλάχιστον 12-ψήφιος.
    Εξετάζουμε τη δυνατότητα να είναι ο αριθμός 12-ψήφιος. Ο αριθμός θα πρέπει να διαιρείται με 99, άρα θα πρέπει να διαιρείται τόσο με το 9, όσο και με το 11. Το άθροισμα ψηφίων 99, εξασφαλίζει τη διαιρετότητα του με το 9, αλλά η διαιρετότητα με το 11, επιβάλει όπως η διαφορά του αθροίσματος των ψηφίων του αριθμού περιττής τάξης, από το άθροισμα των ψηφίων άρτιας τάξης να διαιρείται με το 11. (δηλαδή το άθροισμα του 1ου, 3ου, 5ου κλπ ψηφίου, μείον το άθροισμα του 2ου, 4ου, 6ου κλπ ψηφίου να διαιρείται με το 11).
    Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 11 είναι οι 0, +-11, +-22, +-33 κλπ. Επειδή όμως το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι 99 (περιττός), τα δύο επιμέρους αθροίσματα, είναι το ένα άρτιο και το άλλο περιττό, άρα η διαφορά τους είναι περιττή. Επομένως αποκλείονται οι άρτιες διαφορές (0, +-22).
    Εξετάζουμε διαφορά περιττή, κατ’αρχήν +-11, και 12ψήφιο αριθμό ( το μικρότερο δυνατό αριθμό ψηφίων). Διαφορά 11 μεταξύ των δύο αθροισμάτων, (που το κάθε ένα αποτελείται από 6 ψηφία), συνεπάγεται ότι το ένα είναι 55 και το άλλο 44. Όμως άθροισμα 55 από 6 ψηφία δεν είναι δυνατόν. Οπότε ο αριθμός δεν μπορεί να είναι 12-ψήφιος.
    Εξετάζουμε τη περίπτωση 13-ψήφιου αριθμού , με άθροισμα ψηφίων των 9 άγνωστων ψηφίων ίσο με 67 και με τα δύο επιμέρους αθροίσματα ψηφίων 55 και 44. Το πρώτο άθροισμα (55) είναι τα περιττής τάξης ψηφία (1,3,5,7,9,11 και 13), εκ των οποίων το πρώτο είναι 9 και το 13ο 7, σύνολο 16, άρα τα υπόλοιπα 5, περιττής τάξης, ψηφία έχουν άθροισμα 39. Επομένως, το μικρότερο δυνατόν από αυτά τα ψηφία δεν μπορεί να είναι μικρότερο του 3, έχουμε δηλαδή την περίπτωση 3,9,9,9,9. Τα 6 άρτιας τάξης ψηφία έχουν άθροισμα 44, με το πρώτο και τελευταίο να έχουν άθροισμα 16, επομένως τα υπόλοιπα 4 να έχουν άθροισμα 28, οπότε μπορούμε να έχουμε την ακολουθία 1,9,9,9.
    Επομένως για να δημιουργήσουμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό, θα πρέπει στη τρίτη θέση (περιττής τάξης θέση) να μπεί το 3, στη τέταρτη θέση το 1, και στις υπόλοιπες εννιάρια, δηλαδή ο αριθμός να είναι ο 9731999999997 που ισούται με 99*98303030303.
    Ουσιαστικά είναι η ίδια λύση με του Ευθύμη, με αλλαγμένη τη σειρά των ψηφίων.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 10:24 π.μ.

    Καλημέρα Θανάση, Στράτο, Γιώργο.
    Βλέποντας την λύση του Στράτου που είναι "οικονομικότερη" αντιλήφθηκα τι εννοούσες Θανάση με "το πολύ καλή ομολογουμένως η προσπάθειά σου, γίνεται όμως και καλύτερα."
    και ευτυχώς που ήρθε η ανάρτηση του Στράτου και δεν έγραψα την αντίρρηση μου σε αυτό!
    Και φυσικά, για τρίτους το γράφω αυτό, σε αυτό το αποτέλεσμα οδηγήθηκα, όχι κάνοντας πειράματα στο κομπιουτεράκι, αλλά με "καθαρά παραγωγική συλλογιστική" και με βάση μία μέθοδο που έχω φτιάξει για τέτοιες περιπτώσεις και που σήμερα διαπιστώνω ότι δεν είναι αλάνθαστη.
    Αν δε ληφθεί υπ' όψιν ο χρόνος που χρειάστηκα, σχεδόν $dt, 1 \sim 1.5$ λεπτό, αμέσως μόλις γύρισα από τη θάλασσα, νομίζω ότι δεν θα έχει αντίρρηση ο Στράτος να ακουμπήσω το χρυσό που δικαιωματικά του ανήκει :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. papadim5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 10:59 π.μ.

    Στράτο, δεν έχουμε δυστυχώς τη χαρά να σε διαβάζουμε συχνότερα στις αναρτήσεις αυτού εδώ του ιστολογίου, αλλά οι παρεμβάσεις σου είναι πάντα μεστές και ουσιαστικές. Υποκλίνομαι λοιπόν και σε αυτή σου την ανάλυση / απόδειξη / λύση, την οποία θεωρώ υποδειγματική! Εύγε!
    Ευθύμη, όντως η προσπάθειά σου άγγιξε το άριστα, αφού αυτό που της έλειψε ήταν μια μόνο μικρή αναδιάταξη των ψηφίων για να το φτάσει. Μπράβο λοιπόν και σε εσένα! Όσο για το χρυσό, νομίζω ότι το δικαίωμα να το ακουμπήσεις σου το έδωσε ο ίδιος ο Στράτος και δε θα μπορούσα να έχω άλλη άποψη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. stratos5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 1:01 μ.μ.

      Θανάση σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, και γνωρίζεις ότι η εκτίμηση είναι αμοιβαία. Επισκέπτομαι συχνά αυτό το ιστολόγιο, αλλά είναι γεγονός ότι όποτε αναρτάται ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, συνήθως με προλαβαίνει κάποιος εκλεκτός συνάδελφος και αναρτά τη λύση, οπότε κρίνω ότι δεν θα προσέθετε κάτι ενδιαφέρον τυχόν δική μου περαιτέρω συνεισφορά.
      Το συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν ομολογουμένως πολύ όμορφο, κυρίως γιατί, όπως έγραψες, καταλήγεις σε ένα τόσο μεγάλο αριθμό, καθαρά με συλλογιστική και χωρίς τη χρήση κανενός υπολογιστικού μέσου. Αν και για να είμαι ειλικρινής, μόλις κατέληξα στον αριθμό, δεν άντεξα στο πειρασμό και, (ναι, το ομολογώ!) παρ'ότι δεν έβρισκα το συλλογισμό μου να πάσχει κάπου, επιβεβαίωσα σε ένα κουμπιουτεράκι ότι, όντως, διαιρείται διά 99.....

      Διαγραφή
  6. RIZOPOULOS GEORGIOS5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 11:54 π.μ.

    Eυχαριστώ το Θανάση για το πρόβλημα και τους σχολιαστές για τα σχόλιά τους.
    Στράτο, πολύ ωραία η λύση σου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Unknown5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 1:22 μ.μ.

    Συγχαρητηρια σε Ευθυμη,Στρατο,Θαναση στον πρώτο για τον πολύ γρήγορο χρόνο ανάλυσης (φανταστικό!) στον δευτερο για την πολύ όμορφη λύση του (πραγματικά την απολαυσα) και στον τρίτο για το πολύ όμορφο πρόβλημα που έθεσε. Αλλα ρε παιδιά μη το λύνεται τόσο γρήγορα αφήστε και κανα άλλον να σκεφτεί!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ5 Σεπτεμβρίου 2014 στις 1:47 μ.μ.

    Αφού ευχαριστήσω το Θανάση για το ενδιαφέρον θέμα και ιδιαίτερα τον Στυλιανό, πάντα με έναν καλό λόγο για όλους θέλω να αναφερθώ σε μερικές σκέψεις, αυθόρμητες πιο πολύ που μου έρχονταν στη διαδικασία της ανάγνωσης του θέματος του Θανάση, στην ανάγνωση της λύσης του Στράτου αλλά και μετά στην καφετέρια.
    Διαβάζοντας το θέμα του Θανάση το "πολλαπλάσιο του $99$" κάτι μου θύμισε, διαβάζοντας την λύση του Στράτου η "διαιρετότητα με το $11$" επίσης κάτι μου θύμιζε.
    Στην καφετέρια διαβάζοντας ένα ενδιαφέρον βιβλίο ΘΥΜΗΘΗΚΑ.
    Μου θύμιζαν, ένα εξίσου ενδιαφέρον θέμα θεωρώ, το παρακάτω:
    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=45201

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)