Ρολόγια πάνω σε τραπέζι

$\alpha )$ Πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν $199$ αναλογικά ρολόγια. Τα ρολόγια είναι διαφόρων μεγεθών/διαμέτρων και δουλεύουν όλα ,αλλά δεν έχουν αναγκαστικά όλα την ίδια περίοδο ${\rm T}$. Oι ρυθμοί περιστροφής των λεπτοδεικτών τους δηλαδή, είναι μεν συνεχείς και σταθεροί αλλά όχι αναγκαστικά ίσοι. Αν οποιαδήποτε χρονική στιγμή, ένα τουλάχιστον ρολόι, όχι αναγκαστικά το ίδιο κάθε φορά!,  δείχνει τη σωστή ώρα, αποδείξτε πως υπάρχει τουλάχιστον ένα ρολόι το οποίο δείχνει συνεχώς σωστά την ώρα.

$\beta )$. Κάποιος ρυθμίζει τα ίδια $199$ ρολόγια και δείχνουν όλα σωστά. Τα καντράν των ρολογιών έχουν τυχαίους προσανατολισμούς. Έστω ${\rm K}$ το κέντρο του τραπεζιού. Αποδείξτε πως υπάρχει μια χρονική στιγμή $t$ κατά την οποία το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων των ρολογιών από το ${\rm K}$ είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων του ${\rm K}$ από τα άκρα των λεπτοδεικτών.