Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Πέμπτη 18 Σεπτεμβρίου 2014

Ρολόγια πάνω σε τραπέζι

α) Πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν 199 αναλογικά ρολόγια. Τα ρολόγια είναι διαφόρων μεγεθών/διαμέτρων και δουλεύουν όλα ,αλλά δεν έχουν αναγκαστικά όλα την ίδια περίοδο Τ. Oι ρυθμοί περιστροφής των λεπτοδεικτών τους δηλαδή, είναι μεν συνεχείς και σταθεροί αλλά όχι αναγκαστικά ίσοι. Αν οποιαδήποτε χρονική στιγμή, ένα τουλάχιστον ρολόι, όχι αναγκαστικά το ίδιο κάθε φορά!,  δείχνει τη σωστή ώρα, αποδείξτε πως υπάρχει τουλάχιστον ένα ρολόι το οποίο δείχνει συνεχώς σωστά την ώρα.
β). Κάποιος ρυθμίζει τα ίδια 199 ρολόγια και δείχνουν όλα σωστά. Τα καντράν των ρολογιών έχουν τυχαίους προσανατολισμούς. Έστω Κ το κέντρο του τραπεζιού. Αποδείξτε πως υπάρχει μια χρονική στιγμή t κατά την οποία το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων των ρολογιών από το Κ είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων του Κ από τα άκρα των λεπτοδεικτών.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση