Οι διχοτόμοι των γωνιών $A\,\,\,\kappa
\alpha \iota \,\,\,B$ τριγώνου $ABC$
τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο στα
$D,E$ αντίστοιχα. Έστω $K$ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του
τριγώνου $ABC$ που αντιστοιχεί στην
πλευρά $BC$. Δείξετε ότι: $DE//KC$.
Καλησπέρα Νίκο
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρκεί να δείξουμε ότι $K \widehat{C}D=C \widehat{D}E$
$K \widehat{C}D=K \widehat{C}B-D \widehat{C}B= \dfrac{180°-A \widehat{C}B}{2}- \frac{ \widehat{A} }{2}=$
$= \dfrac{ \widehat{A}+ \widehat{B}}{2}- \dfrac{ \widehat{A}}{2}= \dfrac{ \widehat{B}}{2}=C \widehat{D}E$
και το ζητούμενο εδείχθη.
Πολύ ωραία Ευθύμη κι ευχαριστώ .
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνας άλλος τρόπος είναι να δείξουμε ότι οι $KC,DE$ είναι κάθετες στην διχοτόμο της γωνία $C$
Έστω $CZ$ η εσωτερική διχοτόμος της $ \widehat{C},\ Z $ μέσον του τόξου $ AB $. Είναι $CK$ εξωτερική διχοτόμος της $ \widehat{C}$, άρα $KC \bot CZ$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να δείξουμε ότι $CZ \bot ED$ αρκεί να δείξουμε ότι $Z \widehat{C}D+C \widehat{D}E=90°$.
$Z\widehat{C}D+C \widehat{D}E=Z \widehat{C}B+B \widehat{C}D+C \widehat{D}E= \dfrac{ \widehat{C}}{2}+\dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{ \widehat{B}}{2}=90°$