Κυριακή 10 Αυγούστου 2014

Διχοτόμος-διάμεσος-καθετότητα

Από σημείο $D$ της διχοτόμου της γωνίας  $A$ τριγώνου $ABC$ , φέρνουμε τις κάθετες $DE,DZ$ στις ευθείες $AB,AC$  αντίστοιχα. 
Έστω $H$ το σημείο τομής της διαμέσου $AM$ με την $EZ$ . Δείξετε ότι  $HD \bot BC$.
Την άσκηση την βρήκα σε κάτι σημειώσεις μου παλιές , αλλά όπως διαπίστωσα , την έχει και το βιβλίο του Μπάμπη Στεργίου : "Γεωμετρία 2 για διαγωνισμούς".
Αναρτήθηκε από στις 10.8.14
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. Μιχάλης Νάννος14 Αυγούστου 2014 στις 8:08 π.μ.

    Καλημέρα Νίκο.

    http://users.sch.gr/mnannos/doloros/ddk.jpg

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κουνελοϊός13 Σεπτεμβρίου 2014 στις 2:37 π.μ.

    Καλησπέρα και από μένα, κύριε Φραγκάκη. Δεν ξέρω αν η δική μου λύση διαφέρει από αυτή του κυρίου Μιχάλη, παρόλα αυτά σας την παραθέτω εδώ.

    Από το σημείο H φέρνω την κάθετη στη DH, η οποία τέμνει τις πλευρές AB και AC στα F και G, αντίστοιχα. Σχηματίζονται έτσι 2 εγγράψιμα τετράπλευρα, το DEFH και το DGZH, διότι (γωνία DEF)+(γωνία DHF)=π/2+π/2=π και γωνία DHG=γωνία DZG=π/2. Άρα γωνία DFH=γωνία DEH=γωνία DEZ και γωνία DGH=γωνία DZH=γωνία DZE. Όμως το τρίγωνο DEZ είναι ισοσκελές με DE=DZ, οπότε γωνία DEZ=γωνία DZE, επομένως θα είναι και γωνία DFH=γωνία DGH. Αυτό σημαίνει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα DFH και DGH είναι ίσα, άρα FH=GH και επειδή BM=CM προκύπτει ότι FH/BM=GH/CM, δηλαδή οι ευθείες AB, AM και AC που συντρέχουν στο A ορίζουν στις ευθείες FG και BC τμήματα ανάλογα, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα δέσμης είναι παράλληλες, δηλαδή FG//BC. Όμως η DH είναι κάθετη στην FG, επομένως θα είναι κάθετη και στη BC.

    Αυτή η άσκηση φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη, όμως με τη θεώρηση της κατάλληλης βοηθητικής ευθείας, δηλαδή της FG, λύνεται γρήγορα και εύκολα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)