Τετάρτη 27 Αυγούστου 2014

Τετράγωνο και εφαπτομένη

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ σχεδιάσαμε (πώς ?) το τετράγωνο $ASPQ$. 
Αν το εμβαδόν του τετραγώνου, ισούται με το $48\%$ του εμβαδού του τριγώνου, υπολογίστε την $\epsilon\phi B$.
Αναρτήθηκε από στις 27.8.14
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Μαρίνος Ματιάτος29 Αυγούστου 2014 στις 9:37 π.μ.

    Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει λυθεί στο mathematica.gr χρησιμοποιώντας γεωμετρική λύση (ομοιοθεσία).Εγώ παραθέτω μια άλλη λύση αλγεβρική που πιστεύω ότι έχει ενδιαφέρον.
    Κατ'αρχήν θεωρώ ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Oxy με αρχή το σημείο Α και βρίσκω την εξίσωση της ευθείας BC.
    Έχω χ/ΑΒ + y/ΑC =1 λύνω ως προς y=(AB-x)/AB * ΑC,επειδή το QPSA τετράγωνο θέτω στην παραπάνω εξίσωση y=x και έχω χ=ΑΒ*ΑC/(ΑΒ+ΑC) (πλευρά του τετραγώνου).
    Από την εκφώνηση έχω: (ΑΒ*ΑC)^2/(Α+ΑC)^2=0.5*0.48*ΑΒ*ΑC
    συνεπώς: 0.24*(ΑΒ+ΑC)^2=AB*ΑC συνεπώς 0.24(ΑΒ^2+ΑC^2)-0.52*ΑΒ*ΑC=0, διαιρώ και τα δυο μέλη της εξίσωσης με ΑΒ^2 και έχω: 0.24(1+εφΒ^2)-0.52*εφΒ=0,όπου εφΒ=ΑC/AB.
    Λύνω την εξίσωση β' βαθμού ως προς εφΒ και έχω: εφΒ=2/3 (Β=33.69 μοίρες) ή εφΒ=3/2 (Β=56.31 μοίρες) και παρατηρώ ότι οι δυο λύσεις είναι ισοδύναμες γιατί οι δυο δυνατές τιμές του Β αντιστοιχούν σε γωνίες συμπληρωματικές.
    Άρα εφΒ=2/3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)