To Pizza or not to Pizza?

Ο Αντώνης κι ο Βρασίδας είναι φοιτητές και συγκάτοικοι. Ψάχνοντας ένα βράδυ στο ψυγείο τους (πολλά μαθηματικώς αξιοπερίεργα πράγματα μπορεί να βρεθούν ξεχασμένα σε ένα 

φοιτητικό ψυγείο, ακόμη και το κενό σύνολο ενίοτε...) ανακάλυψαν $3$ κομμάτια πίτσα. Κρύα και ελαφρώς μπαγιάτικη, η πίτσα θα μπορούσε να μοιραστεί με διάφορους τρόπους.

Αν ας πούμε ο Αντώνης πεινούσε πάρα πολύ κι ο Βρασίδας όχι και τόσο, θα μπορούσε να φάει δύο κομμάτια ο Α και ένα ο Β. Θα μπορούσε όμως να μην φαίνεται σε κανέναν ελκυστική η προοπτική ,και να μη φάνε κανένα κομμάτι. 

Ποιες θα ήταν όλες οι δυνατότητες μοιράσματος των ακεραίων ίδιων κομματιών πίτσας ; Ας κάνουμε ένα πινακάκι με Α(ντώνη), Β(ρασίδα) και έναν εικονικό φίλο-φάντασμα, ας τον πούμε Γ(ιάννη), που "τρώει" τα κομμάτια που δεν τρώει κανείς από τους δύο φίλους:

A  B   Γ
3   0   0
2   1   0
2   0   1
1   1   1
1   2   0
1   0   2
0   3   0
0   2   1
0   1   2
0   0   3

Αυτοί οι $10$ τρόποι υπάρχουν συνολικά, για να μοιραστούν ο Α και ο Β τα τρία κομμάτια,με τη δυνατότητα να μένουν κομμάτια (ή κομμάτι) που δεν τρώει κανείς.

Τι λέτε να ισχύει λοιπόν για τέσσερις ($4$) φίλους που κάθονται να μοιραστούν μια πίτσα κομμένη σε $12$ όμοια κομμάτια ; Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να μοιραστεί αυτή η πίτσα ,με την παραδοχή πως κάποιο, κάποια ή και όλα τα κομμάτια μπορεί και να μη φαγωθούν;