Σε τρίγωνο $ABC$, το ύψος $AD$ ισούται με την πλευρά $BC$.
Δείξετε ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου ισαπέχει του μέσου $M$ του $AD$ και του μέσου $O$ του $BC$.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
COPILOT AI
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
LATEX
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Είναι BH^2+CH^2=BD^2+DH^2+CD^2+DH^2=BD^2+CD^2+2DH^2=BD^2+CD^2+2BD*CD-2BD*CD+2DH^2=(BD+CD)^2-2BD*CD+2DH^2=BC^2-2BD*CD+2DH^2. Η BH είναι κάθετη στην AC, επομένως γωνία DBH=π/2-(γωνία ACB)=π/2-(γωνία ACD)=γωνία CAD. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα BDH και ACD είναι όμοια και ισχύει: BD/DH=AD/CD, ή BD*CD=AD*DH. Επίσης BC=AD, οπότε BH^2+CH^2=(2BC^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2+AD^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2)/2+(AD^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2)/2+2[(AD^2)/4-2(AD/2)*DH+DH^2]=(BC^2)/2+2(AD/2-DH)^2=(BC^2)/2+2(DM-DH)^2=(BC^2)/2+2HM^2, δηλαδή BH^2+CH^2=(BC^2)/2+2HM^2 (1). Όμως από το θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο BCH ισχύει ότι BH^2+CH^2=(BC^2)/2+2HO^2 (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει τελικά ότι HM=HO, που είναι και το ζητούμενο.
ΑπάντησηΔιαγραφή