Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Δευτέρα 14 Ιουλίου 2014

Άσκηση Γεωμετρίας (προταθείσα από Φώτη Κότσιρα)

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.
Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC(A=900) για τα μήκη των πλευρών του a=BC,c=AB ισχύει: 
 3a22ac5c2=0
Αν D το έγκεντρο και E το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC να δείξουμε ότι DEAB.
Λύση
Η σχέση που δόθηκε γράφεται ισοδύναμα : (5c3a)(c+a)=0c=3a5(1)
Ας πούμε λοιπόν a=15k,k>0 άρα c=9kκαιb=AC=12k ( αφού είναι ορθογώνιο) . Δηλαδή το  τρίγωνο είναι της μορφής ,ως προς τις πλευρές του (5,3,4).
Αν ο εγγεγραμμένο κύκλος του ABC εφάπτεται στην πλευρά AC στο σημείο Z είναι γνωστό ότι η ακτίνα του r=DZ=sa, όπου  s= ημιπερίμετρος του ABC.
Θα είναι  λοιπόν : DZ=3k(2). Έστω τώρα  H  η προβολή του E στην AC.
Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ABCκαιHEA είναι όμοια αφού οι οξείες γωνίες τους AC^BκαιEA^H είναι ίσες ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου MAC
( μην ξεχνάμε ότι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της )
Από την ομοιότητα λοιπόν,  των τριγώνων ABCκαιHEA έχουμε :
EHAB=AEBCEH9k=5k15kEH=3k(3). Από τις (2)και(3) προκύπτει ότι το
τετράπλευρο EDZH είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα DE//AC , συνεπώς  DEAB.
Νίκος Φραγκάκης (Doloros) 2ο Λύκειο Ιεράπετρας



Αφιέρωση στον Φώτη
Αν έχει κάτι πιο γρήγορα να το δούμε .

Αφού βρούμε ότι c=35a έστω : a=5k,b=4k,c=3k . Φέρνουμε την διχοτόμο BS και τη διάμεσο BM. Προφανώς BE=2EM(1). Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABCέχουμε :x=AS=ACABAB+BC=4k3k3k+5k=32k(2). Από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο ABS έχουμε: BDDS=ABAS=3k3k2=2BD=2DS(3). Από (1) και (3) έχουμε αυτό που θέλουμε.

Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πρόταση ισχύει εν γένει ως εξής :
Αν σε τρίγωνο ABC οι πλευρές του a,b,c με την σειρά αυτή, 

είναι  διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε η ευθεία που διέρχεται από το έγκεντρο και το βαρύκεντρο του ABC, είναι παράλληλη στην AC.  

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση