Άσκηση Γεωμετρίας (προταθείσα από Φώτη Κότσιρα)

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.

Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A={90}^0)$ για τα μήκη των πλευρών του $a=BC,c=AB$ ισχύει: 

 $3a^2-2ac-5c^2=0$. 

Αν $D$ το έγκεντρο και $E$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ να δείξουμε ότι $DE\mathrm{\perp }AB$.

εδώ

Λύση

Η σχέση που δόθηκε γράφεται ισοδύναμα : $(5c-3a)(c+a)=0\Rightarrow c={\displaystyle \frac{3a}{5}}(1)$

Ας πούμε λοιπόν $a=15k,k>0$ άρα $c=9k\kappa \alpha \iota b=AC=12k$ ( αφού είναι ορθογώνιο) . Δηλαδή το  τρίγωνο είναι της μορφής ,ως προς τις πλευρές του $(5,3,4)$.

Αν ο εγγεγραμμένο κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στην πλευρά $AC$ στο σημείο $Z$ είναι γνωστό ότι η ακτίνα του $r=DZ=s-a$, όπου  $s$= ημιπερίμετρος του $ABC$.

Θα είναι  λοιπόν : $DZ=3k(2)$. Έστω τώρα  $H$  η προβολή του $E$ στην $AC$.

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $ABC\kappa \alpha \iota HEA$ είναι όμοια αφού οι οξείες γωνίες τους $A\hat{C}B\kappa \alpha \iota E\hat{A}H$ είναι ίσες ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου $MAC$

( μην ξεχνάμε ότι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της )

Από την ομοιότητα λοιπόν,  των τριγώνων $ABC\kappa \alpha \iota HEA$ έχουμε :

${\displaystyle \frac{EH}{AB}}={\displaystyle \frac{AE}{BC}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{EH}{9k}}={\displaystyle \frac{5k}{15k}}\Rightarrow EH=3k(3)$. Από τις $(2)\kappa \alpha \iota (3)$ προκύπτει ότι το

τετράπλευρο $EDZH$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα $DE//AC$ , συνεπώς  $DE\mathrm{\perp }AB$.

Νίκος Φραγκάκης (Doloros) 2^ο Λύκειο Ιεράπετρας

Αφιέρωση στον Φώτη

Αν έχει κάτι πιο γρήγορα να το δούμε .

Αφού βρούμε ότι $c={\displaystyle \frac{3}{5}}a$ έστω : $a=5k,b=4k,c=3k$ . Φέρνουμε την διχοτόμο $BS$ και τη διάμεσο $BM$. Προφανώς $BE=2EM(1)$. Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC$έχουμε :$x=AS={\displaystyle \frac{AC\cdot AB}{AB+BC}}={\displaystyle \frac{4k\cdot 3k}{3k+5k}}={\displaystyle \frac{3}{2}}k(2)$. Από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $ABS$ έχουμε: ${\displaystyle \frac{BD}{DS}}={\displaystyle \frac{AB}{AS}}={\displaystyle \frac{3k}{{\displaystyle \frac{3k}{2}}}}=2\Rightarrow BD=2DS(3)$. Από $(1)$ και $(3)$ έχουμε αυτό που θέλουμε.

Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πρόταση ισχύει εν γένει ως εξής :

Αν σε τρίγωνο $ABC$ οι πλευρές του $a,b,c$ με την σειρά αυτή, 

είναι  διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε η ευθεία που διέρχεται από το έγκεντρο και το βαρύκεντρο του $ABC$, είναι παράλληλη στην $AC$.