Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.
Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο για τα μήκη των πλευρών του ισχύει:
Αν το έγκεντρο και το βαρύκεντρο του τριγώνου να δείξουμε ότι .
Λύση
Η σχέση που δόθηκε γράφεται ισοδύναμα :
Ας πούμε λοιπόν άρα ( αφού είναι ορθογώνιο) . Δηλαδή το τρίγωνο είναι της μορφής ,ως προς τις πλευρές
του .
Αν ο εγγεγραμμένο κύκλος του εφάπτεται στην πλευρά στο σημείο είναι γνωστό ότι η ακτίνα του , όπου =
ημιπερίμετρος του .
Θα είναι λοιπόν : . Έστω τώρα η προβολή του στην .
Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα είναι
όμοια αφού οι οξείες γωνίες τους είναι ίσες ως παρά τη
βάση του ισοσκελούς τριγώνου
( μην ξεχνάμε ότι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με
το μισό της )
Από την ομοιότητα λοιπόν,
των τριγώνων έχουμε :
τετράπλευρο
είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα
, συνεπώς .
Νίκος Φραγκάκης (Doloros) 2ο Λύκειο
Ιεράπετρας
Αφιέρωση στον Φώτη
Αν έχει κάτι πιο γρήγορα να το δούμε .
Αφού βρούμε ότι έστω : . Φέρνουμε την διχοτόμο
και τη διάμεσο . Προφανώς . Από το θεώρημα της
διχοτόμου στο τρίγωνο έχουμε : . Από το ίδιο θεώρημα στο
τρίγωνο έχουμε: . Από και
έχουμε αυτό που θέλουμε.
Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πρόταση ισχύει εν γένει ως εξής :
Αν σε τρίγωνο
οι πλευρές του με την σειρά
αυτή,
είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου, τότε η ευθεία που διέρχεται από το έγκεντρο και το
βαρύκεντρο του , είναι παράλληλη
στην .
Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση