272 = (2 + 7)3
81 = (8 + 1)2
101 = 102 + 12
153 = 13 + 53 + 33
2432 = (2 + 4 + 3)5
2433 = (24 + 3)5
371 = 33 + 73 + 13
407 = 43 + 073
512 = (5 + 1 + 2)3
7292 = (72 + 9)3
1001 = 103 + 013
10242 = (10 + 2 + 4)5
1233 = 122 + 332 1296 = (1 + 29 + 6)2
1371 = 12 + 372 + 12
1634 = 14 + 64 + 34 + 44
2025 = (20 + 25)2
2213 = 23 + 23 + 133
2401 = (2 + 4 + 01)4
3025 = (30 + 25)2
4151 = 45 + 15 + 55 + 15
4161 = 43 + 163 + 13
4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3
5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3
6724 = (6 + 72 + 4)2
8208 = 84 + 24 + 084
8281 = (8 + 2 + 81)2
8281 = (82 + 8 + 1)2
8833 = 882 + 332
9474 = 94 + 44 + 74 + 44
9801 = (98 + 01)2
10001 = 104 + 0014
10001 = 1002 + 012
10100 = 102 + 1002
17576 = (1 + 7 + 5 + 7 + 6)3
19683 = (1 + 9 + 6 + 8 + 3)3
21952 = (2 + 19 + 5 + 2)3
41833 = 43 + 183 + 333
42025 = (43 + 23 + 023 + 53)2
54748 = 55 + 45 + 75 + 45 + 85
55225 = (5 + 5 + 225)2
64405 = 63 + 43 + 403 + 53
88209 = (88 + 209)2
91125 = (9 + 11 + 25)3
92727 = 95 + 25 + 75 + 25 + 75
93084 = 95 + 35 + 085 + 45
100001 = 105 + 00015
104151 = 105 + 45 + 15 + 55 + 15
104769 = 13 + 0473 + 63 + 93
112348 = 13 + 123 + 33 + 483
118099 = 14 + 184 + 094 + 94
123489 = 13 + 233 + 483 + 93
125011 = 13 + 23 + 503 + 13 + 13
130321 = (13 + 03 + 2 + 1)4
136161 = (1 + 361 + 6 + 1)2
143641 = (14 + 364 + 1)2
165033 = 163 + 503 + 333
166375 = (1 + 6 + 6 + 37 + 5)3
171396 = (17 + 1 + 396)2
181476 = (182 + 12 + 42 + 72 + 62)2
185722 = 13 + 83 + 573 + 23 + 23
191844 = (12 + 92 + 182 + 42 + 42)2
194979 = 15 + 95 + 45 + 95 + 75 + 95
196058 = 13 + 93 + 63 + 0583
216011 = 23 + 13 + 603 + 13 + 13
221859 = 223 + 183 + 593
224748 = 22 + 22 + 4742 + 82
234256 = (2 + 3 + 4 + 2 + 5 + 6)4
238328 = (23 + 8 + 3 + 28)3
245837 = 23 + 43 + 583 + 373
250024 = 22 + 5002 + 22 + 42
250045 = 22 + 5002 + 42 + 52
250047 = (2 + 50 + 04 + 7)3
250065 = 22 + 5002 + 62 + 52
250084 = 22 + 5002 + 82 + 42
264413 = 23 + 643 + 43 + 133
301653 = 303 + 13 + 653 + 33
336701 = 333 + 673 + 013
340067 = 343 + 00673
341067 = 343 + 103 + 673
357911 = (3 + 57 + 9 + 1 + 1)3
360011 = 32 + 6002 + 12 + 12
360034 = 32 + 6002 + 32 + 42
360074 = 32 + 6002 + 72 + 42
360091 = 32 + 6002 + 92 + 12
373248 = (37 + 3 + 24 + 8)3
390625 = (3 + 9 + 06 + 2 + 5)4
407001 = 403 + 703 + 013
407370 = 403 + 73 + 33 + 703
431649 = (4 + 3 + 1 + 649)2
442225 = (42 + 42 + 22 + 22 + 252)2
444664 = 443 + 463 + 643
455625 = (45 + 5 + 625)2
487215 = 483 + 723 + 153
494209 = (494 + 209)2
531441 = (5 + 3 + 14 + 4 + 1)4
531441 = (5 + 31 + 4 + 41)3
531441 = (5 + 31 + 44 + 1)3
548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46
551368 = (5 + 5 + 1 + 3 + 68)3
551368 = (55 + 13 + 6 + 8)3
570618 = 53 + 703 + 613 + 83
571536 = (5 + 715 + 36)2
614656 = (6 + 1 + 4 + 6 + 5 + 6)4
627264 = (62 + 726 + 4)2
649818 = 63 + 493 + 813 + 83
662596 = (62 + 62 + 252 + 92 + 62)2
682281 = 62 + 8222 + 812
684045 = 63 + 843 + 0453
704969 = (7 + 04 + 9 + 69)3
753571 = (7 + 5 + 3 + 5 + 71)3
753571 = (75 + 3 + 5 + 7 + 1)3
826281 = (826 + 2 + 81)2
842724 = (842 + 72 + 4)2
864891 = 83 + 63 + 483 + 913
893025 = (8 + 930 + 2 + 5)2
911548 = 913 + 13 + 543 + 83
929296 = (929 + 29 + 6)2
964334 = 963 + 433 + 33 + 43
970299 = (9 + 70 + 2 + 9 + 9)3
971399 = 93 + 73 + 13 + 33 + 993
982081 = (982 + 08 + 1)2
982827 = 983 + 283 + 273
983221 = 983 + 323 + 213
988361 = 983 + 83 + 363 + 13
990100 = 9902 + 1002
998001 = (998 + 001)2
999371 = 9992 + 372 + 12
1000001 = 106 + 000016
1000001 = 1003 + 00013
1000001 = 10002 + 0012
1000101 = 10002 + 102 + 12
1000153 = 1003 + 013 + 53 + 33
1000371 = 1003 + 033 + 73 + 13
1000407 = 1003 + 043 + 073
1001001 = 103 + 01003 + 13
1001001 = 1003 + 103 + 013
1002213 = 1003 + 23 + 23 + 133
1004161 = 1003 + 43 + 163 + 13
1082811 = 13 + 0823 + 813 + 13
1175791 = 13 + 13 + 753 + 73 + 913
1225043 = (12 + 2 + 50 + 43)3
1259712 = (1 + 2 + 5 + 97 + 1 + 2)3
1259712 = (1 + 25 + 9 + 71 + 2)3
1268784 = 13 + 263 + 873 + 843
1292480 = 123 + 923 + 43 + 803
1295029 = (1 + 2 + 95 + 02 + 9)3
1295029 = (1 + 29 + 50 + 29)3
1336336 = (13 + 3 + 6 + 3 + 3 + 6)4
1560896 = (1 + 5 + 6 + 08 + 96)3
1560896 = (15 + 6 + 089 + 6)3
1679616 = (1 + 6 + 7 + 9 + 6 + 1 + 6)4
1679616 = (1 + 679 + 616)2
1741725 = 17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57
1874161 = (1 + 8 + 7 + 4 + 16 + 1)4
1874161 = (18 + 7 + 4 + 1 + 6 + 1)4
1882371 = 14 + 84 + 84 + 24 + 374 + 14
1950103 = 13 + 953 + 01033
1953125 = (1 + 95 + 3 + 1 + 25)3
2230433 = 224 + 304 + 44 + 334
2406104 = (24 + 06 + 104)3
2515456 = (25 + 1 + 54 + 56)3
2896804 = (2 + 896 + 804)2
2924207 = (2 + 92 + 42 + 07)3
2985984 = (29 + 8 + 5 + 98 + 4)3
3048625 = (30 + 4 + 86 + 25)3
3048625 = (30 + 48 + 62 + 5)3
3175524 = (3 + 1755 + 24)2
...........................
| 
Προτείνω μια άσκηση δικής μου έμπνευσης: Δοθέντος ενός τριγώνου ΑΒΓ, να προσδιοριστεί το έγκεντρό του, ΧΩΡΙΣ να κατασκευαστούν 2 διχοτόμοι του.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓεια σου Φώτη .
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα παρακάτω μου ήλθαν στο μυαλό αλλά θα υπάρχει και πιο απλή λύση , την οποία θα ψάξω .
Αρκεί να φέρουμε παράλληλες προς δύο πλευρές του και σε απόσταση $\dfrac{E}{\tau }$ απ’ αυτές .
Με $E = ({\rm A}{\rm B}\Gamma )\,\,\,,\,\,\,\tau = \dfrac{{\alpha + \beta + \gamma }}{2}$.
Και μια πιο ωραία από πλευράς κατασκευής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓράφουμε το περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm A}{\rm B}\Gamma $ και θεωρώ τα μέσα ${\rm M},{\rm N}$ των μικρών τόξων ${\rm B}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}$ αντίστοιχα .
Οι κύκλοι : $({\rm M},{\rm M}{\rm B})$ και $({\rm N},{\rm N}{\rm B})$ τέμνονται μέσα στο τρίγωνο στο ζητούμενο σημείο ${\rm I}$.
Η απόδειξη αφήνετε σαν άσκηση
Νίκος
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΥπάρχει και μια άλλη λύση... ΄Εστω (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β και (ΒΓ)=α. Κατασκευάζω μία διχοτόμο αυτού, έστω την ΑΔ. Με κέντρο το Α και ακτίνα ρ=α+β+γ γράφω κύκλο ο οποίος τέμνει την ευθεία ΒΓ σε σημείο Ε. Στο τμήμα ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ, τέτοιο ώστε (ΑΖ)=β+γ. Από το Ζ φέρνω τώρα την παράλληλη στη ΒΓ, που τέμνει την ΑΔ στο Η. Αποδεικνύεται ότι το Η είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Με την άσκηση της ολυμπιάδας τι γίνεται;
ΔιαγραφήΈλυσα την κατασκευαστική άσκηση με τους κύκλους. Αυτό που έδειξα είναι ότι το έγκεντρο του τριγώνου είναι το ένα από τα δύο κοινά σημεία των κύκλων (Μ,ΜΒ) και (Ν,ΝΒ). Δεν ξέρω αν το πρόβλημα αντιμετωπίζεται "ορθά", δηλαδή αν αποδεικνύεται ότι το σημείο τομής των κύκλων, εσωτερικό του τριγώνου, είναι το έγκεντρό του. Εσάς σας άρεσε η δική μου λύση με την παράλληλο;
ΔιαγραφήΦώτη γεια και πάλι.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς δούμε λοιπόν και μια «ύπουλη» λύση .
Στην παράλληλη από το ${\rm A}$ πρός στην ${\rm B}\Gamma $ θεωρώ δύο σημεία .
1. το ${\rm E}$ προς το μέρος του ${\rm B}$ με ${\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Gamma $ και
2. το ${\rm Z}$ προς το μέρος του $\Gamma $ με ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm B}$.
Η διασταύρωση των ${\rm B}{\rm Z}$ και $\Gamma {\rm E}$δίδει το ζητούμενο έγκεντρο.
Όσο για την άσκηση όλα θα γίνουν με την ώρα τους .
Όπως είπε χθες στο mathematica ένας σοφός :
Τα ψιλά βουνά έχουν και μεγάλες χαράδρες.
Χαχαχαχα!!! Όντως, έξυπνη λύση αυτή.
ΑπάντησηΔιαγραφήΒεβαίως και μου άρεσε ή λύση σου Φώτη .
ΑπάντησηΔιαγραφήΆλλωστε στην προσπάθεια μου να δώσω κι εγώ μια λύση με μετρικές σχέσεις μου "βγήκε" η τελευταία λύση που την θεωρώ "ύπουλη" αφού ουσιαστικά , εμμέσως πλην σαφώς , κατασκευάζω τις δύο διχοτόμους.!!
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΜια άσκηση που στηρίζεται στο δικό μου τρόπο σκέψης, είναι η ακόλουθη: Τα μήκη β και γ των πλευρών ΑΓ και ΑΒ, αντίστοιχα, ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με υποτείνουσα ΑΓ ικανοποιούν τη σχέση: 3β^2-2βγ-5γ^2=0. Αν ονομάσουμε Δ το έγκεντρο και Ε το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδειχθεί ότι η ΔΕ είναι κάθετη στην ΑΒ. Θεωρείται καλή άσκηση, όποιος θέλει ας την προσπαθήσει.
Διαγραφή