Τρίτη 11 Μαρτίου 2014

Tο παράδοξο του St. Petersburg

Σε μία λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό των $α$ ευρώ και έχεις το δικαίωμα να παίξεις το παρακάτω παιχνίδι:
Ρίχνεις ένα ζάρι και αν έλθει μονός αριθμός $(1,3,5)$ για πρώτη φορά στην $k$ ρίψη παίρνεις $2^k$ ευρώ. Πόσο πρέπει να είναι το ποσό $α$, ώστε το παιχνίδι να θεωρηθεί δίκαιο; (Μέση τιμή μηδέν).
(Daniel Bernoylli, 1760)
Αναρτήθηκε από στις 11.3.14
Ετικέτες , ,

4 σχόλια:

  1. pantsik12 Μαρτίου 2014 στις 6:41 μ.μ.

    $α=\infty$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim13 Μαρτίου 2014 στις 11:38 π.μ.

    Το αποτέλεσμα που παραθέτει ο Πάνος δεν μπορεί φυσικά να αμφισβητηθεί μαθηματικά, με την προϋπόθεση ότι η θεωρία της προσδοκώμενης ωφέλειας , που αθροίζει τις σταθμισμένες χρηματικές αποδόσεις όλων των ενδεχομένων για να υπολογίσει την αξία του στοιχήματος, μπορεί να ισχύει και για άπειρο αριθμό ενδεχομένων, με ραγδαία φθίνουσες έως ουσιαστικά μηδενικές πιθανότητες.
    Φυσικά, κανένας λογικός άνθρωπος δε θα στοιχημάτιζε ολόκληρη την περιουσία του για ένα στοίχημα που σε λίγες ζαριές (θεωρητικά 2) αναμένεται να τελειώσει και να πληρώσει 2 ή 4 ή 8 € κ.ο.κ., σε κάθε περίπτωση ένα μικρό πεπερασμένο ποσό.
    Το ερώτημα πάντως για το ποιο είναι το δίκαιο ποσό συμμετοχής στο στοίχημα είναι έτσι κι αλλιώς μη απαντήσιμο, τουλάχιστον μαθηματικά, δεδομένου ότι στα καθαρά μαθηματικά δεν υπάρχει θεωρία της δικαιοσύνης. Υπάρχουν βέβαια αρκετές μαθηματικοφανείς θεωρίες στις οικονομικές και κοινωνικές επιστήμες (τέτοια είναι και η θεωρία της προσδοκώμενης ωφέλειας) που επιχειρούν να θεμελιώσουν, περισσότερο ή λιγότερο αυστηρά, την ύπαρξή τους σε μαθηματικές παραδοχές και αξιώματα, πλην όμως, όπως αποδεικνύεται και εμπειρικά, και αυτές αδυνατούν να προσδιορίσουν και να προβλέψουν τις συμπεριφορές και αποφάσεις των πραγματικών ανθρώπων (αναφέρω ενδεικτικά την προσέγγιση του προβλήματος της διαπραγμάτευσης από το Nash, που βασίζεται στις περίφημες ισορροπίες του, και τη θεωρία της δικαιοσύνης του Rawls, που βασίζεται στη minimax προσέγγιση επίλυσης των παιγνίων μηδενικού αθροίσματος που εισήγαγε πρώτος ο Neumann).
    Να προσθέσω επίσης ότι, παρ’ όλες τις αντινομίες και τα παράδοξα που, από την εποχή ακόμα του Bernoulli, ήταν γνωστό ότι δημιουργούν οι παραδοχές της θεωρίας της ωφέλειας, αυτό δε στάθηκε αρκετό στο να αποτρέψει την κυριαρχία της στα επίσημα μαθηματικά της οικονομίας και των αγορών, με όλες τις επακόλουθες αστοχίες / τραγωδίες που παρακολουθούμε και υφιστάμεθα, τα τελευταία ιδιαίτερα χρόνια.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. RIZOPOULOS GEORGIOS13 Μαρτίου 2014 στις 12:21 μ.μ.

    Θανάση, πολύ ωραίες οι σκέψεις σου (και πολύ τίμιες/θαρραλέες,δεδομένου πως προέρχονται από σένα που είσαι πολύ μέσα στα "οικονομικά πράγματα/γίγνεσθαι"). Σ'ευχαριστούμε θερμά για τις επεκτάσεις και γνώσεις που προσφέρεις!
    Για το "Παράδοξο του Πέτρογκραντ" υπάρχει κι αυτή η παλιότερη ανάρτηση-ανάλυση του Σωκράτη:
    http://eisatopon.blogspot.com/2011/02/blog-post_4784.html

    Σχέση έχει και η παλιότερη άναρτησή μου "Το σίγουρο στοίχημα":
    http://eisatopon.blogspot.com/2013/02/blog-post_1454.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS13 Μαρτίου 2014 στις 12:29 μ.μ.

      Aυτή την παλιότερη ανάρτηση ήθελα βασικά να ποστάρω,αλλά και το "σίγουρο στοίχημα" δεν είναι άσχετο με το θέμα της "αβέβαιης" μαθηματ.ελπίδας.
      http://eisatopon.blogspot.com/2013/03/blog-post_8750.html

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)