Tο παράδοξο του St. Petersburg

Σε μία λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό των $\alpha$ ευρώ και έχεις το δικαίωμα να παίξεις το παρακάτω παιχνίδι:

Ρίχνεις ένα ζάρι και αν έλθει μονός αριθμός $(1,3,5)$ για πρώτη φορά στην $k$ ρίψη παίρνεις $2^k$ ευρώ. Πόσο πρέπει να είναι το ποσό $\alpha$, ώστε το παιχνίδι να θεωρηθεί δίκαιο; (Μέση τιμή μηδέν).

(Daniel Bernoylli, 1760)