$1.$ Ένα πακετάκι μπισκότα πωλείται προς $0,90$ ευρώ. Κάθε πακετάκι περιέχει ένα κουπόνι, και $9$ κουπόνια τα ανταλλάζεις με ένα πακετάκι μπισκότα. Ποια είναι η αξία του περιεχομένου ενός πακέτου; Η αξία της συσκευασίας να θεωρηθεί μηδενική.
$2.$ Έστω $5$ διαφορετικά σημεία στο επίπεδο, τα οποία έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Yπάρχουν πάντα $2$ απ'αυτά τα σημεία, που το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει να περνάει από κάποιο άλλο σημείο με ακέραιες συντεταγμένες;
1) Έστω π το κόστος του περιεχομένου:
ΑπάντησηΔιαγραφή0,9 = π + 1/9 (π + 1/9 (π + 1/9 (π + 1/9 (... =>
0,9 = π + 1/9 π + 1/9^2 π + 1/9^3 π + ... + 1/9^ν π, για ν -> ∞ =>
0,9 = π * (1+ 1/9 + 1/9^2 + 1/9^3 + ... + 1/9^ν), για ν -> ∞ =>
Η παρένθεση αποτελεί γεωμετρική πρόοδο με α1= 1 και λ = 1/9. Το άθροισμα απείρων όρων ισούται με α1/(1-λ), συνεπώς:
0,9 = 9/8 π => π = 0,8€
ΓΔ
1. Αν κάποιος δανειστεί ένα πακέτο τότε δεν μπορεί να αγοράσει 8, να πάρει δώρο ένα και να το επιστρέψει στον δανείζοντα?
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρακτικά κατανάλωσε 9 συσκευασίες με την τιμή των οχτώ άρα το κάθε πακέτο του στοίχησε 8/9*(0,90)=0,80 λεπτά
Τα σημεία ανά 2 δεν μπορεί να έχουν το ίδιο χ ή το ίδιο y, αυτονόητο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να περνάει πάντα ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει 2 σημεία που να περνάει από σημείο με ακέραιες συντεταγμένες, πρέπει να υπάρχει διαφορά και των χ και των y μεταξύ 2 σημείων άρτια, πχ Σ1 (10,4) KAI Σ2 (6,2), άρα περνάει από το σημείο χ=(10+6)/2=8 και y=(4+2)/2 =3 (8,3), ή Σ1 (3,2) και Σ2 (7,6) και γενικά πρέπει 2 σημεία να έχουν υποχρεωτικά τα χ άρτια και τα δύο ή περιττά και τα δύο και τα y ομοίως.
Οι δυνατοί συνδυασμοί συντεταγμένων ως προς περιττά ή άρτια
είναι τέσσερις (4), οι (Α, Α) , (Α, Π), (Π, Α), (Π, Π), όπου Α= άρτιος αριθμός και Π=περιττός αριθμός, άρα τέσσερα (4) σημεία για τους τέσσερις δυνατούς συνδυασμούς και αυτά δεν δίνουν το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα. Το πέμπτο σημείο θα συμπέσει υποχρεωτικά με έναν από τους τέσσερις δυνατούς συνδυασμούς (περιστερώνας), συνεπώς ημιάθροισμα των χ άρτιο και ημιάθροισμα των y επίσης άρτιο, άρα.. Ο.Ε.Δ
Πάρα πολύ σωστά Ευθύμη! Περιστερώνας =δύναμη! :-)
ΔιαγραφήYΓ. Ορίστε χάλια τώρα! Tα ξεπετάξατε σε dt ..(αναμενόμενο βέβαια!).και τώρα άντε να βρίσκω άλλα ...
Και μία διόρθωση ενός, ας πούμε, λάθους που έγινε εν τη ρύμη του λόγου
Διαγραφή"Το πέμπτο σημείο θα συμπέσει υποχρεωτικά με έναν από τους τέσσερις δυνατούς συνδυασμούς (περιστερώνας)," συνεπώς Άθροισμα των χ άρτιο και Άθροισμα των y επίσης άρτιο, άρα ημιάθροισμα των χ και των y επίσης Ακέραιοι (άρτιοι ή περιττοί)
Λεπτομέρεια...
Υ.Γ Γιώργο, καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌσον αφορά το πρώτο ερώτημα, πάλι χάρη έκανες σε κάποιο φίλο
(μπουκάλια γάλα κλπ..) ! :-)
Είχα σκοπό να στείλω αυτό πρώτα και μετά το 2ο, γιαυτό και η πρωθύστερη καλησπέρα!
Kαλησπέρα Ευθύμη!
ΔιαγραφήΕ, αυτό ήταν λίγο πιο πονηρό από το γάλα, δεν μπορείς να πεις. :-)
Για το $1.$ ασφαλώς ολόσωστοι και οι δύο φίλοι, Unknown και Μπάτμαν! Eνδιαφέρουσες προσεγγίσεις, η πρώτη με απειροσειρά και η δεύτερη με σπιρτόζικη πρακτικότητα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ δελεαστική μπανανόφλουδα που πρέπει κάποιος να αποφύγει να πατήσει,είναι βέβαια να μην πει: αφού στα 9 πακέτα κερδίζω ένα , άρα πληρώνω $(0,9 * 9)/10= 0,81$ ευρώ το πακέτο (γιατί τότε ,περισεύει βεβαίως ένα κουπόνι,που έχει αξία).
Υ. Γ 2 Μπάτη καλησπέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓράφω το όνομα σου, όπως έχω διαβάσει να σε αποκαλούν σε κάποιες αναρτήσεις.
Είναι πράγματι αυτό το ονομά σου εξού και το Μπάτμαν, πιθανόν, ή το αντίστροφο?
Καλησπέρα Ευθύμη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πραγματικό μου όνομα είναι Μπρους Γουειν! χαχαχα. Πέρα από την πλάκα όντως λογοπαίγνιο είναι από το Μπάτης!(ωραίο και το χιουμοριστικό σου σχόλιο "ή το αντίστροφο") :-)
Συγχαρητήρια και από εμένα για την ωραία σου λύση στο 2ο πρόβλημα
Να ρωτήσω κάτι για το θέμα 2. Το 3ο σημείο θα έπρεπε να βρίσκεται ανάμεσα στα 2 σημεία που ενώνει η ευθεία ή γενικά οπουδηποτε?( η εκφώνηση δεν το έκανε σαφές νομίζω παρότι αυτό πρέπει να ζητάει )
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν κατάλαβα την ερώτηση σου, Μπάτη, όχι μόνο το 3ο σημείο βρίσκεται, αλλά και τα 5 σημεία βρίσκονται οπουδήποτε στο επίπεδο και φυσικά, εννοείται, ανά τρία δεν είναι συνευθειακά (αν υπήρχαν 3 σημεία συνευθειακά, καθώς έχουν ακέραιες συντεταγμένες, δεν θα υπήρχε πρόβλημα προς επίλυση :-) ).
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο ζητούμενο του προβλήματος είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει οπωσδήποτε ένα 6ο σημείο με ακέραιες συντεταγμένες, που να βρίσκεται πάνω σε ένα από τα 10 ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζονται από τα 5 σημεία.
Ένα αριθμητικό παράδειγμα για να γίνει σαφής η λύση του προβλήματος.
Έστω Σ1(1=Π,10=Α), Σ2(2=Α,3=Π), Σ3(3=Π,7=Π), Σ4(8=Α,2=).
Επέλεξα τέσσερα (4) σημεία με όλους τους δυνατούς
συνδυασμούς συντεταγμένων άρτιος-περιττός ακέραιος αριθμός για τα χ και y, που είναι τέσσερις, (Α,Α), (Α,Π), (Π,Α), (Π,Π), πέμπτος συνδυασμός δεν μπορεί να υπάρχει.
Το εναπομείναν σημείο (5ο) θα έχει συντεταγμένες που θα συμπίπτουν οπωσδήποτε με ένα από τα 4 σημεία, πχ
Σ5 (11=Π,13=Π), άρα συμπίπτει, σαν συνδυασμός, με το Σ3(3,7), Άρα το σημείο, έστω Σ6 με συντεταγμένες χ=(11+3)/2 =14/2 =7(ακέραιος) και y=(13+7)/2=20/2=10 βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα Σ3-Σ5 (και μάλιστα στο μέσον του) και έχει ακέραιες συντεταγμένες, ή έστω Σ5(12,14) άρα "όμοιο" με το Σ4(8,2). Συνεπώς το σημείο με χ=(8+12)/2=10 και y=(14+2)/2=8,
είναι το ζητούμενο.
Υ. Γ Αν με 3ο (όπως λέμε γενικά "τρίτος" στους δύο) εννοούσες ένα άλλο εκτός των πέντε (5), άρα "έκτο", ναι αυτό είναι πάντα υπάρχει έκτο πάνω σε ένα από τα 10 ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζονται από 5 τυχαία σημεία πάνω σε ένα επίπεδο.
ΔιαγραφήΜπάτη, δεν νομίζω πως υπάρχει κάτι τρωτό ή ασαφές στην εκφώνηση. Το σύνολο 5 σημείων στο επίπεδο (ασχέτως αν είναι συνευθειακά ή όχι,και πόσα απ'αυτά) περιέχει πάντα τουλάχιστον 2 σημεία που ενώνονται με ευθ. τμήμα που περνάει από σημείο με ακέραιες συντεταγμένες.
ΑπάντησηΔιαγραφή"5 σημεία στο επίπεδο με ακέραιες συντεταγμένες" εννοείται στο αποπάνω σχόλιο.
Διαγραφή@Ευθύμης Αλεξίου
ΑπάντησηΔιαγραφή"Υ. Γ Αν με 3ο (όπως λέμε γενικά "τρίτος" στους δύο) εννοούσες ένα άλλο εκτός των πέντε (5), άρα "έκτο", ναι αυτό είναι πάντα υπάρχει έκτο πάνω σε ένα από τα 10 ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζονται από 5 τυχαία σημεία πάνω σε ένα επίπεδο."
Αυτό ακριβώς εννοούσα Ευθύμη. Ευχαριστώ πολύ για τις δειυκρινίσεις και εσένα και το Γιώργο.(πάω να την πέσω μόλις γύρισα από τη βραδυνή έξοδο) :-)
Σορυ που σας έβαλα και σε κόπο γιατί ουσιαστικά παρανόησα το ζητούμενο της εκφώνησης. Φυσικά δεν έχει καμία ασάφεια
ΑπάντησηΔιαγραφή@ batman1986
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπάτη, καλημέρα! (έχουμε διαφορά φάσης στις ώρες ύπνου-ξυπνήματος ευθέως ανάλογη της διαφοράς φάσης των ηλικιών μας! :-) )
Τώρα αντιλήφθηκα, νομίζω, το ακριβές νόημα της ερώτησης σου.
Εννοούσες, στην ερώτηση σου, αν το "3ο" σημείο σε σχέση με τα δύο της ερώτησης του θέματος "Yπάρχουν πάντα 2 απ'αυτά τα σημεία, που το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει να περνάει από κάποιο άλλο σημείο με ακέραιες συντεταγμένες;" πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα σε αυτά τα 2, ή οπουδήποτε (στην ευθεία που περνάει από τα δύο αυτά σημεία.).
Όπως ήδη αντιλήφθηκες, "ουσιαστικά παρανόησα το ζητούμενο της εκφώνησης", η εκφώνηση αναφέρεται σε ¨ευθύγραμμο τμήμα" και όχι σε "ευθεία".
Ζητώ την κατανόηση του Γιώργου για την "αντιποίηση αρχής" που έκανα αυθόρμητα και χωρίς να το συνειδητοποιήσω αλλά αυτό συνέβη κυρίως επειδή ήσουν εσύ που ρωτούσες!
Καλημέρα Ευθύμη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑκριβώς όπως τα λες έγινε και γι αυτό το λόγιο πριν αναρτήσεις τη λύση σου σκεφτόμουν να στείλω με βάση ευθεία όπως λανθασμένα ανάγνωσα και όχι ευθύγραμμου τμήματος..