"$\cos \alpha = - \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cosh \frac{a}{ k}$"
Oι γνωστοί -στους πιο παλιούς φίλους της σελίδας- $88$ σοφοί δοκιμάζονται ξανά από το Μεγάλο Χάνο.
Αυτή τη φορά σχηματίζουν έναν κύκλο και ο καθένας τους φοράει ένα καπέλο, κάποιου από τα $4$ ακόλουθα χρώματα: άσπρο, μαύρο, κίτρινο ή μπλε. Ο καθένας μπορεί να δει τα καπέλα όλων, εκτός φυσικά από το δικό του.
Ο Χάνος, αφού δώσει κάποιο χρονικό περιθώριο, σε κάποια στιγμή θα δώσει το παράγγελμα και αμέσως όλοι οι σοφοί ταυτόχρονα πρέπει να φωνάξουν δυνατά το χρώμα του καπέλου τους.
Αν καταφέρουν να βρουν το χρώμα του καπέλου τους $22$ σοφοί ή περισσότεροι, όλοι γλυτώνουν!
Αν το βρούνε λιγότεροι από 22 , όλοι χάνουν το κεφάλι τους.
Υπάρχει κάποια στρατηγική την οποία μπορούν να εφαρμόσουν οι $88$ σοφοί ,ώστε να σωθούν σίγουρα;
Έχουν δικαίωμα να μετακινούνται δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα, κατά βούληση και κατά συμφωνημένη στρατηγική, στον κύκλο?
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ναι, έχουμε την λύση, νομίζω, του γρίφου (μία τουλάχιστον λύση).
Αν όχι, φυσικά δεν έχουμε έτσι λύση και χρειάζεται να σκεφτούμε κάτι άλλο.
Όχι. Οι σοφοί είναι στάσιμοι Ευθύμη.
Διαγραφή(αν θες όμως, γράψε την ιδέα σου για τους κινούμενους.)
Κρίμα που δεν κινούνται! Νούς υγιής εν σώματι υγιεί (ή -ή ?) !
ΔιαγραφήΔεν νομίζω ότι έχει νόημα εκτός δεδομένων να γράψω
την λύση.
Χωρίζονται μεταξύ τους σε ομάδες των 4 ατόμων (22 στον αριθμό) και σε κάθε τετράδα παίρνει ο καθένας έναν διαφορετικό αριθμό από τους 0,1,2,3. Αρκεί πλέον σε κάθε τετράδα ένας τουλάχιστον να φωνάξει σωστά το χρώμα που φοράει.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυμφωνούν να αντιστοιχίσουν καθένα από τα 4 χρώματα με ένα διαφορετικό αριθμό από τους 0,1,2,3.
Σε κάθε τετράδα, καθένας υπολογίζει το άθροισμα των αριθμών / χρωμάτων των άλλων τριών και το αφαιρεί από τον αριθμό που έχει ο ίδιος, υπολογίζοντας σε mod4 (0 ή 1 ή 2 ή 3) τη διαφορά. Βρίσκει σε ποιο χρώμα αντιστοιχεί το αποτέλεσμα και αυτό το χρώμα φωνάζει.
Η στρατηγική αυτή λειτουργεί για τον εξής λόγο:
Έστω Α είναι το άθροισμα όλων των αριθμών / χρωμάτων που φοράει μια τετράδα, το οποίο άθροισμα δεν ξέρει ακριβώς κανείς από τους τέσσερις, βλέπουν και ξέρουν όμως ο καθένας το άθροισμα των αριθμών / χρωμάτων των άλλων τριών, όπως ξέρουν φυσικά και ότι το Α είναι 0 ή 1ή 2 ή 3 mod4.
Έστω Αν το άθροισμα που βλέπει ο παίκτης ν, όπου ν=0,1,2,3.
Αν κάποιος παίκτης ν ήξερε το Α, τότε θα μπορούσε με βεβαιότητα να βρει το χρώμα του υπολογίζοντας το Α-Αν mod4. Αφού όμως το Α είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 mod4, και οι αριθμοί των παικτών ομοίως, είναι βέβαιο ότι ο ένας στους τέσσερις θα έχει αριθμό που θα συμπίπτει με το Α mod 4 και, επομένως θα κάνει σωστά τον υπολογισμό και θα καταλήξει στο σωστό χρώμα του καπέλου του.
Θανάση, εξαιρετική προσέγγιση!
ΔιαγραφήΣυνήθως τα προβλήματα αυτού του τύπου καπέλων, αφορούν κάποιο άρτο αριθμό $2ν$ παικτών και ασπρό-μαυρα καπέλα. Αλλά τίποτε δεν μας εμποδίζει να γενικεύσουμε το πρόβλημα και την επίλυσή του για $κ*ν$ παίκτες και $κ$ διαφορετικά χρώματα, όπου και παντούν σωστά οι $ν$
Είτε με τον ωραίο τρόπο του papadim ,είτε με έναν ισοδύναμο ,του οποίου η ακριβής περιγραφή αφήνεται σαν άσκηση-πρόκληση στους καλούς αναγνώστες.
Γιώργη, ευχαριστώ πολύ! Πολύ ωραίο πρόβλημα, μπράβο ακόμα μία φορά για την επιλογή σου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα δώσω μόνο ένα απλό παράδειγμα, να γίνει πιο εύληπτη η προσέγγισή μου:
Ας υποθέσουμε ότι σε μια τετράδα παικτών με αριθμούς 0,1,2,3 έχουν δοθεί με αυτή τη σειρά τα χρώματα 3,2,2,1. Το άγνωστο σε όλους άθροισμα Α των χρωμάτων και των τεσσάρων είναι 8=0 mod4, ενώ ο κάθε παίκτης κατά σειρά βλέπει αντίστοιχο άθροισμα των χρωμάτων των άλλων τριών 5,6,6,7. Αφαιρώντας ο καθένας από τον αριθμό του το άθροισμα που βλέπει, υπολογίζει αντιστοίχως -5,-5,-4,-4 ή 3,3,0,0 mod4, φωνάζοντας και το αντίστοιχο χρώμα. Ο πρώτος παίκτης είναι αυτός που θα φωνάξει το σωστό χρώμα, διότι ο αριθμός του 0 ταυτίζεται, σε βάση mod4, με το συνολικό άθροισμα Α (Α=0 mod4).