"$e^{i \pi } +1=0$"
Η δεκαδική αναπαράσταση κάποιου ακεραίου περιέχει μεταξύ των διαφόρων ψηφίων της, τους αριθμούς:
$9, 7, 3$ και $1$.
Αποδείξτε πως ανακατεύοντας-δηλαδή μεταθέτοντας - τα ψηφία του, μπορείτε να πάρετε έναν ακέραιο που διαιρείται με το $7$.
Δεδομένου ότι οι 24 αριθμοί που σχηματίζονται μόνο από αυτά τα 4 ψηφία, έχουν όλα τα δυνατά υπόλοιπα στη διαίρεση με το 7, αποδεικνύεται το ζητούμενο, καθόσον όποιοι αριθμοί και να προηγούνται των 24 αυτών αριθμών, θα έχουμε και πάλι όλα τα δυνατά υπόλοιπα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ απόδειξη με "επίθεση ωμής βίας" δεν είναι βέβαια η πιο ωραία, αλλά δεν παύει να είναι απόδειξη. Ελπίζω όμως να δούμε σύντομα και μια πιο ωραία!
Πολύ ωραία Σωτήρη(swt)!
ΔιαγραφήBrute forceful και λακωνικά περιεκτικός,ως συνήθως! :-)
Eπίτρεψέ μου να αναλύσω κάπως τη λύση σου,η οποία δεν στερείται καθόλου αυστηρότητας. (η αισθητική που λες,είναι έτσι κι αλλιώς υποκειμενική :-))
Ας δούμε κάποιες από τις μεταθέσεις των ψηφίων (24 συνολικά,όπως είπε ο Σ.) modulo 7.
$7931=0 mod(7)$ , $3179=1 mod(7)$ ,
$9137=2 mod(7)$ , $7913=3 mod(7)$
$7193=4 mod(7)$ ,$1937=5 mod(7)$
$7139=6 mod(7)$
Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε τουλάχιστον έναν τετραψήφιο αριθμό που να είναι $i mod(7)$ με i=0,1,2,3,4,5 ή 6.
Οπότε αν μεταθέσουμε τα υπόλοιπα ψηφία του ακεραίου (αν υπάρχουν.) και τούς κοτσάρουμε 4 μηδενικά στο τέλος ,έχουμε έναν αριθμό $αβγ...0000$
Αυτός έχει κάποιο υπόλοιπο mod7, ας πούμε πως είναι
$κ mod(7)$. Aν προσθέσουμε σ'αυτόν τον αριθμό ,τον τετραψήφιό μας (αυτό σημαίνει να βάλουμε στη θέση των 4 μηδενικών τον τετραψήφιο αριθμό) που είναι
$-κ mod(7)$ ,το άθροισμα (δηλαδή η τελική μετάθεση των ψηφίων του ακεραίου) είναι προφανώς $0 mod(7)$.
Aν ,για παράδειγμα, τα υπόλοιπα ψηφία με τα 4 μηδέν στο τέλος είναι $4 mod7$ μπορούμε να επιλέξουμε την μετάθεση $7913$ και μετ α ψηφία αυτά στο τέλος του αριθμού ,ο ακέραιος $K$ είναι $(4+3)mod7$ = $0 mod(7)$. QED.