Η αισθητική δύναμη της "Εισαγωγής" του Όϋλερ

"Πατρίδα μου είναι ολόκληρος ο κόσμος, και θρησκεία μου είναι το να κάνω το καλό."    

Τόμας Πέην

Σε ένα μήνα περίπου ,στις 15 του Απρίλη για την ακρίβεια, συμπληρώνονται τριακόσια εφτά χρόνια από τη γέννηση του Λέοναρντ Όϋλερ. $307$ (πρώτος αριθμός,παρεμπιπτόντως) χρόνια, από τότε που εμφανίστηκε στον πλανήτη ένας άνθρωπος στου οποίου την θαυμαστή και παραγωγική και περιπετειώδη ζωή  ταιριάζει θαρρώ το σλόγκαν του Πέην. Από πέντε χρονών παιδί, που τον βρήκε η μάνα του, μια ταπεινή παπαδιά, να προσπαθεί καθισμένος να κλωσήσει αυγά στο κοτέτσι, όπως είχε παρατηρήσει πως έκαναν οι κότες, για να παραγάγει κοτοπουλάκια, μέχρι τη στιγμή που σφάλισε τα μάτια του, παρήγε και παρήγε και...παρήγε!
Eίτε υγιής, είτε ασθενής, είτε μισότυφλος, είτε τελείως τυφλός!, είτε σε κίνδυνο και φτώχεια, είτε σε ασφάλεια και σχετική άνεση, είτε μόνος , είτε με κάποια απ'τα πολλά παιδιά του στην αγκαλιά, ο Όϋλερ παρήγε Μαθηματικά, παρήγε Επιστήμη, παρήγε Αλήθεια, παρήγε Πρόοδο, παρήγε Φως!

Το κείμενο που ακολουθεί, το θεωρώ έναν "φόρο τιμής" στον μεγάλο στοχαστή,και ανήκει σε έναν συγγραφέα και βαθύ μελετητή και γνώστη της Ανάλυσης και της ιστορίας της, τον δρα. Αντόνιο Χοσέ Ντουράν, καθηγητή της μαθηματικής Ανάλυσης στο Πανεπιστήμιο της Σεβίλλης, και εμβριθή μελετητή και ειδικό στον απειροστικό λογισμό και τις διαχρονικές του εκφάνσεις και εξελίξεις.

Ο ίδιος έχει επιμεληθεί και σχολιάσει για λογαριασμό της Real Sociedad Matematica Espanola και του εκδ.οίκου Thales την πρώτη πλήρη (κατά το δυνατόν!) αποδελτίωση και απόδοση στα ισπανικά του κολοσσιαίου σε μέγεθος και αξία κλασσικού έργου του Euler.

To απόσπασμα που ακολουθεί , είναι από το βιβλίο του Ντουράν : "Η ποίηση των Αριθμών- Ο ρόλος της ομορφιάς στα Μαθηματικά" και συγκεκριμένα από το τέταρτο κεφάλαιό του, όπου ο συγγραφέας αναλύει την αισθητική κυρίως παράμετρο και τη συγκινησιακή δύναμη του θρυλικού "Indroductio in analysin infinitorum" ("Eισαγωγή στην απειροστική Ανάλυση/Λογισμό") του Όϋλερ, κάνοντας συγχρόνως έναν ενδιαφέροντα παραλληλισμό με Καντιανά κείμενα, και προσφέροντας επίσης μια σύγχρονη εκδοχή της -εκ των υστέρων- γενικά παραδεκτής πια δικαίωσης του Όυλερ στα θέματα "αυστηρότητας και φορμαλισμού". Η "Εισαγωγή" (Ιndroductio) είναι ένα από τα τρία πιο εραλδικά συγγράμματα στα Μαθηματικά (μαζί με τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη και το "Κιτάμπ Αλ Τζαμπρ" του Αλ Χουαρίζμι). Ό,τι είναι για τη Γεωμετρία τα "Στοιχεία" και για την Άλγεβρα το " Αλ Τζαμπρ", είναι για την Ανάλυση το Indroductio.

Aλλά μάλλον πλατείασα αρκετά με την εισαγωγή μου αυτή, και είναι ώρα να δώσω το λόγο στον Ντουράν, αφού δηλώσω πως γνωρίζω καλά τον κίνδυνο που ελοχεύει στην παράθεση κάποιου έργου-ακόμη και αυτοτελούς κεφαλαίου- αποσπασματικά. Συγχωρήστε μου ,κι εσείς και κυρίως ο συγγραφέας!, αυτήν την αυθαιρεσία . Σκοπός μου είναι απλώς να παραθέσω ένα κείμενο που μού προσέφερε ικανοποίηση και συναίσθημα καθώς το διάβαζα. Η μετάφραση από το πρωτότυπο κείμενο στα Ισπανικά είναι δική μου, και εννοείται πως οποιοδήποτε τρωτό σημείο σε αυτή, βαρύνει αποκλειστικά εμένα. Σε παρενθέσεις, με πλάγια γράμματα και με την ένδειξη "Σ.τ.Γ.Ρ", υπάρχουν κάποιες δικές μου επεξηγήσεις-διευκρινίσεις.

-------------------------------------

ΤΟ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΟΥ EULER ΚΑΙ ΤΟ ΕΞΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΚΑΝΤ

Θα αφιερώσω τα δύο τελευταία υποκεφάλαια αυτού του κεφαλαίου στο έργο του Euler "Indroductio in analysin infinitorum" , βιβλίο απ'το οποίο πήρα τα παραδείγματα για να αναλύσω τις ιδέες του Χάρντυ (Hardy) πάνω στο ζήτημα της ομορφιάς των Μαθηματικών.

Στο Indroductio δεν υπάρχει ούτε διαφορικός ούτε ολοκληρωτικός λογισμός. Αυτό που προσπαθεί να διδάξει ο Όυλερ σ'αυτό του το βιβλίο είναι , όπως γίνεται φανερό κι από τον τίτλο του, ο χειρισμός απείρως μεγάλων ή απείρως μικρών ποσοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, μελετάει τις βασικές συναρτήσεις σε μη πεπερασμένες εφαρμογές. Αναπτύσσει σε σειρές συναρτήσεις, ορισμένες τις αναπτύσσει δε σε μη πεπερασμένα γινόμενα, για πρώτη φορά στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα αυτά τα χρησιμοποιεί έχοντας ποικίλους στόχους. Κάποια ανήκουν στην Ανάλυση: H πρόσθεση μη πεπερασμένων αθροισμάτων, όπως για παράδειγμα.... (Σ.τ.Γ.Ρ: παραλείπω μια μικρή παράγραφο που κάνει αναφορά σε παραδείγματα που αναφέρονται πιο πριν στο βιβλίο).. , και άλλα ανήκουν πιο πολύ στην Θεωρία Αριθμών.

Ο ίδιος ο μεταφυσικός χαρακτήρας των μη πεπερασμένων αθροισμάτων συνδυασμένος με την γλαφυρή ικανότητα διατύπωσης του Όϋλερ κάνουν το Indroductio ένα από τα πιο όμορφα κείμενα στην Ιστορία των Μαθηματικών. Σε τέτοιο βαθμό, ώστε να επηρεάσει ένα από τα εραλδικά κείμενα της Αισθητικής, όπως θα δούμε πιο κάτω.

Αναφέρομαι στην "Κριτική της κριτικής δύναμης" (Σ.τ.Γ.Ρ: "Kritik der Urteilskraft" , η τρίτη "Κριτική" του Καντ) του Γερμανού φιλοσόφου Ιμμάνουελ Καντ, και πιο συγκεκριμένα , στην αισθητική κατηγορία του "εξαίσιου" , όπως αυτή παρουσιάζεται από τον Καντ στο εν λόγω έργο.

Για να γίνω πιο σαφής, θα ξεκινήσω να περιγράψω το μη πεπερασμένο ,με τον τρόπο που το τοποθετεί ο Όϋλερ , έννοια που δίνει και τον τίτλο στο έργο του. Ο Όϋλερ δεν δίνει στο Indroductio κανένα ορισμό γι'αυτές τις απείρως μικρές ή μεγάλες ποσότητες - ποσότητες που διατρέχουν όλες τις εκφάνσεις της Ανάλυσης κατά τον 17ο, 18ο και μεγάλο μέρος του 19ου αιώνα - αλλά τις αντιμετώπισε με διαισθητικό τρόπο. Επιδίωξη του Όϋλερ ήταν , διαβάζοντας κάποιος το βιβλίο του, να φτάσει στο σημείο να καλλιεργήσει μια συγκεκριμένη τεχνική χειρισμού των μη πεπερασμένων, καθώς επίσης και μια διαίσθηση πάνω στον τρόπο που αυτές λειτουργούν.

Μια συνοπτική περιγραφή των χαρακτηριστικών αυτών των μη πεπερασμένων , ακριβώς όπως εμφανίζονται στο κείμενο του Όϋλερ, θα μπορούσε να είναι η εξής. Μια απειροστή ποσότητα είναι μια ποσότητα απεριόριστα μικρή , αλλά μη μηδενική. Ως διάφορη του μηδενός θα μπορούσε να εμφανίζεται στον παρανομαστή σε πηλίκα, και καθώς είναι ακαθόριστα μικρή θα μπορούσε να εκλαμβάνεται ίση με μηδέν, όταν χρειάζεται να απλοποιήσουμε εξισώσεις.

Από την άλλη μεριά, μια απεριόριστα μεγάλη ποσότητα παραμένει αμετάβλητη όταν τής προστίθεται ένας κανονικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει πως αν έστω $N$ ένας τέτοιος απεριόριστα μεγάλος αριθμός, τότε προκύπτει η απειλητική ισότητα: $N+1=N$. Με τον ίδιο τρόπο, ένας απεριόριστα μικρός αριθμός, έστω $w$ , είναι ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, αλλά που όσες φορές και να τον επαναλάβουμε αθροιστικά , δεν θα μπορέσει ποτέ να ξεπεράσει το $1$ ή το $1/2$ , ή οποιονδήποτε άλλον θετικό αριθμό φανταστούμε. Για να φτάσει στο $1$ ένας αριθμός $w$ απεριόριστα μικρός , πρέπει απλά να εμπλέξουμε έναν αριθμό $Ν$ απεριόριστα μεγάλο, ώστε να ισχύει: $N*w=1$.

"Είναι δύσκολο να βρούμε άλλο έργο στην ιστορία των Μαθηματικών που να μας δημιουργεί τέτοια εντύπωση για την οξυδέρκεια του συγγραφέα του, όσο το Indroductio" , έγραψε ο E.W.Hobson. Πιθανότατα, οποιοσδήποτε έχει διαβάσει το συγκεκριμένο βιβλίο του Όϋλερ, θα συμφωνήσει απόλυτα με τον Χόμπσον. Η εντύπωση αυτή λοιπόν σχετικά με την ευφυΐα του Όϋλερ προκαλείται ακριβώς επειδή το Indroductio έχει μια τεράστια δύναμη να συγκινεί. Χωρίς αμφιβολία, είναι ένα κείμενο που σε σημαδεύει, γιατί η ευφυΐα που επιδεικνύει ο Όϋλερ στο βιβλίο ,μετουσιώνεται σε ένα κείμενο γεμάτο ομορφιά, κι αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίον μένουν ανεξίτηλα τα σημάδια του ,σε όσους το διαβάσουν.

Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο τρόπος με τον οποίο χειρίζεται τις μη πεπερασμένες ποσότητες ο Όϋλερ στο Indroductio είναι καθαρά διαισθητικός. Και εκεί ακριβώς βρίσκεται η οξυδέρκεια στην οποία αναφέρεται ο Hobson. Οι μη πεπερασμένοι αριθμοί είναι επικίνδυνες οντότητες με περίεργες ιδιότητες. Ο χειρισμός τους, αν δεν γίνει με την πρέπουσα προφύλαξη, μπορεί να έχει καταστροφικές συνέπειες. Για τους Έλληνες, το άπειρο αντιπροσώπευε ένα -κατά κάποιον τρόπο-φοβερό τέρας , ας πούμε έναν γιγάντιο Μινώταυρο , από τον οποίον έπρεπε να δραπετεύσουν. Σε αντίθεση, ο Όϋλερ όχι μόνο δεν δραπέτευσε, αλλά πλησίασε το τέρας , του χάιδεψε τη ράχη και του πέρασε τον ζυγό ,μετατρέποντας την πρώην χέρσα γη σε γόνιμο έδαφος.

Είναι αξιοθαύμαστη η υποταγή που εμφανίζει το άπειρο στους χειρισμούς του Όϋλερ. Μια υποταγή η οποία, ειδικά αν σκεφτούμε την ιδιοσυγκρασία του απείρου, συγκινεί και προκαλεί ρίγη. Και σ'αυτη ακριβώς τη συγκίνηση και σ'αυτό το ρίγος έγκειται το αισθητικό επίτευγμα. Ας θυμηθούμε τα λόγια του Βολταίρου: "Για να μάς αρέσει ένα έργο, δεν αρκεί να αντικρίσουμε ή να γνωρίζουμε την ομορφιά του. Πρέπει να την αισθανθούμε, να επηρεαστούμε απ'αυτή". Και ο Γερμανός φιλόσοφος Theodore Adorno διαβεβαιώνει ότι η αισθητική αξία κάποιου αντικειμένου βρίσκεται στην ικανότητά του να συγκινεί, και να προκαλεί ένα είδους ρίγος. Η ιδέα αυτή, απαντάται και στις διάσημες συνεδρίες του Serge Lang στο Palais de la Découverte του Παρισιού , συνεδρίες που διεξήγε για τους απλούς καθημερινούς ανθρώπους , στις αρχές της δεκαετίας του '80 , με τίτλο: " Η ομορφιά του να κάνεις Μαθηματικά". Σ'αυτές, ο Lang έκανε αναφορές σε αυτό το "ρίγος στη ραχοκοκαλιά" που μάς προκαλούν οι πιο εξαίσιοι μαθηματικοί συλλογισμοί.

Στο έργο του για την αισθητική , "Κριτική της κριτικής δύναμης", ο φιλόσοφος Καντ εισήγαγε την αισθητική κατηγορία του "Εξαίσιου". Ο Καντ (1724-1804) ήταν μεταγενέστερος του Euler , γεννήθηκε και έζησε ολόκληρη σχεδόν τη ζωή του στο Königsberg (Kένικσμπεργκ) - που σήμερα ονομάζεται Καλίνινγκραντ και ανήκει στη Ρωσία - . Το Κένικσμπεργκ είναι μια πόλη που έχει σχέση και με τον Όϋλερ, όπως και η Βασιλεία όπου και γεννήθηκε, και η Αγ. Πετρούπολη και το Βερολίνο, όπου διατέλεσε στις αντίστοιχες ακαδημίες επιστημών. Δεν έζησε μεν στο Κένικσμπεργκ, αλλά έλυσε το διάσημο πρόβλημα των επτά γεφυρών του. Τον 18ο αιώνα υπήρχαν στην πόλη επτά γέφυρες που ένωναν τα δύο νησάκια στον ποταμό Πρέγκελ (Pregel) (Σ.τ.Γ.Ρ. "Πρεγκόλυα" στα Ρώσικα) με τις όχθες, και υπήρχε η απορία αν ήταν δυνατόν ή όχι να περάσει κανείς από όλες τις γέφυρες ,αλλά μόνο μία φορά από την καθεμιά.

Ο Όυλερ, με ένα απλό αλλά ευφυές σκεπτικό, που αργότερα αποτέλεσε το θεμέλιο της Θεωρίας Γράφων, απέδειξε πως μια τέτοια διαδρομή ήταν αδύνατη.

Έχοντας υπ'όψιν την περιγραφή του Καντ για το "Εξαίσιο" , δεν θα ήταν ίσως υπερβολικό να πούμε ότι την έμπνευση του ορισμού γι'αυτή την αισθητική έννοια θα μπορούσε να την έχει βρει στους συλλογισμούς του Euler για τις απειροστές ποσότητες. Αλλά και να μην ήταν οι συλλογισμοί του Όϋλερ, θα μπορούσε να είναι εκείνοι οποιουδήποτε άλλου μαθηματικού του 18ου αιώνα.

Απλώς ο Όϋλερ ήταν αυτός που εξήγησε καλύτερα τη δύναμη του απείρου.

"Εξαίσιο είναι εκείνο -έγραψε ο Καντ στην Κριτική της κριτικής δύναμης- σε σύγκριση με το οποίο οτιδήποτε άλλο είναι μικρό. Είναι αυτό που, και μόνο αν το σκεφτούμε, επιδεικνύει ένα πνευματικό χάρισμα που ξεπερνάει κάθε αισθητηριακό μέτρο. Το αίσθημα του Εξαίσιου όμως είναι ταυτόχρονα κι ένα αίσθημα πόνου, μιας πρωτόγνωρης ευχαρίστησης, είναι συγκίνηση, μια εναλλασσόμενη και γρήγορη κίνηση έλξης και απώθησης για το ίδιο αντικείμενο."

Έτσι λοιπόν, αυτό που "σε σύγκριση μαζί του όλα τα υπόλοιπα είναι μικρά", ή αυτό το οποίο "ξεπερνάει κάθε αισθητηριακό μέτρο", ορισμούς που χρησιμοποιεί ο Καντ για το Εξαίσιο, δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια ρητορική απόδοση του "ανησυχητικού" τύπου: $Ν+1=Ν$ , που περιγράφει το χαρακτήρα μιας "απεριόριστα μεγάλης" ποσότητας, που χρησιμοποιείται συχνά από τον Όυλερ στο Indroductio. Και εκείνο το "αίσθημα πόνου" δεν είναι τίποτε άλλο από αυτό που νοιώθουμε στη "μαθηματική" μας καρδιά ,όταν βλέπουμε γραμμένη τη σχέση $Ν+1=Ν$ ή όταν βλέπουμε στον παρανομαστή ενός κλάσματος μια ποσότητα η οποία λίγο μετά μηδενίζεται.

Απ'την άλλη πλευρά όμως, η κατά Καντ "πρωτόγνωρη ευχαρίστηση" αντιστοιχεί στην τελειότητα που βρίσκει κάποιος στα θαυμαστά πράγματα τα οποία μπόρεσε να δείξει ο Όυλερ σε σχέση με εκείνες τις βασανιστικές ιδιότητες των μη πεπερασμένων. Αυτό που, καθώς διαβάζουμε τις "πλεκτάνες" του Όυλερ στο Indroductio, μας δίνει συνεχώς την αίσθηση "της συγκίνησης, της εναλλασσόμενης και γρήγορης κίνησης που έλκει και απωθεί" σε εκείνες τις μαγικές οντότητες που κυριαρχούν στο βιβλίο του: τους μη πεπερασμένους αριθμούς.

ΜΕ ΟΛΗ ΤΗ ΓΟΗΤΕΙΑ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΕΩΝ

Λέγεται πως οι συλλογισμοί του Όυλερ δεν είναι και τόσο στέρεοι από άποψη λογικής ισχύος. Γι'αυτό και οι μαθηματικοί αποφάσισαν κατά τον 19ο αιώνα να αντικαταστήσουν τις απείρως μεγάλες ή μικρές ποσότητες με όρια. Τα Μαθηματικά που βρίσκει κανείς στο Indroductio δεν μοιάζουν και τόσο ακριβή. Αλλά τα φαινόμενα απατούν, γιατί σήμερα γνωρίζουμε πως η Ανάλυση που χρησιμοποιεί απειροστές ποσότητες είναι εξίσου ακριβής με τα όρια που χρησιμοποιούμε σήμερα.

Για την ακρίβεια, ο Abraham Robinson έφτιαξε το 1966 τη "λογική βάση" της Ανάλυσης του 18ου αιώνα, χρησιμοποιώντας τη Θεωρία Μοντέλων ,για να δημιουργήσει μια μη τυποποιημένη επέκταση της "Θεωρίας πρώτης τάξης" των πραγματικών αριθμών. Είναι αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως : "Μη τυπική Ανάλυση".

Δεν νομίζω πως ,σε καμιά περίπτωση, ο Όυλερ θα έχανε τον ύπνο του, λόγω του πόσο λίγο ή πολύ σχολαστικά και συστηματικά αντιμετώπιζε τα Μαθηματικά, γιατί τον Όυλερ, όπως και πριν απ'αυτόν τον Ντεκάρτ, το Νεύτωνα ή τον Λάιμπνιτς, τον απασχολούσε κυρίως το να ανακαλύψει, παρά το να αποδείξει. Αυτό ξεκαθαρίζεται με σαφήνεια στον πρόλογο του Indroductio. Εκεί υπάρχουν αλλεπάλληλες αναφορές στις έννοιες : διαλεύκανση, καθορισμός, επίλυση, επινόηση. Αυτός ο τόσο μεγάλος αριθμός αναφορών στο γεγονός της ανακάλυψης έρχεται σε αντίθεση με την απόλυτη απουσία αναφορών που σχετίζονται με την απόδειξη ή την διακρίβωση.

Τα Μαθηματικά στο Indroductio του Όυλερ ,εμφανίζονται μπροστά μας όπως εμφανιζόντουσαν τα θαύματα της φύσης μπροστά στα σαστισμένα μάτια των εξερευνητών της Αναγέννησης, γι'αυτό και δεν έχουν καμία σχέση με τους πολύ βαρετούς και "πολυφορεμένους" και παραποιημένους λογικούς-επαγωγικούς συλλογισμούς ,που τόσο συχνά συναντάμε στα σημερινά βιβλία. Διαβάζοντας το Indroductio ,είναι σαν να βυθιζόμαστε σε μια γεωγραφική εξερεύνηση στο άγνωστο. Σε εμένα φέρνει στη μνήμη τις σημειώσεις του Antonio de Pigafetta για το ταξίδι του γύρου του Κόσμου του Μαγγελάνου ή εκείνες του Juan Sebastian de Elcano όταν έγινε αρχηγός της αποστολής.

Στο Indroductio ο Όυλερ δεν προσπαθεί να κρύψει τις διάφορες ατελέσφορες, αλλά κατατοπιστικές, προσπάθειες σε σχέση με την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, ακριβώς όπως και στην διήγηση του Pigafetta δεν αποσιωπούνται οι άκαρπες προσπάθειες του Μαγγελάνου να περάσει από τον Ατλαντικό στον Ειρηνικό, ώσπου να βρει τη σωστή πορεία.

Χωρίς αμφιβολία, το Indroductio είναι ένα ταξίδι μύησης στον κόσμο του μη πεπερασμένου, και με το κείμενό του ο Όυλερ καταφέρνει να μας κάνει να αισθανθούμε την ίδια ζάλη για την περιπέτεια με αυτή που προκαλεί το διάβασμα εκείνων των σημειώσεων για τον πρώτο γύρο του Κόσμου. Ένας ακόμα καλός λόγος για να διαβάσετε το Indroductio: Το καλύτερο ίσως έργο στην ιστορία για να ανακαλύψετε τι σημαίνει ο όρος "Δημιουργική ευφυΐα" στα μαθηματικά, και ένα από τα πιο ενδεδειγμένα για να αισθανθεί κανείς τη συγκίνηση που δίνει η μοναδική τους ομορφιά.

____________ _ ____________ _ _______________