Μια κατσαριδούλα, η μικρή Τερέζα , βρίσκεται ένα πρωινό ακριβώς στο κέντρο μιας απολύτως κυκλικής περιοχής. Εξωγήινα κατσαριδοκτόνα μικρορομπότ προσγειώνονται διαδοχικά ,τυχαία σε σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Οι προσγειώσεις γίνονται σε χρονικά διαστήματα του ενός λεπτού η καθεμιά, αρχής γενομένης της πρώτης στις $8$ η ώρα.
Όταν υπάρξουν μικρορομπότ σε οποιαδήποτε τυχαία σημεία: $Α ,Β, Γ$ έτσι ώστε το σχηματιζόμενο τρίγωνο $ΑΒΓ$ να περιέχει το κέντρο $Κ$ της κυκλικής περιοχής, η Τερέζα εξολοθρεύεται ακαριαία από μια τρομερή κατσαριδοκτόνα ακτίνα.
Ποια είναι η αναμενόμενη ώρα θανάτου της μικρής Τερέζας;
Σημ. Θεωρήστε πως η Τερέζα ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου $Κ$, και τα μικρορομπότ -εξολοθρευτές με σημεία στην περιφέρεια του κύκλου.
Καταρχάς πρέπει να υπολογιστεί η πιθανότητα ώστε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από 3 τυχαία σημεία Α, Β, Γ στην περιφέρεια να περιέχει στο εσωτερικό του το κέντρο Κ του κύκλου. Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει η διάμετρος που διέρχεται από το Α να αφήνει σε διαφορετικά ημικύκλια, από τα δύο που ορίζει, τα Β και Γ (πιθανότητα 1/2) και η διάμετρος που διέρχεται από το Β να αφήνει σε διαφορετικά ημικύκλια, από τα δύο που ορίζει, τα Α και Γ (πιθανότητα 1/2). Η τελική πιθανότητα ώστε το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα 3 τυχαία σημεία να είναι θανατηφόρο είναι 1/2 * 1/2 = 1/4 και, αντιστοίχως, η πιθανότητα να μην είναι θανατηφόρο είναι 3/4.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ Τερέζα θα ζήσει σίγουρα, δηλαδή με πιθανότητα 1, μέχρι τη στιγμή της 3ης προσγείωσης, δηλαδή για 2 λεπτά μετά τις 8, οπότε και σχηματίζεται το πρώτο τρίγωνο.
Αν επί πλέον το τρίγωνο δεν είναι θανατηφόρο, δηλαδή με πιθανότητα 3/4, θα ζήσει 1 ακόμα λεπτό.
Αν επί πλέον κανένα από τα επόμενα C(4,3)-1 = 3 τρίγωνα που θα σχηματιστούν με την 4η προσγείωση δεν είναι θανατηφόρο, δηλαδή με πιθανότητα (3/4)^3, θα ζήσει 1 ακόμη λεπτό.
Αν επί πλέον κανένα από τα επόμενα C(5,3)- C(4,3) = 6 τρίγωνα που θα σχηματιστούν με την 5η προσγείωση δεν είναι θανατηφόρο, δηλαδή με πιθανότητα (3/4)^6, θα ζήσει 1 ακόμη λεπτό.
…………………………
Αν επί πλέον κανένα από τα επόμενα C(ν,3)- C(ν-1,3) = (ν-1)(ν-2)/2 τρίγωνα που θα σχηματιστούν με την ν-οστή προσγείωση δεν είναι θανατηφόρο, δηλαδή με πιθανότητα (3/4)^[(ν-1)(ν-2)/2], θα ζήσει 1 ακόμη λεπτό.
Επομένως, ο αναμενόμενος χρόνος ζωής της Τερέζας, από τη στιγμή που αρχίζουν οι προσγειώσεις, είναι το όριο της σειράς:
2 + 3/4 + (3/4)^3 + (3/4)^6 + …. + (3/4)^[(ν-1)(ν-2)/2], για αριθμό προσγειώσεων ν τείνοντα στο άπειρο.
Η σειρά συγκλίνει στο 3,42226…, επομένως τόσα λεπτά μετά τις 8 αναμένεται (με την έννοια της μαθηματικής προσδοκίας) το μοιραίο για την Τερέζα.
ΜΙΑ ΚΑΤΣΑΡΙΔΟΥΛΑ, Η ΜΙΚΡΗ ΤΕΡΕΖΑ, ΠΑΤΗΣΕ ΤΟ ΤΕΖΑ ΚΑΙ... ΤΕΕΖΑΑΑ!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΈλα ρε Φώτη! Mα πώς το σκέφτηκες ρε θηρίο αυτό; Μπράβο!
ΔιαγραφήΧΑΧΑΧΑΧΑΧΑΑΑΑΑΑΑ!!!!!!!
ΔιαγραφήΜπράβο!!.., Ζήτω!!.., Γκόλ!! (αν και δεν συμπαθώ το ποδόσφαιρο)
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι από εμένα!
Υ.Γ Προφανώς οι ..."επευφημίες" μου δεν αναφέρονται
Διαγραφήκαι δεν στοχεύουν στο πρόβλημα ή στην προσπάθεια επίλυσης αυτού!
Θανάση (papadim), ευχαριστώ για το ωραίο σχόλιο και το ενδιαφέρον για το θέμα! Θα έλεγα πως το θέμα είναι ακόμη ανοικτό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα 'σαι καλά Γιώργη! Μιας και το γκολ, και σωστά, δε μέτρησε, επανέρχομαι με νέα επίθεση, ελπίζω αυτή τη φορά γρήγορη και αποτελεσματική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤυχαίες θέσεις προσγείωσης των εξολοθρευτών σημαίνει, μεταξύ άλλων, καμιά συστηματική προτίμηση σε σημεία που να ανήκουν σε ένα ημικύκλιο έναντι του άλλου ή σε σημεία που να είναι πλησιέστερα σε κάποιον ήδη προσγειωμένο εξολοθρευτή έναντι κάποιου άλλου.
Επομένως, αν το πρώτο ρομπότ προσγειωθεί σε μια τυχαία θέση έστω 0, τότε, σε κλίμακα 0 έως 360, η μέση θέση του δεύτερου ρομπότ είναι η θέση 180, ενώ οι μέσες θέσεις του τρίτου και του τέταρτου ρομπότ, ανεξαρτήτως σειράς, είναι οι θέσεις 90 και 270. Από τις αναμενόμενες θέσεις των 4 πρώτων ρομπότ ως κορυφές σχηματίζεται συνεπώς ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις 4 κορυφές έχουν πλευρές που διέρχονται από το Κ (τις διαγωνίους του τετραγώνου), αλλά κανένα από αυτά δεν το περιέχει πλήρως στο εσωτερικό του.
Επομένως, μέχρι τη στιγμή της 4ης προσγείωσης η Τερέζα αναμένεται να ζει, έστω γλιτώνοντας οριακά. Τώρα όμως, σε οποιοδήποτε σημείο οποιουδήποτε από τα 4 τόξα 90 μοιρών και να προσγειωθεί το 5ο ρομπότ, ο σχηματισμός μοιραίου τριγώνου είναι αναπόφευκτος.
Άρα η Τερέζα θα / αναμένεται να πεθάνει με την προσγείωση του πέμπτου ρομπότ, που θα γίνει στις 8:04.
Αυτή ακριβώς είναι η σωστή απάντηση Θανάση. Συγχαρητήρια για την ωραία και έξυπνη γεωμετρική προσέγγιση!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι η πρώτη προσέγγισή σου με την απειροσειρά ,με λίγο fine tuning, θα έδινε σωστό αποτέλεσμα.
Η τερεζούλα είναι όντως ασφαλής όσο υπάρχει ένα τόξο κύκλου που είναι robot-free και ισούται με μισή περίμετρο.
Έστω $Χ$ ο αριθμός όλων των εξ.ρομπότ που προσγειώνονται .
Τότε, για κάθε ακέραιο $t \geq 1$ , ισχύει:
$P(X-1 \geq t)=t(t-1) \int_{x=0}^{\ 1/2 } \ x^{t-2} \, dx = \frac{t}{ 2^{t-1} } $
και η μαθ. ελπίδα,
$E(X-1)= \sum_{t=1}^ \infty p(X-1 \geq t)=$
$= \sum_{t=1}^ \infty \frac{t}{ 2^{t-1} } =4$
Άρα ο αναμενόμενος αρ. ρομπότ είναι $Χ=5$ και η τερεζουλίνα πεθαίνει όντως στις $8.04$
Γιώργο ευχαριστώ και επίτρεψέ μου να πιστώσω τη βασική ιδέα της γεωμετρικής λύσης που πρότεινα πιο πάνω σε εσένα και το σημαντικό μερίδιο των αναρτήσεών σου με προβλήματα που λύνονται με διαισθητικό - πρακτικό τρόπο, πέρα από τον καθαρά μαθηματικό, που δεν παύει να είναι φυσικά ο πλέον έγκυρος και ασφαλής σε κάθε περίπτωση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ωραία και αυτή σου η επιλογή και μπράβο!
Για τους φίλους της στρογγυλής θεάς, αλλά όχι μόνο, και με την άδεια ελπίζω του Γιώργου, προτείνω να σκεφτούμε και την εξής παραλλαγή / επέκταση του προβλήματος:
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ Τερέζα βρίσκεται στο κέντρο Κ μιας σφαίρας και τα μικρορομπότ προσγειώνονται διαδοχικά σε τυχαίες θέσεις Α, Β, Γ, Δ κ.ο.κ. της επιφάνειάς της ανά λεπτό, ξεκινώντας από τις 8:00. Η θανατηφόρα ακτίνα εκτοξεύεται ακαριαία όταν σχηματιστεί από τις θέσεις 4 ρομπότ τετράεδρο που περιέχει εσωτερικά το κέντρο Κ. Ποια ώρα αναμένεται να επέλθει το μοιραίο για την Τερέζα;
Και μία τρίτη λύση
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι το 1ο ρομπότ προσγειώνεται σε ένα τυχαίο σε ένα
τυχαίο σημείο Α της περιφέρειας του κύκλου Ο και έστω Α!
το αντιδιαμετρικό του, το 2ο θα προσγειωθεί, έστω στο σημείο
Β σε μία από τις δύο ημιπεριφέρειες ΑΟΑ! και οι δυνατές
θέσεις που μπορεί να βρεθεί κινούνται, ισοπίθανα ένα εύρος
γωνιών ΑΟΒ = 0 έως 180 μοίρες..
Χωρίζω την ημιπεριφέρεια , ας πούμε, σε 180 τμήματα
( “πρωτόγονο¨ ολοκλήρωμα).
Με την έλευση του 3ου ρομπότ, η κατσαρίδα πεθαίνει αν το
3ο ρομπότ βρεθεί στο τμήμα της περιφέρειας που αντιστοιχεί
στην προέκταση της γωνίας ΑΟΒ (“παρασκιά” ! :-).
Για ΑΟΒ=0 μοίρες, πιθανότητα θανάτου κατσαρίδας 0
Για ΑΟΒ=1ο , πιθανότητα θανάτου 1/360
Για ΑΟΒ=2ο , πιθανότητα θανάτου 2/360
...............................................................
...............................................................
Για ΑΟΒ=180ο , πιθανότητα θανάτου 180/360
Πιθανότητα θανάτου κατσαρίδας
[(0+1+2+.....+180)/181]/360 =1/4 και άρα
πιθανότητα επιβίωσης=3/4.
Με την έλευση του 4ου ρομπότ, άλλα 3 τρίγωνα (+1 που
υπολογίσθηκε) άρα πιθανότητα επιβίωσης (3/4)^3 και
άρα πιθανότητα θανάτου =1-(3/4)^3= 37/64 και
αθροιστικά ¼ +37/64 =53/64 <1(βεβαιότητα).
Με την έλευση του 5ου άλλα C(5,3)-4=10-4=6 τρ.
Και P(επιβίωσης) =(3/4)^6=729/4096 και
άρα P(θανάτου)=1-729/4096 =3367/4096
και αθροιστικά (1/4)+(37/64)+(3367/4096)=6759/4096>1
άρα... όπως ήδη έχει υπολογισθεί 8:04
Στο πρόβλημα στο επίπεδο, η πιθανότητα σχημ/σμού
Διαγραφήτριγώνου από 3 σημεία που να περιέχει το κέντρο του
κύκλου βρίσκεται εύκολα με γεωμετρικό τρόπο.
Το Α σε όποια τυχαία θέση, το Β σε μία ημιπεριφέρεια
και η “μέση” θέση είναι το μέσον της ημιπεριφέρειας,
άρα ΑΟΒ=90 μοίρες, άρα ευνοικά ενδεχόμενα
σχηματισμού τριγώνου που να περιέχει το κέντρο
του κύκλου είναι το Γ να βρεθεί στο τόξο που
αντιστοιχεί στην προέκταση της ΑΟΒ (90ο), άρα
πιθανότητα σχηματισμού τριγώνου =90/360 =1/4
τα υπόλοιπα τα ίδια...
Έχω κάποιες επιφυλάξεις ως προς την ορθότητα της προσέγγισης του αγαπητού Ευθύμη (που βασίζεται στο ίδιο σκεπτικό με την αρχική δική μου), τις οποίες θα διατυπώσω με τη μορφή ερωτημάτων:
Διαγραφή1. Η πιθανότητα σχηματισμού μοιραίου τριγώνου από τα 3 πρώτα σημεία είναι, και συμφωνούμε, 1/4 και η συμπληρωματική της (μη σχηματισμού) 3/4. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα μη σχηματισμού μοιραίων τριγώνων, από την 4η προσγείωση και μετά, είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, ώστε να δικαιούμαστε να υψώνουμε το 3/4 στον εκάστοτε αριθμό των τριγώνων;
2. Το σκεπτικό των περαιτέρω υπολογισμών του Ευθύμη, αν το καταλαβαίνω καλά, είναι η εύρεση διαδοχικά της πιθανότητας θανάτου σε κάθε νέα προσγείωση και η εν συνεχεία άθροιση των μερικών πιθανοτήτων μέχρι το άθροισμα να υπερβεί τη μονάδα. Τι εκφράζει όμως αυτή η σωρευτική πιθανότητα και πώς μπορεί να είναι μεγαλύτερη του 1;
3. Αν μπορεί να υπάρχει τέτοια πιθανότητα, προφανώς αυτό δεν μπορεί να σημαίνει ότι με την 5η προσγείωση (οπότε η τιμή της υπερβαίνει το 1), θα έχουμε βέβαιο θάνατο της Τερέζας, αφού ούτε για 5 είτε για οσεσδήποτε προσγειώσεις ο σχηματισμός μοιραίου τριγώνου είναι απολύτως εξασφαλισμένος.
Permission granted! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή"τυχαίες θέσεις" υποθέτω πως σημαίνει ανεξάρτητες μεταξύ τους μεταβλητές, ομοιόμορφα κατανεμημένες (uniformly distributed)στην επιφάνεια, έτσι;
Θανάση, η ερώτησή μου δεν είναι τετριμμένη ,ούτε κενή περιεχομένου, με την εξής έννοια:
ΔιαγραφήTo "τυχαίο" όταν αφορά επιλογή σημείων στην επιφάνεια σφαίρας,ανίθετα με τον κύκλο, δεν είναι απλή υπόθεση να οριστεί. Οι συνηθισμένες πολικές συντεταγμένες ΔΕΝ ισοκατανέμουν σημεία! (δημιουργούν υπερσυγκέντρωση στους Πόλους). Εχει διαφορά η "κανονική" επιλογή σημείων ,από την τυχαία επιλογή ΑΠΟ μία ομοιόμορφη κατανομή.
Δεν μπορούμε να ισοκατανείμουμε σημεία πάνω σε σφαίρα ,παρά μόνον αν είναι κορυφές πλατωνικού στερεού. ($ν=4, 6, 8, 12, 20$).
Αν εννοείς ως "τυχαία" τυχαίως κατανεμημένα σημεία με ΣΤΑΘΕΡΗ πυκνότητα πιθανότητας (density function) έχει ισχύ αυτό: http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html
Αλλιώς, νομίζω πως στα πλαίσια της ερώτησής σου ,μια ορθή προσέγγιση θα ήταν η εξής:
Mια γεννήτρια τυχαίων τιμών που να δίνει τιμές $θ$ στο ημιανοικτό διάστημα $[0,2π)$ (ουσιαστικά ένα γεωγραφ.πλάτος!) και ένα z να ανήκει στο $[-1,1]$.
Τότε το τμήμα σφαιρικής επιφάνειας που ορίζεται από τις τομές των επιπέδων έστω $z=a$ και $z=b$ εξαρτάται μόνο από την τιμή $|a-b|$ , με $a,b \in [-1,1]. Έτσι, έχουμε μία ομοιόμορφη κατανομή.
ΥΓ. Aπ'τη στιγμή που έχουμε τα $θ$ και $z$ οι συντεταγμ. του σημείου σε ορθογ.(καρτεσιανές) σύστημα είναι:
( \sqrt{1- z^{2} }cos \vartheta , \sqrt{1- z^{2} }sin \vartheta, z)
To "πάμε" λοιπόν έτσι;
Ξαναγράφω το τέλος που εμφανίστηκε χάλια:
ΔιαγραφήAπό τη στιγμή που έχουμε τα θ και z, οι ορθογ.(καρτεσιανές) συντεταγμ του σημείου είναι:
$( \sqrt{1- z^{2} }cos \vartheta , \sqrt{1- z^{2} }sin \vartheta, z)$
Τυχαία σημεία σημαίνει ότι οποιοδήποτε σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας είναι ισοπίθανο με οποιοδήποτε άλλο. Με την έννοια αυτή, μιλάμε για ομοιόμορφη κατανομή των πιθανών σημείων προσγείωσης ή, αν θέλετε, για σταθερή πυκνότητα κατανομής των πιθανών σημείων πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ παραπομπή που δίνεις, Γιώργο, νομίζω ότι αναφέρεται στην ‘παραμόρφωση’ (πύκνωση κοντά στους πόλους) της κατανομής των σημείων, όταν αυτή (εσφαλμένα) παραμετροποιείται με χρήση σφαιρικών συντεταγμένων θ και φ και θεώρηση ομοιόμορφα κατανεμημένων των γωνιών θ και φ στα αντίστοιχα πεδία ορισμού τους. Στο ίδιο άρθρο πάντως, προτείνονται και εναλλακτικές παραμετροποιήσεις που εμποδίζουν μια τέτοια παραμόρφωση. Επομένως, αν κάποιος φίλος ήθελε να χρησιμοποιήσει κάποιο σύστημα αναφοράς για τα σημεία της σφαίρας, προκειμένου να υπολογίσει πιθανότητες ή αναμενόμενου χρόνους, θα πρέπει να το κάνει με τον κατάλληλο τρόπο.
Νομίζω πάντως ότι η διαισθητική – γεωμετρική προσέγγιση που πρότεινα για το αρχικό πρόβλημα, με επέκτασή της στις 3 διαστάσεις, δίνει την απάντηση χωρίς να χρειάζεται κάποιο ιδιαίτερο σύστημα αναφοράς.
Αν και δεν είμαι φίλος της στρογγυλής “θεάς”, αλλά φίλος της στερεομετρίας στα γυμνασιακά μου χρόνια και πολύ “τυχερός” γιαυτό μετέπειτα στην δουλειά μου, αρχιτεκτονική (σχεδίαση
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι κατασκευή κυρίως κατοικιών), έκανα μία προσπάθεια να προσεγγίσω το θέμα.
Στη σφαίρα, τα 4 σημεία της περιφέρειας του κύκλου
αντιστοιχίζονται με 6 σημεία στη σφαίρα.
Το 1ο σε μία τυχαία θέση Α, το 2ο στην τομή της προέκτασης της ΑΚ, Κ το κέντρο της σφαίρας, με την επιφάνεια της σφαίρας και θεωρώντας έναν τυχαίο κύκλο της σφαίρας, που ορίζεται από τα Α,Β και Κ, τα "μέσα" Γ και Δ είναι στις θέσεις 90 και 270 (Α στη θέση 0, Β στη θέση 180).
Ε και Ζ στις τομές άξονα, κάθετο στο επίπεδο του εν λόγω
κύκλου με την επιφάνεια της σφαίρας.
Τα τετράεδρα που δημιουργούνται από τα 6 σημεία
ανά 4 διέρχονται από το Κ αλλά κανένα δεν το περιέχει
πλήρως στο εσωτερικό του, άρα υπάρχει πιθανότητα,
ελαχιστότατη, επιβίωσης της κατσαρίδας.
Το 7ο όμως ρομπότ με την έλευση του σε όποιο από τα
8 τμήματα της επιφάνειας της σφαίρας και αν προσγειωθεί θα σχηματίσει τετράεδρο με κάποια 3 σημεία και άρα κατσαρίδα τέλος.
Άρα αναμενόμενος χρόνος θανάτου 8:06
Μπράβο Ευθύμη, νομίζω ότι δε θα είχα να αλλάξω το παραμικρό στην ανάλυσή σου!
ΔιαγραφήΕλπίζω τώρα να συμφωνήσει μαζί μας και ο διαφορικός λογισμός, με τα διπλο-τριπλοτσίγγελά του.
Ο "διαφορικός λογισμός", ο εξ εμού προερχόμενος τουλάχιστον... :-), προς το παρόν επιφυλάσσεται.:-)
ΔιαγραφήH γεωμετρική προσέγγιση του Ευθύμιου, μού φαίνεται και μένα άψογη! (αλλά δεν είμαι πολύ in the mood για σοβαρή μαθηματική σκέψη, αυτή την ώρα..)
http://lsusmath.rickmabry.org/psisson/putnam/putnam-web.htm#CITEwendel
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ'αυτή την πολύ ενδιαφέρουσα εργασία (νάτα πάλι τα αφινικά!) υπάρχει έτοιμο το αποτέλεσμα του J.G.Wendel (παραπομπή [8] ) για την πιθανότητα $Ν$ τυχαίως (με βάση τα προαναφερόμενα περί τυχαιότητας=σταθερή επιφανειακή πυκνότητα πιθανότητας) επιλεγμένα σημεία πάνω σε μια n-σφαίρα, να κείνται όλα στο ίδιο ημισφαίριο.
Προφανώς η συμπληρωματική πιθανότητα ,μάς λύνει το θέμα, αφού αντιστοιχεί σε τουλάχιστον ένα σχηματισμένο τετράεδρο που περιέχει το κέντρο της σφαίρας.
Έτσι ,για 6 σημεία/ρομπότ,, και τρεις διαστάσεις (n=3) η πιθανότητα αυτή,
1- (2^(-6+1)Σ(k=0 to 2)C(6-1,k))είναι ακριβώς 1/2 :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-+%282%5E%28-6%2B1%29%CE%A3%28k%3D0+to+2%29C%286-1%2Ck%29%29
Και για 7, περνάμε τον μέσο όρο ,και επιβεβαιώνουμε το αποτέλεσμα που βρήκε ο Ευθύμης, χωρίς πολλά πολλά τσιγκελωτά :-) που όσο να πεις ,με ψιλοζορίζουν σ'αυτή την περίπτωση .
p(7 σημεία να μην είναι όλα στο ίδιο ημισφαίριο= κάνουν θανατηφόρο τετράεδρο)=1- (2^(-7+1)Σ(k=0 to 2)C(7-1,k))=
=0,65625.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-+%282%5E%28-7%2B1%29%CE%A3%28k%3D0+to+2%29C%287-1%2Ck%29%29
Αντιλαμβάνομαι πως η παραπάνω προσέγγιση δεν φαίνεται και πολύ ακριβής ή αυστηρή, αλλά νομίζω πως είναι. Aν κάποιος δικαιολογημένα παρατηρήσει πως κανονικά έπρεπε να προσθέσω τις πιθανότητες για 4 σημεία + αυτή για 5 +...κ.λ.π. και να αφαιρέσω τις ανα δύο τομές ,βάσει inclusion-exclusion, θα έχει μεν δίκιο, αλλά η πιθανοτική ισοκατανομή των εμβαδών των σφαιρικών τριγώνων που σχηματίζονται (ομοιόμορφη κατανομή) νομίζει πως επιτρέπει την χονδρική αυτή προσέγγιση, αφού τα σχηματιζόμενα τετράεδρα για 6 σημεία ( C(6,4)=15) είναι πρακτικά μη τεμνόμενα (disjoint) , όπως ανέφερε και ο Ευθύμης.
ΔιαγραφήΕξαιρετική η παραπομπή σου Γιώργο, αφού μας δίνει ευθέως τον πολυπόθητο τύπο υπολογισμού της πιθανότητας να μη σχηματίζεται μοιραίο τρίγωνο (στην περίπτωση του κύκλου) ή μοιραίο τετράεδρο (στην περίπτωση της σφαίρας) από οποιονδήποτε αριθμό τυχαίων σημείων στον κύκλο ή τη σφαίρα αντιστοίχως.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ τύπος αυτός, ο οποίος στη γενική μορφή του αφορά σε χώρο η διαστάσεων και Ν σημεία, ειδικά για τις περιπτώσεις:
η=2 (κύκλος, τρίγωνα) παίρνει τη μορφή p = Ν / 2^(Ν-1) και
η=3 (σφαίρα, τετράεδρα) παίρνει τη μορφή p = [(Ν^2-Ν+2)/2] / 2^(Ν-1)
Τώρα πλέον, με εφαρμογή των πιο πάνω τύπων, μπορούμε και στις δύο περιπτώσεις να βρούμε τους ακριβείς αναμενόμενους χρόνους t θανάτου της Τερέζας, με χρήση απειροσειρών ως εξής:
1. Κύκλος, τρίγωνα
t = lim {2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + … + Ν / 2^(Ν-1)} = 4, για Ν -> άπειρο
2. Σφαίρα, τετράεδρα
t = lim {3 + 7/8 + 11/16 + 16/32 + … + [(Ν^2-Ν+2)/2] / 2^(Ν-1)]} = 6, για Ν -> άπειρο
Νομίζω ότι, μετά και από αυτό, δεν πρέπει να μας μένει καμιά αμφιβολία για την ορθότητα των διαισθητικών – γεωμετρικών υπολογισμών, που είχαν καταλήξει στα ίδια ακριβώς αποτελέσματα..
Έτσι Θανάση. Μπράβο για την ανάλυση του τύπου της πιθανότητας σε πιο εύχρηστη μορφή! :-)
Διαγραφή