Σάββατο 8 Μαρτίου 2014

Άνισα τμήματα, ίσες προβολές

Σε τρίγωνο $ABC$ φέρνουμε τα ύψη του $AD,BE,CZ$. Αν $T\,\kappa \alpha \iota \,S$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,C$ στις ευθείες $DZ\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι $TZ = SE$.
Αναρτήθηκε από στις 8.3.14
Ετικέτες ,

4 σχόλια:

  1. Κουνελοϊός21 Μαρτίου 2014 στις 3:20 π.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κουνελοϊός21 Μαρτίου 2014 στις 3:26 π.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Κουνελοϊός21 Μαρτίου 2014 στις 6:43 μ.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Κουνελοϊός21 Μαρτίου 2014 στις 9:35 μ.μ.

    Τα τετράπλευρα BDHZ και CDHE είναι εγγράψιμα σε κύκλο, διότι (γωνία BDH)+(γωνία BZH)=π/2+π/2=π και (γωνία CDH)+(γωνία CEH)=π/2+π/2=π. Άρα γωνία BZD=γωνία BHD και γωνία CED=γωνία CHD. Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα BTZ, BDH καθώς και τα CES, CDH είναι όμοια, οπότε TZ/BZ=DH/BH και SE/CE=DH/CH. Άρα TZ=DH(BZ/BH) και SE=DH(CE/CH). Επίσης, γωνία BHZ=γωνία CHE ως κατακορυφήν, επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα BHZ και CEH θα είναι και αυτά όμοια, οπότε BZ/BH=CE/CH, απ' όπου προκύπτει τελικά ότι TZ=SE. Επίσης, μπορεί να αποδειχθεί ότι EZ=DS+DT.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)