Στον πλανήτη Locomathe υπάρχει η Τετραγωνούπολη. Μια ωραία, τετράγωνη αγροτική πόλη που εκτείνεται σε ένα πλαίσιο $ \nu \times \nu $, και όπου η κάθε οικογένεια από τις $ν^{2}$ συνολικά, είναι ιδιοκτήτρια και κατοικεί στο τετράγωνο οικόπεδό της. Μια μέρα εμφανίζεται ένας εκπρόσωπος της εταιρίας Locodirtian, του μεγαλύτερου παραγωγού "ντερτίνης" του πλανήτη. H ντερτίνη είναι το πολυτιμότερο δημητριακό, αλλά έχει το μειονέκτημα πως η καλλιέργειά του αποπνέει μια ανυπόφορη μπόχα. Κάνει την εξής πρόταση. Η εταιρία προτίθεται να αγοράσει $\kappa < \nu$ οικόπεδα ,στην τιμή του ενός εκατομμυρίου Locoeuros το καθένα.
($1$ εκατομμύριο Locoeuros είναι πολλά λεφτά! H επίσημη διαγαλακτική ισοτιμία Locoeuro και Εuro είναι 1 προς 100) . Όποιο οικόπεδο αγοραστεί ,η οικογένεια που ζει εκεί θα το εγκαταλείψει και η εταιρία θα καλλιεργήσει εκεί ντερτίνη.
Αν κάποιο μη αγορασμένο οικόπεδο βρεθεί σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή να συνορεύει με $2$ (*) οικόπεδα ντερτίνης , οι κάτοικοι μη μπορώντας να αντέξουν τη μυρωδιά της ντερτίνης θα αναγκαστούν να το εγκαταλείψουν πουλώντας το κοψοχρονιά, και η Locodirtian θα το αγοράσει για $10$ χιλιάδες loceuros μόνο, και θα καλλιεργήσει και σ'αυτό ντερτίνη. H εταιρία προσφέρει επίσης την εξής δυνατότητα στους κατοίκους.
Όταν περάσουν $5$ χρόνια , η εκμετάλλευση των οικοπέδων θα σταματήσει και με δικά της έξοδα θα επαναφέρει τα οικόπεδα στην αρχική τους κατάσταση,χτίζοντας και τα σπίτια ξανά. Αλλά αυτό θα γίνει μόνον εάν δεν έχουν φύγει/πουλήσει όλοι οι κάτοικοι.
Η γενική συνέλευση των κατοίκων της Τετραγωνούπολης πρέπει να αποφασίσει αν θα δεχτεί ή όχι την συνολική πρόταση της εταιρίας. Tα λεφτά είναι πολλά, αλλά πρώτη και κύρια προτεραιότητα των κατοίκων είναι να ξανακερδίσουν πίσω τα μέρη τους και την τωρινή ζωή τους σε $5$ χρόνια. Πρέπει να δεχτούν την προσφορά;
Σημ. H Εταιρία αρνείται να αποκαλύψει, ποια ακριβώς οικόπεδα θα είναι τα $κ$ της αρχικής επένδυσης.
Σημ 2. (*) το τυχαίο οικόπεδο $(χ,ψ)$ συνορεύει με το οικόπεδο $(χ',ψ')$ εάν και μόνο εάν $χ=χ'$ και $\mid \psi - \psi ' \mid =1$ ή $ψ=ψ'$ και $ | \chi - \chi ' | =1$.
Για να αναγκασθούν να πουλήσουν όλοι οι κάτοικοι τα οικόπεδα τους πρέπει με βάση την Σημ. 2 να αγορασθούν αρχικά
ΑπάντησηΔιαγραφήτουλάχιστον $ \nu $ οικόπεδα σε μία διαγώνιο του πλέγματος.
Το $ \nu $ είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός σε ένα
πλέγμα $ \nu \times \nu $ με γειτνιάσεις δεξιά,αριστερά,
πάνω,κάτω για να καλυφθεί όλο το πλέγμα.
Άρα συμφέρει να πουλήσουν τα οικόπεδα-σπίτια τους, γιατί η εταιρεία αγοράζοντας αρχικά (αν δεχθούν οι κάτοικοι να πουλήσουν) $\kappa$ οικόπεδα-σπίτια στην τιμή του ενός
εκατομμυρίου Locoeuros το καθένα =$100$ εκ ευρώ (maχ κ=ν-1),
και στη συνέχεια διαδοχικά τα υπόλοιπα $\kappa \times ( \kappa-1)$
[μέγιστο $ (\nu -1) \times( \nu -2)$ ] οικόπεδα στην τιμή των
10 χιλιάδων loceuros = 1000000 Εuro,
αλλά δεν θα μπορέσει να αγοράσει όλα τα οικόπεδα-σπίτια,
θα μείνουν απούλητα τουλάχιστον $2 \nu -1$ οικόπεδα.
Και φυσικά η εταιρεία σε 5 χρόνια είναι υποχρεωμένη να “σταματήσει την εκμετάλλευση των οικοπέδων και με δικά της έξοδα θα επαναφέρει τα οικόπεδα στην αρχική τους κατάσταση, χτίζοντας και τα σπίτια ξανά.”
Καλημέρα, και ευχαριστώ για το σχόλιο Ευθύμη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌλα όσα γράφεις είναι σωστά, αλλά πώς αποδεικνύεται το "Το ν είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός σε ένα
πλέγμα ν×ν με γειτνιάσεις δεξιά,αριστερά,
πάνω,κάτω για να καλυφθεί όλο το πλέγμα.";
Καλημέρα, Γιώργο
ΑπάντησηΔιαγραφήΜαθηματική απόδειξη δεν έχω, μην ξαναπώ ότι “αυτά που ήξερα
στα νεανικά μου χρόνια τα περισσότερα τα έχω ξεχάσει και πολλά κυρίως από τα λεγόμενα ανώτερα μαθηματικά δεν τα γνωρίζω, απλά έχω μια ικανότητα να λύνω προβλήματα άλλες φορές εμπειρικά (παρατήρηση-ανάλυση δεδομένων) άλλες φορές
ψάχνοντας στο διαδίκτυο και διαβάζοντας την θεωρία,κοπιαστικό πράγμα μεν αλλά μου αρέσει να λύνω προβλήματα!
Τελικά το ξαναείπα!
Έτσι εδώ αναλύοντας την Σημ. 2, συμπεραίνω ότι ένα οικόπεδο
για να πουληθεί αναγκαστικά μετά την αγορά-πώληση των αρχικών K οικοπέδων πρέπει να έχει 2 τουλάχιστον από τα K δεξιά, αριστερά, πάνω, κάτω.
Εξετάζοντας τις δυνατές θέσεις βλέπω ότι οι περιπτώσεις των θέσεων των κ οικοπέδων είναι:
1η περίπτωση
(1,1),άδειο,(3,1), άδειο, (5,1), άδειο,...άδειο ή (ν-1,1),(ν,1)
(1,3),άδειο,(3,3), άδειο, (5,3), άδειο,...άδειο ή (ν-1,3),(ν,3)
................................................................................
(1,ν),άδειο,(3,ν), άδειο, (5,ν), άδειο,.....άδειο ή (ν-1,ν),(ν,ν)
Πολλά πάρα πολλά!
2η περίπτωση και η πιο οικονομική να υπάρχει μία κοινή κορυφή
(1,1), άδειο, ......................................, [άδειο= (ν,1)]
άδειο,(2,2), άδειο,.............................., [άδειο,= (ν,2)]
άδειο, άδειο,(3,3),άδειο,................... ., [άδειο = (ν,3)]
.....................................................
.....................................................
άδειο, άδειο,.....άδειο,(κ,κ), άδειο,......, [άδειο=(ν,κ)]
άδειο, άδειο,......................................,[άδειο=(ν,κ+1)]
..............................................................
άδειο, άδειο,.......................................[άδειο= (ν,ν)]
Όπως φαίνεται στα σχήμα θα αγορασθούν πρώτα
αναγκαστικά οι δύο σειρές διαγωνίων οικοπέδων (μία αριστερά μία δεξιά), οι “παράλληλες” στα Κ,μετά οι άλλες 2 “παράλληλες κ.ο.κ, και φυσικά οι “παράλληλες” αυτές σειρές δεν μπορούν να υπερβούν την κ-ιοστη γραμμή και την κ-ιοστή στήλη και έτσι θα τελικά αγορασθεί μόνο το τμήμα κ*κ του πλέγματος ν*ν.
Για να αγορασθεί όλο το πλέγμα ν*ν πρέπει η διαγώνια πρώτη αγορά-πώληση να φτάσει μέχρι το τέλος του πλέγματος, ήτοι (κ,κ)=(ν,ν) δηλαδή να αγορασθούν ν οικόπεδα,πράγμα άτοπο αφού κ<ν.
Μέχρι εκεί μπορώ να φτάσω “μαθηματικά” αλλά θεωρώ
την λύση αυτή λογική.
Αν υπάρχει και αυστηρά μαθηματική λύση, θα την διαβάσω
όταν αναρτηθεί.
Αντί της λέξης "άδειο"(οικόπεδο) έπρεπε να γράψω απούλητο (οικόπεδο). Λεπτομέρεια....
ΔιαγραφήΘα προσπαθήσω να δώσω την αριθμητική-μαθηματική απόδειξη ότι τα ν οικόπεδα είναι ο ελάχιστος αριθμός οικοπέδων που πρέπει να αγοράσει αρχικά η εταιρεία για να μπορέσει στην πορεία να εξαγοράσει όλα τα οικόπεδα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην ουσία να αριθμητικοποιήσω - μαθηματικοποιήσω την γραφική - γεωμετρική λύση που έδωσα.
Είδαμε προηγούμενα ότι για να είναι δυνατόν να εξαγορασθεί
ένα οικόπεδο πρέπει να γειτονεύει από 2 πλευρές με οικόπεδα
ντερτίνης δεξιά, αριστερά, πάνω, κάτω, δηλαδή να βρίσκεται
σε κάποια από τις παρακάτω θέσεις
Χ Α Χ
Χ
Α
Χ
Χ Α......
Α Χ.
Α Χ
Χ Α
Χ =οικόπεδο ντερτίνης και Α=απούλητο οικόπεδο.
Παρατηρούμε ότι σε οποιονδήποτε από τους παραπάνω
σχηματισμούς η περίμετρος των Χ οικοπέδων είναι 2*4=8 αλλά και μετά την εξαγορά των Α η νέα περίμετρος των Χ οικοπέδων παραμένει 8.
Η συνολική περίμετρος του πλέγματος είναι 4ν ,άρα (με βάση την παραπάνω διαπίστωση από το ένα βήμα στο άλλο στην εξαγορά των οικοπέδων η περίμετρος δεν αλλάζει) και η περίμετρος των αρχικά αγορασθέντων πρέπει να είναι 4ν για να ....ντερτινιάσει στην πορεία όλο το πλέγμα οικοπέδων.
4ν, λοιπόν, η ελάχιστη περίμετρος των αρχικών οικοπέδων
άρα οικόπεδα=4ν/4=ν (και φυσικά σε μία από τις 2 διαγώνιες)
Ναι Ευθύμη, αυτό είναι. Ευχαριστώ και πάλι για την λύση!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ περίμετρος /περιφέρεια της περιοχής που ορίζουν τα αρχικά $κ$ οικόπεδα είναι
το πολύ $4κ$ . Προσθέτοντας ένα οικόπεδο, αυτή η περίμετρος δεν αλλάζει,όπως είπες.
Το νέο οικόπεδο έχει 4 πλευρές και $x \geq 2$ απ'αυτές ήδη αποτελούν μέρος της ήδη υπάρχουσας περιμέτρου.
Προσθέτωντας λοιπόν το οικόπεδο κερδίζουμε $4-x$ σε περίμετρο και χάνουμε $x$. Aφού $4-x \leq x$ ,δεν αυξάνουμε την περίμετρο.
ΥΓ. Κάποιος πολύ παρατηρητικός και τακτικός επισκέπτης θα μπορούσε ίσως να παρατηρήσει πως το πρόβλημα είναι "διπλότυπο". Δηλαδή, έχω παλιότερα δημοσιεύσει το ίδιο -επί της ουσίας- πρόβλημα , με άλλο "περιτύλιγμα" σαν "Μόλυνση σε σκακιέρα". Να πω πως εν γνώση μου έγινε αυτό, απλώς επειδή την παρούσα εκδοχή μού την έστειλε ένας φίλος που παρακολουθεί σιωπηρά το ιστολόγιο και μού πρότεινε να το δημοσιεύσω.
Αν “Κάποιος πολύ παρατηρητικός και τακτικός επισκέπτης θα
ΑπάντησηΔιαγραφήμπορούσε ίσως να παρατηρήσει πως το πρόβλημα είναι "διπλότυπο", σκέψου, Γιώργο, πόσο εύκολο ήταν να το παρατηρήσει εκείνος που το έλυσε, έστω γεωμετρικά, τότε στο “πρωτότυπο”!
Αυτός είναι και ο λόγος που ενώ το “πρωτότυπο” το έλυσα
αυθημερόν, τώρα καθυστέρησα μία ημέρα συνειδητά και άλλη
μία ημέρα για την μαθηματική εξήγηση της αιτίας.
Γιαυτό και το σήμα “πάνω-κάτω-δεξιά-αριστερά”
Είχα δε την απορία πως είναι δυνατόν να το ξέχασες!
Το Υ.Γ σου μου έλυσε την απορία!
Για να μην κουράζονται ψάχνοντας όσοι από τους πολυπληθείς επισκέπτες και αναγνώστες του ΕΙΣΑΤΟΠΟΝθελήσουν να δουν το ¨πρωτότυπο" πρόβλημα, το έψαξα ο ίδιος και είναι εδώ: http://eisatopon.blogspot.gr/2013/12/blog-post_9371.html#comment-form
Διαγραφή