$1).$ $Ν$ άτομα καλούνται να επιλέξουν από μια λίστα $κ$ τραγουδιών ,το αγαπημένο τους. Συμφωνούν να μπορεί να ψηφίσει ο καθένας τους μέχρι $3$ τραγούδια. Πέφτουν δύο προτάσεις στο τραπέζι για τον ακριβή τρόπο ψηφοφορίας. Η πρώτη είναι να ψηφίσει ο καθένας τρία τραγούδια $\big\{ \kappa _{i}, \kappa _{j}, \kappa _{m} \big\}$ με $\big\{i,j,m\big\} \in \big\{1,2, \cdots ,k\big\}$ χωρίς καμία διάκριση "βαρύτητας ψήφου" μεταξύ των τριών, και η δεύτερη πρόταση είναι να μπορούν να ψηφίσουν τρία τραγούδια ,αλλά με διάταξη προτιμήσεως, δηλαδή οι τρεις ψήφοι να είναι ανισοβαρείς.
Π.χ ψηφίζω:
$\big\{i,j,m\big\}$ με $i$ 1η προτίμηση, $j$ 2η προτίμηση και $m$ 3η προτίμηση. Δηλαδή ,$i>j>m$ .Το $i$ να παίρνει ,ας πούμε, 3 πόντους, το $j$ :2 πόντους και το $m$ :1 πόντο.
Είναι ισοδύναμα δίκαια τα δύο συστήματα ψηφοφορίας; Αν όχι, ποιο είναι το πιο δίκαιο;
$2).$ Σε κάποια αφρικανική δικτατορία , ο δικτάτωρ Αντοξεδιαντμπουμπούκ αποφασίζει να κάνει δημοκρατικές εκλογές. Ξέρει πως από τα $20.000.000$ ψηφοφόρους της μεγάλης χώρας του, "δικοί" του είναι μόλις το $2%$ (δύο) τοις εκατό ,το πολύ! Οι υπόλοιποι ψηφοφόροι θα ψηφίσουν αναμφισβήτητα την αντιπολίτευση. Δείχνοντας το "δημοκρατικό" του πρόσωπο ,καλεί τους εκπροσώπους της αντιπολίτευσης και τους προτείνει τον εξής τρόπο. Για πρακτικούς λόγους ,και λόγους εύκολης ψηφοφορίας και καταμέτρησης , όλοι οι ψηφοφόροι θα χωριστούν σε $\nu _{1}$ ομάδες ,όλες του ίδιου μεγέθους. Το κάθε τέτοιο γκρουπ μπορεί να χωριστεί τώρα σε $\nu _{2}$ μικρότερες υποομάδες και πάλι ίδιου μεγέθους ,όπου $\nu _{2}$ είναι το ίδιο για όλες τις ομάδες.
Μετά κάθε υποομάδα θα σπάσει σε $\nu _{3}$ μικρότερες υποομάδες, κ.λ.π...
Κάθε υποομάδα επιπέδου/τάξης $i$ θα επιλέξει έναν "εκλέκτορα", δηλαδή θα ψηφίσουν μεταξύ τους και όποιος (από τους $2$ υποψηφίους: τον Αντοξεδιαντμπουμπούκ και την Αντιπολίτευση) κερδίσει την πλειοψηφία θα στείλει έναν εκλέκτορα στο επόμενο/ανώτερο "επίπεδο",δηλαδή στην υποομάδα τάξης $i-1$, και ούτω καθεξής. Ο δικτάτωρ χαρίζει την περίπτωση ισοπαλίας-ισοψηφίας σε οποιοδήποτε επίπεδο,στην αντιπολίτευση! Αν μια υποομάδα δηλαδή έχει 4 μέλη και το αποτέλεσμα είναι 2-2 ,εκλέγεται ο εκλέκτορας της αντιπολίτευσης. Θα έχει όμως ο δικτάτωρ το δικαίωμα (είπαμε δημοκρατία, αλλά κάπως πρέπει να δικαιολογήσει και το κύρος του..) να σπάσει τους 20.000.000 ψηφοφόρους σε ομάδες όπως αυτός νομίζει και μπορεί επίσης να διανείμει τους ψηφοφόρους του σε ομάδες κατά πώς θέλει. Ποια είναι η γνώμη σας; Είναι όντως δημοκρατική η πρότασή του, ή είναι απλώς ένα προσχηματικό σχέδιο για να κάνει νοθεία και να "κερδίσει" τις εκλογές;
Δίνω κάποιες ιδέες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα δύο αυτά θέματα είναι πολύ ενδιαφέροντα ,γιατί πραγματεύονται ζητήματα που υπάρχουν και εφαρμόζονται πολύ συχνά (δυστυχώς) στις πραγματικές εκλογικές διαδικασίες.
Το 1ο θέμα μπορεί κάποιος να το προσεγγίσει απλοποιόντας το.
Πάρτε ας πούμε 3 τραγούδια Α, Β,Γ και 3 ψηφοφόρους που τα ψηφίζουν με τα 2 συστήματα που υπάρχουν (της "αβαρούς" ψήφου και της "σταθμισμένης-ανισοβαρούς" ψήφου). Μια δίκαιη -με την μαθηματική ,αλλά και την κοινωνική έννοια- εκλογή, δεν πρέπει να δημιουργεί εγγενείς αντινομίες -παράδοξα. Μια καλή αρχή που μπορεί να είναι μπουσουλας είναι πως η ψήφος/προτίμηση (πρέπει να) υπάγεται στην μεταβατική ιδιότητα των Μαθηματικών. Αν ας πούμε μού αρέσουν τα ρεβύθια περισσότερο από τις φακές, ΚΑΙ οι φακές περισσότερο από τα φασόλια , μια παραδοχή εκκίνησης ως προς την "συνέπεια", είναι να μού αρέσουν οι φακές περισσότερο από τα φασόλια (όταν έχω να επιλέξω μεταξύ των τριών). Ήδη κάποιος μπορεί να διαγώσει το παράδοξο...;
Το θέμα 2. μπορεί να ποσοτικοποιηθεί επακριβώς , βάσει των αριθμών που δίνονται, και η απάντησή του (η οποία αποδεικνύεται και για τους συγκεκριμένους αριθμούς και σαν Γενικη Αρχή ) είναι πως παρότι μοιάζει σχεδόν απίστευτο ,υπάρχει τρόπος μόρφωσης των γκρουπ και κατανομή των "κυβερνητικών" τέτοια, που να δίνει την νίκη στο δικτάτορα! Απαιτούνται δε ΛΙΓΟΤΕΡΟΙ από 1% των ψηφοφόρων ,για να σιγουρέψει την εκλογή του. :-)
Διόρθωση στην αποπάνω παράγραφο:
ΑπάντησηΔιαγραφή"Αν ας πούμε μού αρέσουν τα ρεβύθια περισσότερο από τις φακές, ΚΑΙ οι φακές περισσότερο από τα φασόλια , μια παραδοχή εκκίνησης ως προς την "συνέπεια", είναι να μού αρέσουν TA ΡΕΒΙΘΙΑ περισσότερο από τα φασόλια (όταν έχω να επιλέξω μεταξύ των τριών) "
Θέμα 1ο
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργο, ευχαριστώ για την βοήθεια!!!
Έστω, για την κατανόηση του πράγματος και σύμφωνα με την οδηγία-βοήθεια του Γιώργου, ότι τα υποψήφια τραγούδια είναι 3, τα Α,Β,Γ (φακές, ρεβίθια (άντε να συνηθίσω το βι αντί βυ, φασόλια κατά την δική μου προτίμηση!)
Οι διατάξεις των τριών τραγουδιών ανά τρία είναι 6,
ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΓΒΑ
και έστω ότι οι προτιμήσεις των ψηφισάντων είναι:
21% ΑΒΓ
20% ΒΓΑ
18% ΓΑΒ
15% ΑΓΒ
13% ΒΑΓ
13% ΓΒΑ
Αν δούμε τις προτιμήσεις των τραγουδιών ανά 2
έχουμε:
Α ως προς Β
Προτιμούν το Α 0.21+0.18+0.15=0.54
προτιμούν το Β 0.20+0.13+0,13=0.46
=>Α>Β
Β ως προς Γ
Προτιμούν το Β 0.21+0.20+0.13=0.54
Προτιμούν το Γ 0.18+0.15+0.13=0.46
=> Β>Γ
Α ως προς Γ
Προτιμούν το Α 0.21+0.15+0.13=0.49
Προτιμούν το Γ 0.2+0.18+0.13=0.51
=>Γ>Α
Άρα δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα
Α>Β, Β>Γ =>Α>Γ
Αυτά όσον αφορά την μεταβατική ιδιότητα που όπως φάνηκε δεν ισχύει και άρα αφού αντίκειται στα μαθηματικά είναι άδικο, άρα δεν μπαίνει θέμα να κρίνουμε πιο είναι το πιο δίκαιο αλλά πιο είναι το λιγότερο ή περισσότερο άδικο.
Και ένα 2ο παράδειγμα χωρίς όλες τις διατάξεις που κάνει πιο φανερό το άδικο της πολυσταυρίας
Έστω ότι οι προτιμήσεις είναι:
30% ΑΒΓ
27% ΒΓΑ
26% ΓΒΑ
17% ΑΓΒ
Ενώ οι προτιμήσεις είναι ολοφάνερα στο Α(47%)
για την πρώτη θέση και μετά στο Β(27%) και στο Γ(26%)
και αυτά θα ήταν τα αποτελέσματα Α=1ο, Β=2ο και Γ=3ο
σε περίπτωση μονοσταυρίας -ισοδύναμη της απλής και
ανόθευτης αναλογικής - και να θυμηθούμε τον φιλόσοφο,που είπε ότι εκεί που μπαίνουν επίθετα εκφυλίζονται και χάνουν το νόημα τα ουσιαστικά, απλά ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑΣ
Αν εξετάσουμε την μεταβατική ιδιότητα
Α ως προς Β
προτιμούν Α =0.3+0.17=0.47
προτιμούν Β=0.27+0.26=0.53
=>Β>Α
Α ως προς Γ
Α=0.3+0.17=0.47
Γ=0.27+0.26=0.53
=>Γ>Α
Β ως προς Γ
Β=0.3+0.27=0.57
Γ=0.26+0.17=0.43
=>Β>Γ
Δεν ελέγχεται η μεταβατικότητα αλλά μπορούμε να δούμε
την αδικία αφού αν ήταν να εκλεγούν 2 τραγούδια θα
εκλέγονταν τα Β και Γ και όχι το Α που πλησιάζει το 50%!
αλλά και στην περίπτωση της ανισοβαρούς ψήφου έχουμε:
Α 0.3*3+.27*1+0.26*1+0.17*3=1.94
Β 0.3*2+0.27*3+0.26*2+0.17*1=2.10
Γ 0.3*1+0.27*2+0.26*3+0.17*2=1.96
δηλαδή Β>Γ>Α (προφανώς υπάρχουν που ενώ με μονοσταυρία
έχουμε Α>Β>Γ βγαίνει με τρισταυρία Γ>Β>Α !!!)
Σταυρό προτίμησης σε έναν από τους 3 γνωστούς Σταύρους: Το Σταύρο Τσώχο, το Σταύρο Νταϊφάαααα, το Σταύρο Ζακεστίδη!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν νομίζω ότι ερμήνευσα σωστά την βοήθεια του Γιώργου,
ΑπάντησηΔιαγραφήγιαυτό θα αλλάξω την προσέγγιση του θέματος από αυστηρά
μαθηματική σε κοινωνικοπολιτική, που την κατέχω σαφώς
καλύτερα, “φωτογραφίζοντας” έτσι πραγματικές καταστάσεις
κυρίως του παρελθόντος -αλλά και κάτι συζητείται για κοινή
λίστα υποψηφίων στην λεγόμενη Τοπική Αυτοδιοίκηση και
έπεται συνέχεια στον συνδικαλισμό- και ας υποθέσουμε ότι
Ν άτομα ενός φορέα καλούνται να εκλέξουν από μια λίστα -
ψηφοδέλτιο Κ υποψήφιων τα 5 μέλη του Συμβουλίου τους και
για να φανεί το ... “μεγαλείο” της κοινής λίστας,και της πολυσταυρίας ας δεχθούμε ότι έχουν δικαίωμα, να ψηφίσει
ο καθένας μέχρι 5 υποψήφιους.
Μια ομάδα-παράταξη Α έχει τους α1, α2,...,α5 υποψήφιους,
μια ομάδα-παράταξη Β τους β1,β2,.. β5, και Γ τους γ1 ,γ2,... ,γ5 και κάποιοι μεμονωμένοι κ,λ,μ υποψήφιοι, σύνολο υποψήφιων Κ.
Και ας υποθέσουμε ότι η ομάδα Α έχει 25%, η Β 24% και η Γ 20% κλπ μέχρι σύνολο 100%
α) περίπτωση χωρίς διάκριση ψήφου
Η ομάδα Α μπορεί κάλλιστα σε ακραία περίπτωση...πειθαρχίας
να ψηφίσει και τους 5 δικούς της (α1,α2,...,α5) και όλοι 30%,
άρα εκλέγονται και οι 5 και μόνον αυτοί και έτσι το 25% γίνεται
100%, αλλά και 4 ή 3 να εκλέξει, πανεύκολο, πάλι άδικο-μη
αναλογικό-αντιπροσωπευτικό είναι.
β) περίπτωση με διάταξη προτιμήσεως
Μικρή η διαφορά σε σχέση με την (α) περίπτωση, απλά η Α ομάδα θα εκλέξει πιθανότατα, λόγω της διάταξης προτίμησης κάτι λιγότερο (ο τελευταίος και ίσως ο προτελευταίος στις προτιμήσεις και στην περίπτωση που οι Α και Β ομάδες έχουν μικρή διαφορά στα ποσοστά) και η Β έχει σαφείς πιθανότητες να εκλέξει έναν ή δύο (τον πρώτο ή τους 2 πρώτους στις προτιμήσεις των ψηφοφόρων της), η Γ μικρή πιθανότητα για έναν
και από κει και κάτω....
Άρα η (β) περίπτωση είναι λιγότερο άδικη σε σχέση με την (α) αλλά και οι δύο περιπτώσεις πλησιάζουν στον έναν ή στον άλλο βαθμό το πλειοψηφικό σύστημα και καμία σχέση με την αναλογική-αντιπροσωπευτική εκπροσώπηση που επιτυγχάνεται με την μονοσταυρία σε κοινή λίστα-αλλά άντε να είσαι στην ίδια λίστα με κανέναν ναζιστικό κλώνο- ή με ξεχωριστές λίστες και αναλογική εκπροσώπηση.
Σε περίπτωση μονοσταυρίας ή ξεχωριστών λιστών με αναλογική η Α ομάδα θα εξέλεξε ένα μέλος και 0.25 υπόλοιπο,
η Β ομάδα έναν και 0.20 υπόλοιπο η Γ έναν και υπόλοιπο 0, κλπ
Τεράστια διαφορά!
Υ.Γ Γιώργο, την συγγνώμη σου αν ...ξέφυγα λίγο!
Kαλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυθύμιε, ευχαριστώ πολύ για τις ωραίες ιδέες και προσεγγίσεις και για την αναλυτική σου παρουσίαση με ωραία παραδείγματα! (θέμα.."ξέφυγα", δεν πρέπει καν να σού περνάει απ'το μυαλό, άλλωστε εδώ μέσα η κόσμια έκφραση είναι ελεύθερη, πόσω μάλλον για σχολιαστές που έχουν κερδίσει το σεβασμό στις απόψεις τους με το σπαθί τους! :-) )
Έπιασες το 1ο θέμα από πολλές μεριές και πολύ εξονυχιστικά, και όχι μόνο το κάλυψες, αλλά και το διεύρυνες.
Η δική μου προσέγγιση είναι κάπως πιο απλοϊκή και βασική μου επιδίωξη μ'αυτό το θέμα ήταν να καταδείξω-επισημάνω απλώς το "Παράδοξο του Άρροου" (Αrrow's impossibility theorem).
Eπιχειρώ για λόγους σαφήνειας/εποπτείας να επικεντρωθώ σ'αυτό και να δώσω μια απλή εξήγηση /παράδειγμα για την περίπτωσή μας, του “παραδόξου” του Άροου(Arrow)
Καταρχάς ,η λογική λέει πως(συνήθως..) η ατομική προτίμηση υπόκειται στην μεταβατική ιδιότητα των Μαθηματικών. Αν ας πούμε προτιμώ τα φασόλια από τις φακές και τις φακές από τα ρεβύθια, τότε προτιμώ τα φασόλια από τα ρεβύθια. Είναι οπωσδήποτε μια “παραδοχή εκίννησης” αυτό, και ήδη κάποιοι ίσως να βλέπουν το παράδοξο να γεννιέται. Αλλά ας το φέρουμε στα μέτρα μας. Έστω ότι ο Ευθύμης προτιμά τα τραγούδια κατά σειρά προτίμησης- και θα δώσω βαρύτητα 1 στην 1η επιλογή /τραγούδι Α (το τραγούδι που μου αρεσει καλύτερα) ,βαρύτητα 2 στην 2η/Β, και 3 στην 3η/Γ. Έστω λοιπόν πως για τον Ε(υθύμη) ισχύει: Ε : { A,B,Γ} —>{1,2,3} δηλαδή ψηφιζει τα τραγούδια
Α ,Β και Γ με σειρά προτίμησης Α>Β>Γ.
Έστω ότι ο Γ(ιώργος) ψηφίζει τα ιδια τραγούδια με Γ: {A,B,Γ} —-> {3,1,2} Πρώτη προτίμηση η Β , δεύτερη η Γ και τρίτη η Α.
Ας βάλουμε και τον Θανάση στη σούμα . Θ: {A,B,Γ} —-> {2,3,1}
Τα ξαναγράφω εποπτικά:
ΛΕΞΕΙΣ : A B Γ
Ευθύμης: 1 2 3
Γιώργος: 3 1 2
Θανάσης: 2 3 1
Έχουμε λοιπόν τις προτιμήσεις τριών ψηφοφόρων .
(συνεχίζεται…)
(συνέχεια)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς υποθέσουμε οτι τα τραγούδια/προτιμήσεις A και B πρέπει να συγκριθούν/μπουν σε ψηφοφορία μεταξύ τους. Δεδομένων των επιλογων τους ως προς τα Α και Β, ο Ευθύμης και ο Θανάσης επιλέγουν/ψηφίζουν A, αφού και οι δύο προτιμούν το A από το B. Δεδομένων των επιλογών “Β έναντι Γ”, ο Ευθ. και ο Γιωρ. κάνουν μια “πλειοψηφία” για το B, αφού και οι 2 το προτιμούν από τη λέξη Γ.
Ας δούμε τωρα τις επιλογες μεταξυ Α και Γ. Το Γ πλειοψηφεί, επειδή ο Γιω. και ο Θαν. προτιμούν και οι δυο το Γ από το A. Ετσι (ΠΡΟΣΟΧΗ!), παρόλο που μια πλειοψηφία ψηφοφόρων προτιμάει την A από τη B, ΚΑΙ μια πλειοψηφία ψηφοφόρων προτιμάει τη B από τη Γ, ΥΠΑΡΧΕΙ άλλη μία ΠΛΕΙΟΨΗΦΙΑ που προτιμάει τη Γ από τη A!
Παρότι δηλαδή οι ψήφοι/προτιμήσεις καθενός ψηφοφόρου είναι “μεταβατικές” ,η προτίμηση της πλειοψηφίας ΔΕΝ είναι, δηλαδή υπάρχει “Λογική ανακολουθία/ασυνέπεια”. Αυτή ήταν μια “μπακάλικη” απόδειξη του θεωρήματος του Άρροου και αυτό που περιέγραψα με το παράδειγμα λέει στην ουσία του.
Nα επισημάνω κάτι. Αν ρωτήσει κάποιος “και ποια η διαφορά με τρεις “αβαρείς” ψήφους”; Πάλι θα ισοβαθμίσουν -με 3 ψήφους έκαστη- οι Α Β και Γ”
Ναι και όχι!. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε condradiction. Yπάρχουν σαφώς ορισμένες πλειοψηφίες που ΔΕΝ “κλείνουν” (λόγω της “κυκλικότητας” των προτιμήσεων) . Μαθηματικά ιδωμένο δηλαδή, η αβαρής μέθοδος θα δώσει Α=Β=Γ (οπότε κάθε αληθινά “πλειοψηφική” ψήφος είναι κρίσιμη, αφού θα δώσει νικητή, ενω στο “βαρυτικό” σύστημα ισχύει Α>Β>Γ>Α (κύκλος!) και πρόσθετοι ψήφοι, παρότι ενδέχεται να συνιστούν απόλυτη πλειοψηφία κάποιων από τις Α Β ή Γ , (όπως έδειξε στα ωραία παραδείγματά του/case studies ο Ευθύμης!) μπορεί να μην αλλάζουν την “κυκλικότητα” ,οπότε σαφώς δημιουργούν αδικία/παράδοξο.
ΥΓ. Nα προσθέσω κάτι απαραίτητο και σημαντικό. Όπως βεβαίως συμβαίνει και με άλλα μαθηματικά θεωρήματα(πιο ταλαιπωρημένο το "θεώρημα μη πληρότητας" του Κουρτ Γκαίντελ) έχει παρερμηνευτεί από πολλούς. Θα βρείτε ιντερνετικές (και άλλες ) αναφορές πως “συνεπάγεται” το ατελές της Δημοκρατίας και ..άλλα τέτοια Σκουπίδια! και προσοχή!
Απλώς, ο Αρροου επισήμανε κάποιες “εγγενείς”/”αξιωματικές” αδυναμίες σε περιπτώσεις σαν κι αυτή και συναφή συστήματα και παίγνια (Θ.Παιγνίων). Όσο “σωστή” είναι η Δικτατορία (δηλαδή να βγει ας πούμε ο Γιώργος και να πει “Το καλύτερο τραγούδι είναι αυτό ,γιατί έτσι λέω ΕΓΩ” ,το ίδιο “σωστό” και απόλυτα δίκαιο (με την αυστηρά μαθηματική έννοια, όχι την κοινωνική!) είναι να μπουν τα τραγούδια σε κληρωτίδα και να κληρωθεί ο “Νικητής”.
ΥΓ2. Οποιαδήποτε ψηφοφορία με ψηφοδέλτια που περιλαμβάνουν διατάξεις προτιμήσεων είναι πιθανόν να οδηγήσει σε αντιφάσεις. Τόχε μυριστεί ο Κοντορσέ από τον 18ο αιώνα, πήρε το Νόμπελ (Οικονομίας) ο Άροου στον 20ο, μόνο οι νομοθέτες των ΗΠΑ (και αλλού) δε λένε να το καταλάβουν -ή δε θέλουν ίσως. Ά, και κάποια τέως υπ. παιδείας.., που το καθιέρωσε στα πανεπιστήμια. :-)
Κάποια λινκ σχετικά, και φυσικά κάθε άποψη για το θέμα,καλοδεχούμενη!
https://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet#Condorcet.27s_paradox_and_the_Condorcet_method
Για το θέμα 2). δοκιμάστε να σπάσετε-αναλύσετε το 20.000.000 σε γινόμενο μη τετριμμένων παραγόντων...
ΑπάντησηΔιαγραφήΥπάρχει ένας αριθμητικός δείκτης που αξιολογεί με αυστηρά μαθηματική κριτήρια κάθε σύστημα έκφρασης και ολοκλήρωσης των ατομικών προτιμήσεων σε κοινωνική προτίμηση, από άποψη ορθολογικότητας / πιστότητας / αντιπροσωπευτικότητας. Είναι ο λεγόμενος αριθμός Nakamura, ο οποίος έλκει την καταγωγή του από τις θεωρίες των παιγνίων και της κοινωνικής επιλογής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ απλά, ο αριθμός Nakamura μας λέει για κάθε κανόνα συλλογικής επιλογής με βάση τις ατομικές προτιμήσεις, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός επιλογών (υποψηφιοτήτων, εναλλακτικών) από τις οποίες και πάνω ο συγκεκριμένος κανόνας αποτυγχάνει να εγγυηθεί τη μη εμφάνιση παραδόξου (όπως αυτά που παρουσιάστηκαν αναλυτικά σε προηγούμενα σχόλια).
Το ενδιαφέρον είναι ότι ο κανόνας της πλειοψηφίας, ως σύστημα μετάφρασης των ατομικών προτιμήσεων σε κοινωνική επιλογή, έχει αριθμό Nakamura το 3, πράγμα που σημαίνει ότι αν οι υποψηφιότητες είναι 3 ή περισσότερες (όπως στο παράδειγμα της ανάρτησης), τότε η εφαρμογή του κανόνα της πλειοψηφίας δεν μπορεί να αποδώσει εγγυημένα συνεπή προς την ιεράρχηση των ατομικών προτιμήσεων συλλογική επιλογή. Ο μέγιστος αριθμός υποψηφιοτήτων που μπορεί με συνέπεια να χειριστεί ο κανόνας της πλειοψηφίας είναι 2.
Ένα μικρό ακόμα σχόλιο για το 'θεώρημα του ανέφικτου'. Αν ξεφύγουμε από τη στενή συζήτηση για τα εκλογικά συστήματα και το δούμε ευρύτερα, αυτό που απέδειξε ο Arrow είναι ότι ξεκινώντας από συναρτήσεις ατομικών προτιμήσεων (ακόμα και με την παραδοχή ότι αυτές είναι αυτοσυνεπείς) δεν μπορείς να συνθέσεις συνεπείς συναρτήσεις κοινωνικών προτιμήσεων (τέτοιες δηλαδή που να ικανοποιούν αυστηρά τα κριτήρια μεταβατικότητας, ανεξαρτησίας, μη επιβολής κ.ά.). Αυτό κατά τη γνώμη μου (και όχι μόνο) είναι μια πανηγυρική διάψευση (και όχι η μόνη) του mainstream υποδείγματος του homo economicus της επικρατούσας οικονομικής θεωρίας να ερμηνεύσει / προβλέψει σωστά τα συλλογικά φαινόμενα και να προσδιορίσει αντίστοιχες πολιτικές και δράσεις. Ο ατομικισμός, τουλάχιστον ως μεθοδολογία προσέγγισης τέτοιων φαινομένων (οικονομικών, κοινωνικών κ.ο.κ.) δεν είναι, αποδεδειγμένα, καλή επιστήμη.
Θανάση, ευχαριστούμε για το σχόλιό σου και τις πολύ ενδιαφέρουσες πληροφορίες-επεκτάσεις. Προσωπικά, δεν γνώριζα τον αριθμό Νακαμούρα (ήξερα μόνο έναν γνωστό Αμερικανοιάπωνα σκακιστή μ'αυτό το όνομα. :-)) και το "οριο του 3". Πολύ ενδιαφέρουσα και η γενική θεώρηση-αξιολόγηση που κάνεις στο τέλος. Εν γένει θα συμφωνήσω μαζί σου , και προσωπικά το θέμα μού θυμίζει λίγο και το γνωστό (έχω ποστάρει παλιότερα και ένα θέμα) "Παράδοξο του ορίου". Ένα φαινομενικά παράδοξο, από τα πρώτα(νεανικά) χρόνια της Ανάλυσης, και όπου έχουμε συχνά το φαινόμενο ένα όριο (lim) να έχει άλλες ιδιότητες απ'αυτές που έχουν οι συνιστώσες που το απαρτίζουν και το μορφοποιούν. Π.χ καμπύλες με όριο μήκους το άπειρο ,συχνά δημιουργούν μία συνισταμένη (περιβάλλουσα καμπύλη) με δεδομένο/πεπερασμένο όριο μήκους,κ.λ.π. Δεν ξέρω αν σού φαίνεται δόκιμη η αναλογία που σκέφτομαι, αλλά μια και τη σκέφτηκα, την κατέθεσα.
ΔιαγραφήΑκριβώς Γιώργο και βρίσκω το μαθηματικό ανάλογο που αναφέρεις απολύτως δόκιμο. Θα πρόσθετα ότι το εκλογικό παράδοξο και κατ’ επέκταση το ανέφικτο του Arrow είναι χαρακτηριστικές περιπτώσεις της λεγόμενης πλάνης της σύνθεσης (composition fallacy), κατά την οποία ό,τι είναι αληθές για το μέρος ή τα μέρη είναι αληθές και για το όλο, κάτι που φυσικά δεν ισχύει αναγκαστικά (π.χ. δύο αριθμοί μπορεί να είναι περιττοί, το άθροισμά τους όμως είναι άρτιος).
ΔιαγραφήΓια το 2, νομίζω ότι ένας απλός και κομψός τρόπος, για να πανηγυρίσει η δημοκρατία έναν ακόμη θρίαμβο, θα ήταν ο εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο πιο χαμηλό επίπεδο, στη βάση δηλαδή του εκλογικού σώματος, ο δικτάτορας συγκροτεί 4.000.000 στον αριθμό 5-μελή σώματα, μοιράζοντας, σε όσα από αυτά φτάνουν, τους δικούς του ανά 3. Έτσι, στο επίπεδο αυτό, θα καταφέρει να εκλέξει 400.000/3=133.333 εκλέκτορες επί συνόλου 4.000.000 εκλεκτόρων.
Επαναλαμβάνοντας το ίδιο στα εκάστοτε επόμενα προς τα πάνω επίπεδα, οι δικοί του εκλέκτορες θα μειώνονται ως εξής (κατά παράγοντα 3 κάθε φορά):
133.333 -> 44.444 -> 14.814 -> 4.938 ->1.646 - 548 -> 182 επί συνόλου εκλεκτόρων μειούμενου αντιστοίχως (κατά παράγοντα 5 κάθε φορά) ως εξής:
4.000.000->800.000->160.000->32.000 -> 6.400 -> 1.280->256
Δηλαδή μέχρι να τελειώσουν τα 7 πεντάρια, με τα οποία διαιρείται διαδοχικά το συνολικό εκλογικό σώμα των 20.000.000 (=2^8*5^7), ο δικτάτορας θα έχει καταφέρει να έχει τους 182 στους 256 συνολικά εκλέκτορες.
Τώρα βάζει τους 256 να ψηφίσουν και ... ζήτω η δημοκρατία!
Πολυ ενδιαφερουσα αναρτηση με κοινωνικες και μαθηματικες προεκτασεις!!! Σιγουρα ειναι αδυνατον να ομαδοποιουμε "δικαια" τις ατομικες προτιμησεις οπως απεδειξε και ο Arrow προ 50 ετων και οπως αποδεικνυει το δευτερο απο τα εκλογικα παραδοξα με τον Αφρικανο δικτατορα(Αληθεια ποια ειναι η απαντηση;). Εδω μπορειτε να δειτε ενα ιδιαιτερα αξιολογο και με αρκετα παραδειγματα ppt πανω στο θεμα αυτο: https://www.dropbox.com/s/trkj58ean5mzlgx/%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B4%CE%BF%CE%BE%CE%B1%20%CE%B5%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CF%89%CE%BD.ppt
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπισης να αναφερω οτι εχει ιδιαιτερο ενδιαφερον και το οτι σε πολλες δημοσκοπησεις πολλοι λενε οτι εχουν προθεση να ψηφισουν το Α κομμα αλλα (οι ιδιοι) θεωρουν ως καταλληλοτερο πρωθυπουργο τον επικεφαλη του Β κομματος της αντιπολιτευσης!! Αυτο απο μονο του δεν ειναι λογικο. Οπως επισης προκυπτει και απο τη θεωρια παιγνιων ακομη και αν ολοι οι συμμετεχοντες επελεγαν την βελτιστη στρατηγικη για τον εαυτο τους δεν ειναι παντοτε εφικτο να βρουμε εναν αλγοριθμο που να μας οδηγει με βεβαιοτητα στο σημειο ισορροπιας(Κ. Δασκαλακης), Ποσο μαλιστα αν σκεφτουμε οτι πολλοι δεν επιλεγουν την βελτιστη για τον εαυτο τους στρατηγικη! Γι αυτο ακριβως ειναι τοσο απροβλεπτα τα χρηματιστηρια, οι επιλογες ζωης(επαγγελμα, τοπος διαμονης κτλ) τους καθενος, η επιλογη συντροφου, η επιλογη φιλων, ακομα και η ιδια η ζωη!!!
Ευχαριστώ τους φίλους για τα νεότερα σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔαμιανέ, χαίρομαι που σού άρεσε και κυρίως χαίρομαι που τα ξαναλέμε! Είχες χαθεί τον τελευταίο καιρό. Eυχαριστούμε και για το λινκ!
Όπως τα είπε ο Θανάσης(Papadim) είναι! Ο Αντοξεδιαντμπουμπούκ μπορεί πραγματικά να κλέψει τις εκλογές .με μόλις $177147$ ψηφοφόρους!
Ας υποθέσουμε γενικά πως έχουμε έναν ολικό αριθμό ψηφοφόρων $Ν$.
Ας γράψουμε τον $Ν$ σαν γινόμενο μή τετριμμένων (διαφορετικών δηλαδή από τη μονάδα και τον εαυτό του) παραγόντων:
$N= N_{k}= n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$
Aν τώρα θέσουμε ,έστω: $m_{i}$ = floor($n_{i}/2$) + 1 , βλέπουμε πως είναι αρκετό να έχει:
$M_{k} = m_{1} \times m_{2} \times \cdots \times m_{k}$
υποστηρικτές ,ώστε να κερδίσει τις εκλογές. Αυτό προκύπτει πολύ απλά,από Επαγωγή ως προς $k$.
Για $k=1$ το προς απόδειξη είναι προφανώς αληθές.
Για να ισχύει (κερδίζει τις εκλογές) για γενικά $k$ , πρέπει να χωρίσουμε το εκλογικό σώμα σε $N_{k-1}$ ομάδες ,μεγέθους $n_{k}$ .Aν λοιπόν ο Αντόν.. βάλει $m_{k}$ υποστηρικτές του σε $M_{k-1}$ ομάδες, η δουλειά γίνεται! Μετά την ψηφοφορία υπάρχουν $N_{k-1}$ ψηφοφόροι ,εκ των οποίων οι $M_{k-1}$ είναι καθεστωτικοί,..και η Επαγωγή είναι ολοκληρωμένη.
Για τους συγκεκριμένους αριθμούς ειδικά, όπως ωραία τα υπολόγισε ο Θανάσης, έχουμε:
$20.000.000$ = 5^{7} \times 4^{4} $
O Anton λοιπόν ,αρκεί να έχει
$3^{7} \times 3^{4} =177.147$ ψηφοφόρους. Λιγότερο από 1 τοις εκατό (!!) και η δουλειά γίνεται.
Ζήτω το εκλεκτορικό σύστημα! :-)
Oρθή επανάληψη των αριθμών στο τέλος:
ΑπάντησηΔιαγραφή$20000000= 5^{7} \times 4^{4}$
Aρκεί λοιπόν να έχει:
3$^{7} \times 3^{4} =177.147$
Πολύ ωραία η γενίκευσή σου Γιώργο, από την οποία φαίνονται βέβαια πιο καθαρά και πώς αλλάζουν τα όρια της δυνατής χειραγώγησης του συστήματος, ώστε να είναι εφικτή η αντιστροφή της βούλησης του εκλογικού σώματος, με τους υπάρχοντες περιορισμούς. Βλέπουμε ότι τα όρια αυτά είναι συνάρτηση της ‘διαιρεσιμότητας’ του αρχικού πληθυσμού. Αν π.χ. ο πληθυσμός ήταν πρώτος αριθμός, τότε δεν θα υπήρχε κανένα περιθώριο, ενώ αν είχε λιγότερους ή περισσότερους διαιρέτες, ανάλογα μικρότερα ή μεγαλύτερα θα ήταν και τα περιθώρια καταδολίευσης. Φυσικά, σε περιπτώσεις που τα μαθηματικά περιθώρια δε βολεύουν, μπορούν αντιστοίχως να χαλαρώνουν και οι περιορισμοί. Αυτούς, μην ξεχνάμε, τους ορίζει αξιωματικά ο αρχηγός.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλωσορίζω με τη σειρά μου την επανεμφάνιση μετά από καιρό του Δαμιανού, με το πολύ περιεκτικό σχόλιό του, και ελπίζω να τον διαβάζουμε συχνότερα. Σε ένα σημείο του σχολίου του μάλιστα ‘φωτογράφισε’ και το περίφημο ‘δίλημμα των κρατουμένων’ (παίγνιο μη μηδενικού αθροίσματος όπου οι βέλτιστες ατομικές στρατηγικές αναγκαστικά καταλήγουν σε υποβέλτιστες ισορροπίες, με συχνά καταστροφικές, κοινωνικές συνέπειες). Αλλά για αυτό το θέμα θα άξιζε νομίζω να υπάρξει κάποια στιγμή ξεχωριστή ανάρτηση.
Ειναι αληθεια οτι εχω "εξαφανιστει" τον τελευταιο καιρο διοτι περιοριστηκε δραματικα ο ελευθερος μου χρονος λογω της αφιξης του δευτερου μου τεκνου στα τελη του περασμενου ετους...
ΑπάντησηΔιαγραφήΕλπιζω καθως μεγαλωνει ηλικιακα, αναλογα να αυξανεται και ο ελευθερος μου χρονος για να μπορω να απολαμβανω τα ξεχωριστα αρθρα σας...
Δαμιανέ, αυτό που έχει τη μεγαλύτερη αξία τώρα είναι να απολαμβάνεις τα ξεχωριστά 'άναρθρα' του μωρού (κι ας με συγχωρήσει ο Γιώργος για την ιεράρχηση).
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα σας ζήσει, να σας ζήσουνε!!
Τα συχαρίκια κι από μένα Δαμιανέ για τις χαρές σου! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή(ευχάριστος λοιπόν ο λόγος της απουσίας σου, και όσο σού επιτρέπει ο ρόλος του χαζομπαμπά (ή μη!) να περνάς κι από δώ να ξεσκάς λίγο. :-)