Μια απάντηση στο θέμα: Διαστάσεις του κ. Γ. Φραγκάκου

Στις πλευρές ορθογωνίου ABCD με ΑΒ=11 και AD=10 βρίσκονται οι κορυφές ενός άλλου ορθογωνίου EFGH του οποίου η κορυφή Ε βρίσκεται επί της AD και απέχει 4 μετρικές μονάδες από την κορυφή Α του αρχικού ορθογωνίου. 

Ποιες μπορεί να είναι οι διαστάσεις του EFGH;

Λύση

Στην πλευρά $BC$ θεωρούμε σημείο $G$, τέτοιο ώστε $CG=4$. Ο κύκλος διαμέτρου $FG$τέμνει ( κατά ορθή φορά) τις $AB,CD$ στα σημεία $F,F_1\kappa \alpha \iota H,H_1$ , που είναι τα ζητούμενα αφού όλες οι γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο είναι ορθές.

Οι μεσοπαράλληλες των απέναντι πλευρών του ορθογωνίου $ABCD$ είναι άξονες συμμετρίας αυτού και θα διέρχονται από το κέντρο $K$ που είναι και κέντρο του πιο πάνω κύκλου 

Αν ο κύκλος αυτός τέμνει τις $AD,BC$ στα $M,N$ αντίστοιχα, εύκολα και λόγω συμμετρίας έχουμε:

$AE=DM=BN=GC=4\kappa \alpha \iota EM=NG=2$. 

Ας πούμε τώρα $AF=x\Rightarrow B{F}_1=x$ ( πάλι λόγω συμμετρίας ).

Επειδή $AE\cdot AM=AF\cdot A{F}_1$ ( δύναμη του $A$ ως προ του κύκλο ) θα προκύψει ή εξίσωση : $4\cdot 6=x(11-x)\iff x^2-11x+24=0$ με λύσεις : $x=3$ ή $x=8$

Αν $x=3$ το ορθογώνιο που προκύπτει $EFGH$ έχει διαστάσεις $5,10$ όπως εύκολα βρίσκουμε από το Π. Θ. στα τρίγωνα $AEF\kappa \alpha \iota BFG$ , ενώ αν $x=8$ όμοια βρίσκουμε ότι το ορθογώνιο $A{F}_{1}G{H}_1$ έχει διαστάσεις 

 $E{F}_1=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\kappa \alpha \iota E{H}_1=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$.