$A$. Αποδείξτε πως μεταξύ εννιά τυχαίων κορυφών ενός κανονικού κυρτού εικοσαγώνου, υπάρχουν τρεις που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο.
- - - - - - - - -
$B$. Βρείτε μια μαθηματική έκφραση που να περιέχει μόνο ένα μηδενικό ($0$) και κανένα άλλο αριθμητικό ψηφίο, και να ισούται με $5$. Χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων απαγορεύεται.
ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:
Με ένα $0$ και όποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις θέλετε, συμπεριλαμβανομένων των
$\cos^{-1} , \sin^{-1}, tan^{-1}$ καταλήξτε σε οποιονδήποτε θετικό ρητό αριθμό $q$.
ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:
Με ένα $0$ και όποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις θέλετε, συμπεριλαμβανομένων των
$\cos^{-1} , \sin^{-1}, tan^{-1}$ καταλήξτε σε οποιονδήποτε θετικό ρητό αριθμό $q$.
- - - - - - - - -
$Γ$. Τρεις δρομείς, οι $\Delta _{1}$ , $\Delta _{2}$ και $\Delta _{3}$ ξεκινούν με διαφορετική σειρά εκκίνησης από ένα σημείο $ \Sigma _{1}$ και τερματίζουν στο σημείο $ \Sigma _{2} $ .
Για κάθε δρομέα $\Delta _{ \nu }$ ,ορίζουμε ως $\nu $ τον "αριθμό" του. Ο αριθμός κάθε δρομέα και η σειρά με την οποία ξεκινάει ή τερματίζει δεν ταυτίζονται. Ο πρώτος δρομέας που ξεκινάει από το $ \Sigma _{1}$ είναι αυτός που φτάνει τρίτος (τελευταίος) στο $ \Sigma _{2} $.
Ποιος δρομέας φεύγει πρώτος από το $ \Sigma _{1}$;
Ποιος δρομέας φτάνει δεύτερος στο $ \Sigma _{2}$;
Γ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτός που φεύγει 1ος και φτάνει 3ος είναι ο Δ2
Ο Δ1 φεύγει 3ος και φτάνει 2ος
Ο Δ3 φεύγει 2ος και φτάνει 1ος
Σωστό (και αφοπλιστικά απλό!) :-)
Διαγραφή(είχα υπόψι μου μια πιο περιφραστική προσέγγιση ,αλλά επειδή πήγαινα "μέσω Καϊρου" ντρέπομαι να την ποστάρω. :-)
Για το Β: μηπως ειναι lim(x!+x!+x!+x!+x!) οταν x->0 ? Ευχαριστω.
ΑπάντησηΔιαγραφή@Eleochori Kavala: Εγώ ευχαριστώ για την ολόσωστη ιδέα και απάντησή σου!
ΔιαγραφήΕναλλακτικά, είχα σκεφτεί το:
$\lim_{x \rightarrow 0} \big( a^{x} + a^{x} + a^{x}+a^{x}+a^{x}\big)$ και φυσικά, με οποιονδήποτε από τους δύο τρόπους παίρνουμε όχι μόνο το 5 ,αλλά όποιον φυσικό αριθμό θέλουμε.
Πιθανόν να υπάρχει κι άλλος ή άλλοι τρόποι (αν επιτρέψουμε και τριγων. συναρτήσεις ,υπάρχει σίγουρα..) ,οι οποίοι και είναι καλοδεχούμενοι.
Ε, αν επιτραπούν τριγωνομετρικές συναρτήσεις..
ΑπάντησηΔιαγραφή$\lim_{x \rightarrow 0} (cosx+cosx+cosx+cosx+cosx)=5$
Ναι, ασφαλώς σωστό. Aς το κάνω λοιπόν λίγο (έως πολύ) απαιτητικό το θέμα.
ΔιαγραφήΜε ένα 0 και όποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις θέλετε (των $\cos^{-1} , \sin^{-1}, tan^{-1}$ συμπεριλαμβανομένων) φτιάξτε ΟΠΟΙΟΝΔΗΠΟΤΕ θετικό ρητό αριθμό.
Πρόσθεσα το ερώτημα του αποπάνω σχολίου στην ανάρτηση.
ΑπάντησηΔιαγραφή$A.$
ΑπάντησηΔιαγραφήΘεωρώ κανονικό κυρτό εικοσάγωνο και
αριθμώ τις κορυφές του $1,2,3, \ldots ,20$
και εξετάζω τους δυνατόν να συμβεί
(κυκλικούς, μην ξεχνιέμαστε) συνδυασμούς
$1,2,3, \ldots $. απορ. 123
$1, - ,3,4,5, \ldots $ απορ. 135
$1,-,3,4,-,6,7,... $ απορ. 147
$1,-,3,4,-,6,-8,... $ απορ 468
$1,-,3,4,-,6,-9,... $ απορ. 369
$1,-,3,4,-,6,-10,11,... $ απορ. 1,6,11
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,14,... $ απορ. 12,13,14, 6,10,14
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,... $ 8 σημεία χωρίς ισ. τρ.
Θα εξετάσουμε αν μπαίνει $9 o $ σημείο χωρίς να
σχηματισθεί ισοσκελές τρίγωνο
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,16... $απορ. 10,13,16
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,-,17... $ απορ. 13,15,17
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,-,18... $απορ. 12,15,18
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,-,19... $ απορ. 19,1,3
$1,-,3,4,-,6,-10,12,13,-,15,-,20... $απορ. 10,15,20
ομοίως απορρίπτονται :
1,-,3,4,-,6,-,10,-12,13,-,16, απορ. 10,13,16
1,-,3,4,-,6,-,10,-12,13,-,17, απορ. 3,10,17
1,-,3,4,-,6,-,10,-12,13,-,18, απορ. 18,1,4
1,-,3,4,-,6,-,10,-12,13,-,19, απορ. 19,1,3
Α.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑριθμίζουμε με τη σειρά τις κορυφές του κανονικού εικοσαγώνου από 1 έως 20.
Οι ανά 5 ομάδες κορυφών (1-5-9-13-17), (2-6-10-14-18), (3-7-11-15-19) και (4-8-12-16-20) σχηματίζουν 4 αντίστοιχα κανονικά πεντάγωνα.
Αν μοιράσουμε οποιεσδήποτε 9 κορυφές του κανονικού εικοσαγώνου στα 4 αυτά κανονικά πεντάγωνα, τότε αναγκαστικά 3 από τις 9 κορυφές θα είναι κορυφές του ιδίου πενταγώνου (pigeonhole principle).
Σε ένα κανονικό πεντάγωνο διατίθενται δύο μόνο διαφορετικά μήκη (πλευρά, διαγώνιος). Επομένως, οι δύο από τις τρεις πλευρές του τριγώνου που ορίζουν οι συγκεκριμένες κορυφές θα είναι αναγκαστικά ίσες (q.e.d).
Σωστά, φίλτατοι Ευθύμιε και Αθανάσιε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε τα ελάχιστα που γνωρίζω ή θυμάμαι σ΄αυτό το θέμα
“τολμάω” μία προσπάθεια.
Για $q=m/n$
$\lim_{ \chi \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{cos \chi }+ \frac{1}{{cos \chi }}+...,m \ \phi o \rho } { \frac{1}{cos \chi }+ \frac{1}{cos \chi }+...,n \ \phi o \rho \epsilon \varsigma }= m/n$
πχ για $q=2/3$
$ \lim_{ \chi \rightarrow 0}( ( \frac{1}{cos \chi } + \frac{1}{cos \chi })/ (\frac{1}{cos \chi }+\frac{1}{cos \chi }+\frac{1}{cos \chi }))=2/3$
Επίσης μπορούμε, αν το παραπάνω είναι σωστό,
ΑπάντησηΔιαγραφήνα “παίξουμε” με το $ \lim_{x \rightarrow 0} ( sin^{2}x+ cos^{2}x )=1$
για ακέραιο$q$ , προσθέτοντας $q$ φορές
και για $q=m/n$, προσθέτουμε στον αριθμητή $m$ φορές
και στον παρανομαστή $n$ φορές
Eυθύμιε, τα όρια είναι σωστά, αλλά χρησιμοποιείς στο μεν πρώτο άσσους ,στο δε δεύτερο 2άρια (στα τετράγωνα των $sin$ και $cos$). Ως $\cos^{-1}\ , \tan^{-1}, \cot^{-1}$ κ.λ.π νοούνται οι $arccos$ $arctan$ κ.λ.π.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥπάρχει λύση,και μάλιστα χωρίς χρήση$lim$.
Kάνω μια αρχή:
Ισχύει: $ tan(\cot^{-1})(x))= \frac{1}{x}$
και $sin(\cot^{-1})(x))= \frac{1}{ \sqrt{1+ x^{2} } }$
και βεβαίως $cos(0)=1$ ...
κάπως έτσι πρέπει να αντιμετωπιστεί...επαγωγή ίσως ...
Ωχ...! Πάλι μαθηματική γκάφα έκανα.
ΔιαγραφήΠροφανέστατα, αντιλήφθηκες πως εξέλαβα τo $cos^{-1}$!
Nαι, αλλά τώρα που το ξανασκέφτομαι το $1/cosx$ είναι το $secx$ καθιερωμένη τριγ.συνάρτηση επίσης , οπότε μια χαρά είναι η ιδέα σου τελικά!
ΔιαγραφήΠαραμένει το πρόβλημα, στη μορφή του με το "χαλασμένο κομπιουτεράκι/αριθμομηχανή" που λέω πιο κάτω, όπου έχουμε διαθέσιμα μόνα τα $sin,cos,tan$ και τα αντίστοιχα τόξα.
Προς αποφυγή παρανοήσεων, η αποπάνω υπόδειξη ΔΕΝ είναι η μοναδική αντιμετώπιση-λύση. Υπάρχει και τρόπος με χρήση μόνο των $sin,cos,tan$ και των $arcsin,arccos,arctan$ .
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα θα μπορούσε να λεχθεί και ως εξής:
Aς πούμε πως έχετε ένα κομπιουτεράκι στο οποίο έχουν δυστυχώς κολλήσει όλα τα πλήκτρα ,πλήν των $sin, cos, tan, tan^-1, cos^-1 και sin^-1$ .Στην οθόνη υπάρχει ένα μηδέν ($0$) .Yπάρχει ακολουθία ενεργειών για να πάρετε οποιονδήποτε θετικό αριθμό;