Προγιορτινά Μεζεδάκια

$A$. Αποδείξτε πως μεταξύ εννιά τυχαίων κορυφών ενός κανονικού κυρτού εικοσαγώνου, υπάρχουν τρεις που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο.

$B$. Βρείτε μια μαθηματική έκφραση που να περιέχει μόνο ένα μηδενικό ($0$) και κανένα άλλο αριθμητικό ψηφίο, και να ισούται με $5$. Χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων απαγορεύεται.
ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:
Με ένα $0$ και όποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις θέλετε, συμπεριλαμβανομένων των
${\cos }^{-1},{\sin }^{-1},ta{n}^{-1}$ καταλήξτε σε  οποιονδήποτε θετικό ρητό αριθμό $q$.

-  - -  - - - - - - 

$\Gamma$. Τρεις δρομείς, οι ${\mathrm{\Delta }}_1$ , ${\mathrm{\Delta }}_2$ και ${\mathrm{\Delta }}_3$ ξεκινούν με διαφορετική σειρά εκκίνησης από ένα σημείο ${\mathrm{\Sigma }}_1$ και τερματίζουν στο σημείο ${\mathrm{\Sigma }}_2$ . 

Για κάθε δρομέα ${\mathrm{\Delta }}_{\nu }$ ,ορίζουμε ως $\nu$ τον "αριθμό" του. Ο αριθμός κάθε δρομέα και η σειρά με την οποία ξεκινάει ή τερματίζει δεν ταυτίζονται. Ο πρώτος δρομέας που ξεκινάει από το ${\mathrm{\Sigma }}_1$ είναι αυτός που φτάνει τρίτος (τελευταίος) στο ${\mathrm{\Sigma }}_2$.

Ποιος δρομέας φεύγει πρώτος από το ${\mathrm{\Sigma }}_1$;

Ποιος δρομέας φτάνει δεύτερος στο ${\mathrm{\Sigma }}_2$;