Αρκετά ερωτήματα...!!!

Θεωρούμε τρίγωνο $△ABC$ στο οποίο ισχύει: $\mathrm{\angle }A={60}^0$, το ορθόκεντρό του $H$, τον περιγεγραμμένο του κύκλο $\left(O,R\right)$, τον εγγεγραμμένο του κύκλο $\left(I,r\right)$, τον $A$ - παρεγγεγραμμένο του κύκλο $\left(I_1,r_1\right)$, τις εσωτερικές διχοτόμους του $A{D}_1,B{D}_2,C{D}_3$, τα κοινά σημεία $K,K_1$ του κύκλου του Euler $\left(N,{\displaystyle \frac{R}{2}}\right)$ με τους κύκλους $\left(I\right),\left(I_1\right)$ (σημεία επαφής τους από το Θεώρημα του Feuerbach) και τα σημεία $B_1,C_1$ των ημιευθειών $AC,AB$ αντίστοιχα, ώστε: $\left(A{B}_1\right)=\left(AB\right)\kappa \alpha \iota \left(A{C}_1\right)=\left(AC\right)$.

Να αποδείξετε ότι: 

i) Τα σημεία $B,C,H,O,I,I_1,B_1,C_1$ είναι ομοκυκλικά 

ii) Ισχύει: $\left(OH\right)=\left|\left(AB\right)-\left(AC\right)\right|$ 

iii) Είναι $R=r_1-r$ και $2\left(AN\right)=r+r_1$ 

iv) Το $K$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος $AI$ και το $K_1$ το μέσο του $A{I}_1$ και ισχύει: $r_1=\left(A{K}_1\right)=\left(K_1{I}_1\right)$ 

v) Τα σημεία $K,O_1,T_1$ είναι συνευθειακά, με $O_1$ το μέσο της $BC$ και $T_1$ (με $T_1\notin BC$) το σημείο επαφής της εκ του $D_1$ εφαπτόμενης στον $\left(I\right)$. 

vi) Το δεύτερο (εκτός του $A$) κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $△AC{D}_3$ και $△AB{D}_2$ είναι σημείο της $BC$.

Πηγή: mathematica (ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ)