Θεωρούμε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ στο οποίο ισχύει: $\angle A = {60^0}$, το ορθόκεντρό του $H$, τον περιγεγραμμένο του κύκλο $\left( {O,R} \right)$, τον εγγεγραμμένο του κύκλο $\left( {I,r} \right)$, τον $A$ - παρεγγεγραμμένο του κύκλο $\left( {{I_1},{r_1}} \right)$, τις εσωτερικές διχοτόμους του $A{D_1},B{D_2},C{D_3}$, τα κοινά σημεία $K,{K_1}$ του κύκλου του Euler $\left( {N,\dfrac{R}{2}} \right)$ με τους κύκλους $\left( I \right),\left( {{I_1}} \right)$ (σημεία επαφής τους από το Θεώρημα του Feuerbach) και τα σημεία ${B_1},{C_1}$ των ημιευθειών $AC,AB$ αντίστοιχα, ώστε: $\left( {A{B_1}} \right) = \left( {AB} \right) και \left( {A{C_1}} \right) = \left( {AC} \right)$.
Να αποδείξετε ότι:
i) Τα σημεία $B,C,H,O,I,{I_1},{B_1},{C_1}$ είναι ομοκυκλικά
ii) Ισχύει: $\left( {OH} \right) = \left| {\left( {AB} \right) - \left( {AC} \right)} \right|$
iii) Είναι $R = {r_1} - r$ και $2\left( {AN} \right) = r + {r_1}$
iv) Το $K$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος $AI$ και το ${K_1}$ το μέσο του $A{I_1}$ και ισχύει: ${r_1} = \left( {A{K_1}} \right) = \left( {{K_1}{I_1}} \right)$
v) Τα σημεία $K,{O_1},{T_1}$ είναι συνευθειακά, με ${O_1}$ το μέσο της $BC$ και ${T_1}$ (με ${T_1} \notin BC$) το σημείο επαφής της εκ του ${D_1}$ εφαπτόμενης στον $\left( I \right)$.
vi) Το δεύτερο (εκτός του $A$) κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\vartriangle AC{D_3}$ και $\vartriangle AB{D_2}$ είναι σημείο της $BC$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου