Γεωμετρία - Άσκηση 650 - 651

1. Έστω $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου $ABC$ και $P$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου $AOB$. Αν $D,E,F$ είναι οι προβολές του σημείου $P$ επί των πλευρών $BC,CA,AB$, αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το παραλληλόγραμμο με διαδοχικές πλευρές $FE$ και $FD$ βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου $ABC$.
2. Έστω τραπέζιο $ABCD$ ($AD\parallel BC$), $E$ τυχόν σημείο επί της πλευράς $AB$ και $O_1,O_2$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $AED,BEC$, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι το μήκος του τμήματος $O_1{O}_2$ είναι σταθερό.

China Western Mathematical Olympiad 2002

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com