Σάββατο 7 Σεπτεμβρίου 2013

Τα ρολόγια

Ένα συνηθισμένο αναλογικό ρολόι (12-ωρη ένδειξη, με "συνεχή" ρυθμό κίνησης δεικτών,κι όχι ας πούμε "ανά λεπτό") δείχνει την ώρα σωστά. Ένα δεύτερο ,όμοιο κατά τα λοιπά με το πρώτο, πηγαίνει πολύ αργά. Συγκεκριμένα πηγαίνει με ακριβώς το 1/2 του κανονικού ρυθμού. Το μεσημέρι κάποιας ημέρας τυχαίνει να δείχνουν την ακριβή ώρα και τα δύο. Σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή οι δείκτες κάθε ρολογιού σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους από 0 μοίρες έως και 180 μοίρες. Πόσες φορές κατά τη διάρκεια αυτής της ημέρας(24-ώρου) συμβαίνει να είναι ίσες οι γωνίες που σχηματίζουν ωροδείκτης και λεπτοδείκτης στα δύο ρολόγια;
Αναρτήθηκε από στις 7.9.13
Ετικέτες

3 σχόλια:

  1. papadim8 Σεπτεμβρίου 2013 στις 10:47 μ.μ.

    Η γωνιακές ταχύτητες των δεικτών είναι για το μεν κανονικό ρολόι 30μοίρες/60λεπτά= 0,5 μ/λ του ωροδείκτη και 360μ/60λ= 6 μ/λ του λεπτοδείκτη, για το δε αργό ρολόι ακριβώς οι μισές αντίστοιχα.
    Επομένως σε χ λεπτά (μετά από το μεσημέρι της δεδομένης μέρας), στο μεν κανονικό ρολόι η ολική γωνία μεταξύ των δεικτών του θα είναι 5,5*χ μοίρες, ενώ στο αργό ρολόι θα είναι 2,75*χ μοίρες αντιστοίχως.
    Εφόσον μετράμε τις γωνίες των δεικτών σε βάση από 0 έως 180 μ, όταν η ολικές γωνίες υπερβαίνουν τις 180μ, παίρνουμε την αντίστοιχη διαφορά από τις 360μ (π.χ. 200μ --> 360-200 = 160μ).
    Για να συμπίπτουν, με την έννοια αυτή, οι γωνίες μεταξύ των δεικτών στα δυο ρολόγια θα πρέπει το άθροισμα των ολικών γωνιών τους 5,5*+2,75*χ=8,25*χ να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο των 360μ, δηλαδή:
    8,25*χ = κ*360 (κ=1 ,2, 3,...)
    Για κ=1 ==> χ=360/8,25 (43,64λ περίπου)
    Για κ=2 ==> χ=720/8,25 (2*43,64= 87,27λ περίπου)
    κ.ο.κ.
    Επομένως οι γωνίες στα ρολόγια είναι ίσες ανά 360/8,25λ.
    Στις επόμενες 12 ώρες = 720 λ (μετά από εκείνο το μεσημέρι), οι γωνίες θα ξαναγίνουν ίσες κατά τόσες φορές όσο είναι το ακέραιο μέρος του 720/(360/8,25)= 16,5, άρα άλλες 16 φορές.
    Το προηγούμενο δωδεκάωρο έγιναν ίσες άλλες 16 φορές (σε χρόνους συμμετρικούς, ως προς το μεσημέρι).
    Συνολικά, στο 24άωρο (μεσάνυχτα με μεσάνυχτα) της συγκεκριμένης μέρας, η ισότητα μεταξύ των γωνιών συμβαίνει 16+1+16=33 φορές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS9 Σεπτεμβρίου 2013 στις 1:12 μ.μ.

      Papadim, σωστός!αναλυτικός!...υπέροχος!:-)
      33 φορές όντως!ν
      (το σκεπτικό σου πιάνει κι ένα κάπως λεπτό σημείο που ξεφεύγει ενίοτε. Το ότι οι γωνίες είναι ίσες στα 2 ρολόγια και σε "αντεστραμένη κατάσταση" μεταξύ ωροδείκτη και λεπτοδείκτη)

      Διαγραφή
  2. papadim9 Σεπτεμβρίου 2013 στις 2:55 μ.μ.

    Ευχαριστώ πολύ!
    Να προσθέσω μόνο πως όταν συμβαίνει το ζητούμενο, οι γωνίες και στα δυο ρολόγια είναι ή 120 μοίρες (2 συνεχόμενες στις 3 φορές) ή 0 μοίρες (1 στις 3 φορές).

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)