Στο δάσος του Mathwood υπάρχει η Μεγάλη ευθεία. Είναι τόσο μεγάλη, όσο χρειάζεται να είναι για τα ζώα που τρέχουν κατά μήκος της. Με ανθρώπινη ορολογία, θα λέγαμε ότι είναι "απεριορίστως επεκτάσιμη". Σε κάποιο σημείο, έστω Α, της ευθείας παραφυλάει η αλεπού.
Σκοπός της είναι να πιάσει το λαγό που πάντα τρέχει κατά μήκος της Μεγάλης ευθείας . Η αλεπού έχει βάλει ένα δόλωμα στο σημείο Α και περιμένει.
Την παίρνει όμως ο ύπνος, και όταν ξυπνάει διαπιστώνει ότι ο λαγός έχει περάσει και έχει πάρει το δόλωμα, τρέχοντας προς κάποια (την ίδια συνεχώς) κατεύθυνση από το σημείο Α. Η φορά κίνησης του λαγού, δεξιά ή αριστερά του Α, είναι άγνωστη. Επίσης, η αλεπού δεν ξέρει πόση ώρα έχει περάσει από τότε που ξεκίνησε να τρέχει από το Α ο λαγός, ακολουθώντας μια από τις δύο κατευθύνσεις. Η αλεπού όμως έχει ένα πλεονέκτημα. Μπορεί και τρέχει με μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα από το λαγό . Συγκεκριμένα η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει ο λαγός είναι ίση με 9/10 της μέγιστης ταχύτητας που μπορεί να αναπτύξει η αλεπού. Μπορούν επίσης και οι δύο να τρέχουν απεριόριστα. Υπάρχει τρόπος/στρατηγική με τον οποίον η αλεπού μπορεί να πιάσει το λαγό;
Αν υποθέσουμε ότι τουλάχιστον η αλεπού έχει μια καλή εκτίμηση του χρόνου που μεσολάβησε από τη στιγμή που τοποθέτησε το δόλωμα μέχρι τη στιγμή που ξύπνησε, ακόμα κι αν την πήρε ο ύπνος αμέσως την επόμενη στιγμή της τοποθέτησης του δολώματος και την επίσης αμέσως επόμενη στιγμή πέρασε και το πήρε ο λαγός τρέχοντας με τη μέγιστη ταχύτητά του προς μια κατεύθυνση, τότε η αλεπού θα μπορούσε να υπολογίσει σε πόσο το πολύ χρόνο, αν διάλεγε την ίδια κατεύθυνση με του λαγού και τρέχοντας με τη δική της μέγιστη ταχύτητα, θα τον προλάβαινε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν μέσα στο χρόνο αυτό δε συναντήσει το λαγό, συμπεραίνει ότι ο λαγός κινήθηκε αντίθετα, οπότε αντιστρέφει την κατεύθυνσή της και συνεχίζοντας με τη μέγιστη ταχύτητά της, είναι βέβαιο ότι κάποια στιγμή θα τον προλάβει.
Τώρα τι χρησιμότητα ακριβώς είχε το δόλωμα δεν είναι σαφές. Εκτιμώ ότι και μόνη η αφαίρεση από το λαγό του δολώματος από το σημείο Α, έστω και την ώρα που κοιμάται η αλεπού, πιστοποιεί το πέρασμα του λαγού από εκεί σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και δίνει στην αλεπού τη δυνατότητα να κάνει τους παραπάνω υπολογισμούς. Γι αυτό, φαντάζομαι ότι δεν ήταν ίσως ατύχημα που πήρε ο ύπνος την αλεπού, αλλά ενδέχεται να ήταν κι αυτό στρατηγική και υπολογισμός, αφού γνώριζε πως μπορούσε πάντα να καλύψει το χρόνο του ύπνου της με λίγο (ή πολύ) παραπάνω τρέξιμο.
Αν υποθεσουμε οτι ο λαγος ξεκιναει την χρονικη στιγμη μηδεν να τρεχει προς τα δεξια και η αλεπου προς τα αριστερα. Μετα απο χρονο t η αλεπου αφου δεν συνανταει τον λαγο αποφασιζει να αλλξει κατευθυνση. Τοτε θα πρεπει να τρεχει για 20sec τουλαχιστον μεχρι να προλαβει τον λαγο. Μετα θα πρεπει να ξανααλλαξει κατευθυνση. Γενικα υπαρχει στρατηγικη για να προλαβει τον λαγο κανοντας ενα "ζιγκ-ζαγκ" ως ρξης: Τρεχει για χρονο t προς την μια κατευθυνση και μετα για χρονο 20t προς την αντιθετη. Μετα απο (20^ν)t αλλαζει καυτευθυνση(οπου ν=1,2,3,4...).
ΑπάντησηΔιαγραφήEυχαριστώ για τα σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήPapadim, το θέμα είναι καθαρά μαθηματικό. :-)
To δόλωμα στο Α κ.λ.π το έβαλα στη σάλτσα για να τονίσω την εκκίνηση από το ίδιο σημείο. Εννοείται επίσης ότι όταν ρωτάω "Υπάρχει στρατηγική" πρέπει αυτή (αν υπάρχει) να συγκεκριμενοποιηθεί μαθηματικώς. (π.χ με έναν αλγόριθμο/τύπο που να εκφράζει την κίνηση της αλεπούς)
Δαμιανέ, σωστά σκέφτηκες το ζιγκ-ζαγκ (μιας και η αλεπού δεν μπορεί να γίνει ο μάντης Κάλχας :-) ). Ο παράγοντας 20 (20 sec) πόθεν προκύπτει;
Γιώργο μου, τα είχα υποψιαστεί εξαρχής όσα μου γράφεις, αλλά θέλησα να κάνω μια υπόθεση και ένα αντίστοιχο περίγραμμα στρατηγικής που θα ήταν όσο το δυνατόν λιγότερο κουραστικά και για την αλεπού και για μένα -:).
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα προσθέσω πάντως ότι αν ίσχυε η βασική μου υπόθεση ότι η αλεπού γνωρίζει τη διαφορά χρόνου από την ώρα που έβαλε το δόλωμα μέχρι την ώρα που ξύπνησε, έστω α, τότε τρέχοντας προς την τυχερή κατεύθυνση δε θα χρειαστεί περισσότερο από 9α χρόνου για να πιάσει το λαγό. Αν πάλι σε χρόνο 9α δεν τον συναντήσει και χρειαστεί να αλλάξει κατεύθυνση, θα χρειαστεί άλλα 180α χρόνου το πολύ για να τον προλάβει από την άλλη μεριά.
Εφόσον όμως δεν ισχύει η συγκεκριμένη υπόθεση, η αλεπού θα χρειάζεται μια περισσότερο περίτεχνη και απαιτητική μαθηματικά στρατηγική για να τα καταφέρει. Ελπίζω τουλάχιστον να μην παίρνει πολύ περισσότερο χρόνο από όσο χρόνο χρειάστηκε ο Αχιλλέας να πιάσει τη χελώνα -:)
Αν ξέραμε το χρόνο που προηγείται ο λαγός, έστω t και την κατεύθυνση του, τότε η αλεπού θα χρειαζόταν 9t χρόνο να τον φτάσει. (10/9)*V*X=V*(1+X) => X=9
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω t ο όσο το δυνατόν επαρκής χρόνος ύπνου της αλε-πούς, επειδή ο λαγός μπορεί να πέρασε οποτεδήποτε από την στιγμή αμέσως μετά που κοιμήθηκε η αλεπού μέχρι την στιγμή λίγο πριν ξυπνήσει με την ίδια πιθανότητα (μ.ο. 0.5t) αλλά και επειδή η αλεπού μπορεί να κοιμήθηκε οσοδήποτε χρόνο έως t (ας πούμε μ.ο 0.50t-0.6t) , άρα συνολικός μ.ο 0.25-0.30
Θεωρώ, διαισθητικά και αυθαίρετα μαθηματικώς, ότι η αλεπού πρέπει να ξεκινήσει την ζίγκ-ζάγκ την διαδρομή της με αρχικό χρόνο α=0.2t να προηγείται ο λαγός και αν δεν τον συναντήσει αλλάζει πορεία και αυξάνει σταδιακά τον αρχικό χρόνο κατά κ>1 (π.χ κ=α, αυθαίρετο! ) σε κάθε αλλαγή κατεύθυνσης
(α, κα, κ^2α,....), έτσι ο αλγόριθμος για τις αλλεπάλληλες διαδρομές ζίγκ-ζάγκ διαμορφώνεται:
ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ
1η 9α
2η {(2*9α)+κα}*9 =α*(2*9^2 +9κ)
3η {( 2*2α(9^2) +2*9κα) +κ^2 *α*9=
=α*(2^2*9^3 *κ^0+2*9^2*κ^1+9*κ^2)
......................
Νη α*{2^(ν-1)*9^ν*κ^0 +2^(ν-2) 9^(ν-1)*κ^1 +...+9*κ^(ν-1)}
Διόρθωση πληκτρολογικού λάθους 3ης διαδρομής
Διαγραφή3η {( 2*2α(9^2)+2*9κα)+κ^2*α}*9=...
Ξαναβλέποντας το πρόβλημα, το οποίο το βρίσκω ιδιαίτερα ενδιαφέρον, διαπιστώνω ότι αν ο λαγός προηγείται κατά η αλεπού πρέπει να τρέξει 10α και όχι 9α, όπως λαθεμένα υπολόγισα αρχικά.
Διαγραφήx*v=α*v+x*0.9v =>x*v*(1-0.9)=αv =>x=10α
και η αυξητική κλιμάκωση στους υπολογισμούς μας της χρονικής διαφοράς λαγού αλεπούς κατά χρόνους α,κ*α,κ^2 *α, κ^3 *α(α>=2), σωστότερο είναι να γίνει α,α^2,α^3 (όπως αυθαίρετα και διαισθητικά έγραψα στην αρχική λύση).
Έτσι ο αρχικός τύπος γίνεται:
1η διαδρ 10α, τον φτάνει αν λαγός προηγείται κατά α και κινούνται σε ίδια κατεύθυνση.
2η διαδρ από το σημείο Α μετρούμενη
10*(10α+10α+α^2)=10*(20α+α^2), δηλαδή
καλύπτει τον χαμένο χρόνο, 10α+10α=20α και χρόνο αφετηρίας του λαγού α^2
3η διαδρ από το σημείο Α μετρούμενη
10*(χαμένος χρόνος να φτάσει στο Α +α^3)=
=10*(20α +2*10*(20α+α^2) +α^3), και τον φτάνει αν η αρχική διαφορά σε χρόνο είναι α^3 και κινούνται στην ίδια κατεύθυνση.
.....κ.ο.κ
και ένα αριθμητικό παράδειγμα
Έστω α=10, άρα οι χρόνοι αρχικής διαφοράς
κλιμακώνεται ανά διαδρομή 10,100,1000,10^ν
1η διαδρομή 10*10=100
2η διαδρομή Χαμένος χρόνος 100+100=200
....ο λαγός προηγείται κατά 100, άρα η αλεπού θα τρέξει για χρόνο 10*(200+100)=3000
3η διαδρομή Χαμένος χρόνος 200+2*3000=6200
.....ο λαγός προηγείται κατά 1000, άρα η αλεπού θα τρέξει για χρ. 10*(6200+1000)=72000 κ.ο.κ
Η προσέγγιση αυτή δίνει σίγουρα λύση η οποία όταν το αρχικό α ληφθεί κοντά στο 2 αποκλίνει αισθητά από την βέλτιστη λύση όπως αναλυτικά παρουσίασε ο Γ. Ριζόπουλος και αν το α>=20 προσεγγίζει την βέλτιστη λύση με απόκλιση που βαίνει αυξανόμενη όσο αυξάνονται οι διαδρομές
Έστω ότι οι μέγιστες ταχύτητες είναι 10μ/δ της αλεπούς και 9 μ/δ του λαγού.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπομένως όταν κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, η απόσταση λαγού αλεπούς μειώνεται κατά 1μ/δ, ενώ όταν κινούνται αντίθετα η απόστασή τους αυξάνεται κατά 19μ/δ.
Έστω ότι αρχικά ο λαγός βρίσκεται σε απόσταση χ μέτρα από την αλεπού κινούμενος με τη μέγιστη ταχύτητά του σε μια από τις δυο πιθανές κατευθύνσεις.
Αφού η αλεπού θέλει να πιάσει οπωσδήποτε το λαγό, μη φειδόμενη χρόνου και ενέργειας, μπορεί να το καταφέρει ως εξής:
Επιλέγει τυχαία μια από τις δυο πιθανές κατευθύνσεις και κινείται προς αυτή για 1δ.
Στο τέλος του 1δ οι πιθανές αποστάσεις της από το λαγό θα είναι:
χ-1 (αν είχε επιλέξει αρχικά τη σωστή κατεύθυνση) ή
χ+19 (αν είχε επιλέξει τη λάθος κατεύθυνση).
Τώρα γυρίζει ανάποδα η αλεπού και κινείται προς τη νέα κατεύθυνση για 19+2=21δ.
Στο τέλος των 21δ οι αντίστοιχες πιθανές αποστάσεις της από το λαγό θα είναι:
χ-1 + 19*21 = χ+398 ή
χ+19 -21 = χ-2
Τώρα ξαναλλάζει κατεύθυνση η αλεπού και κινείται προς αυτή για 398+3=401δ.
Στο τέλος των 401δ οι αντίστοιχες πιθανές αποστάσεις της από το λαγό θα είναι:
χ+398-401 = χ-3 ή
χ-2 +19*401 = χ+7617
Αλλάζει πάλι κατεύθυνση η αλεπού και κινείται προς αυτή για 7617+4=7621δ.
Στο τέλος των 7621δ οι αντίστοιχες πιθανές αποστάσεις της από το λαγό θα είναι:
χ-3 + 19*7621= χ+144796 ή
χ+7617 -7621 = χ-4
κ.ο.κ.
Επομένως, ξεκινώντας τυχαία σε μια από τις δυο κατευθύνσεις για 1 δ, αλλάζει κάθε φορά κατευθύνσεις και κινείται στην εκάστοτε νέα κατεύθυνση για χρόνο (σε δ) αυξανόμενο κλιμακωτά κατά 1, 2, 3, 4, κ.ο.κ. επί πλέον της μέγιστης πιθανής αύξησης της αρχικής απόστασης χ που είχε από το λαγό στο αμέσως προηγούμενο ‘βήμα’.
Με τον τρόπο αυτό η αλεπού, είτε ξεκίνησε στη σωστή είτε στη λάθος κατεύθυνση , μειώνει βήμα-βήμα την αρχική απόσταση χ από το λαγό σε χ-1, χ-2, χ-3 κ.ο.κ. Έτσι, δεδομένου ότι η αρχική απόσταση χ είναι σε κάθε περίπτωση πεπερασμένη, είναι βέβαιο ότι σε πεπερασμένο αριθμό τέτοιων βημάτων, κάποια στιγμή (σε αυτή τη ζωή) θα τη μηδενίσει και θα πιάσει το λαγό.
Πολυ σωστη μου φαινεται η λυση του papadim!! Επειδη το προβλημα εχει αρκετους βαθμους ελευθεριας προφανως υπαρχουν και πολλες λυσεις παρομοιες (βασιζομενες στην ιδια λογικη). Σε αυτο το πλαισιο ειχα προτεινει και εγω το 20^ν το οποιο πλησιαζει πολυ στην λυση του papadim. Στο πρωτο βημα θα τρεξει προς μια κατευθυνση 20sec στο δευτερο 20^2 προς την αντιθετη κοκ. Βεβαια πιστευω οτι εξισου σωστο θα ηταν και αν ετρεχε για 100sec προς την μια κατευθυνση και μετα για 100^2 προς την αλλη κοκ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροφανώς η λύση που προτείνω βασίστηκε σε συγκεκριμένη ‘παραμετροποίηση’ των δεδομένων του προβλήματος (ταχύτητες, επιλογή μονάδων, χρόνος αρχικού βήματος κ.ο.κ.), χωρίς όμως βλάβη της γενικότητας της όλης προσέγγισης, με σκοπό να γίνεται όσο γίνεται πιο εύληπτη, χωρίς πολλή-πολλή άλγεβρα (ή και φυσική). Υπάρχουν επομένως και άλλες πιθανές ‘αριθμητικές’ προσεγγίσεις, που όλες τους πάντως φαντάζομαι ότι θα πρέπει να έχουν την ίδια φιλοσοφία. Και αφού η σύγκριση της οικονομικότητάς τους (σε όρους ανάλωσης χρόνου ή ενέργειας) και η επιλογή της βέλτιστης δεν είναι εφικτή αν δεν είναι συγκεκριμένα τα βασικά δεδομένα (απόλυτες ταχύτητες, αρχική απόσταση κ.λπ), νομίζω το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να δείξουμε την εφικτότητα μιας τέτοιας στρατηγικής και, ως προς αυτό νομίζω ότι αρκεί το συγκεκριμένο παράδειγμα (ή οποιοδήποτε άλλο αντίστοιχο).
ΑπάντησηΔιαγραφήO Zήνων ο Ελεάτης σάς ευχαριστεί όλους για τα ωραία σχόλια και τις ιδέες! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήAγαπητέ Papadim, το τελευταίο σου σχόλιο είναι πολύ ενδιαφέρον! Ειδικά το σημείο: "Υπάρχουν επομένως και άλλες πιθανές ‘αριθμητικές’ προσεγγίσεις, που όλες τους πάντως φαντάζομαι ότι θα πρέπει να έχουν την ίδια φιλοσοφία. Και αφού η σύγκριση της οικονομικότητάς τους (σε όρους ανάλωσης χρόνου ή ενέργειας) και η επιλογή της βέλτιστης δεν είναι εφικτή αν δεν είναι συγκεκριμένα τα βασικά δεδομένα (απόλυτες ταχύτητες, αρχική απόσταση κ.λπ),.."
Κι αυτό, γιατί η ομορφιά αυτού του προβλήματος είναι ακριβώς το αντίθετο απ'αυτό που λες (και που θα μπορούσε βεβαίως να είναι φυσική σκέψη και δική μου και όλων μας!)! Το ότι χωρίς δηλαδή (φαινομενικά) βασικά φυσικά δεδομένα υπάρχει βέλτιστη ,"οικονομικότερη" λύση και είναι αυτή ακριβώς(σχεδόν..:-)) που διαισθάνθηκε ο Δαμιανός. Το μοναδικό δεδομένο, ο λόγος των ταχυτήτων είναι αρκετός για πλήρη μαθηματική αντιμετώπιση,και χωρίς να αρκεστούμε στο προφανές ότι δεν υπάρχει άνω όριο, μπορούμε επακριβώς να προσδιορίσουμε το "οικονομικό" κάτω όριο, ως εξής:
Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας,όσο κι αν δεν μου πολυαρέσει αυτή η στάνταρ έκφραση..) ότι η ταχύτητα της αλεπούς είναι 1. Η στρατηγική είναι αρχικά να πάει προς μια οποιαδήποτε κατεύθυνση για χρονική περίοδο ίση με t. Μετά στην αντίθετη κατεύθυνση για χρόνο t^2. Mετά ξανά αντιστροφή πορείας για t^3, και ουτω καθεξής.
Στο τέλος της χρονικής περιόδου t^n , ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι:t^n + t^(n-1)+...+t.
t^n +t^(n-1)+...+t= (t^(n+1)-t)/(t-1) (1)
και η καθαρή απόσταση που έχει διανύσει η αλεπού στην τρέχουσα (n-ιοστή)κατεύθυνση είναι(αφού ταχ.αλ.=1):
t^n - t^(n-1) +...+(-1)^n * t =
=(t^(n+1)-(-1)^n *t)/(t+1) (2)
Άρα η "καθαρή"(μέση) ταχύτητα είναι (2)/(1):
(t^(n+1)-(-1)^n *t)/(t+1) / (t^(n+1)-t)/(t-1)>
>(t-1)/(t+1) (3)
Λύνοντας λοιπόν,βάσει της (3), για
(t-1)/(t+1)>9/10 ,έχουμε:
t>19. Για t>19 η "ωφέλιμη/καθαρή" ταχύτητα της αλεπούς ξεπερνάει αυτή του λαγού και τον πιάνει αναπόφευκτα.
ΥΓ. Το πρόβλημα είναι από πρόσφατο (2010) ρώσικο μαθηματικό διαγωνισμό. Μόνο που στην πρωτότυπη εκφώνηση υπάρχουν κλέφτες κι αστυνόμοι, αλλά εγώ προτιμώ τα ζώα...:-)
Αγαπητέ Γιώργο, ευχαριστώ από την πλευρά μου για τα δικά σου σχόλια και την (για ακόμα μια φορά άψογη) ανάλυση που παρέθεσες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔε νομίζω πάντως ότι το νόημα του προηγούμενου σχολίου μου που μνημονεύεις ήταν ακριβώς αυτό που φαίνεται να εννόησες, με βάση αυτά που μου γράφεις. Αυτό που, εν πάση περιπτώσει, ήθελα να πω είναι ότι η βάση της στρατηγικής της αλεπούς, σε οποιαδήποτε λυσιτελή προσέγγιση, είναι πάντα η κίνηση ζιγκ-ζαγκ , σε κατάλληλα κλιμακούμενα χρονικά διαστήματα, έτσι ώστε η αλεπού να πλησιάζει ολοένα και περισσότερο κάθε φορά το λαγό, σε όποια κατεύθυνση και αν αυτός κινείται. Το περί οικονομικότητας σχόλιό μου αφορούσε στο μέγιστο συνολικό χρόνο που θα χρειαστεί η αλεπού για να καταφέρει το σκοπό της, που προφανώς συμφωνείς και εσύ ότι παραμένει μη προσδιορίσιμος, χωρίς πιο συγκεκριμένα δεδομένα.
Συγκρίνοντας πάντως τα χρονικά βήματα της λύσης που πρότεινα στο σχετικό σχόλιό μου (1, 21, 401, 7621, κ.ο.κ) με τα αντίστοιχα βάσει της δικής σου λύσης (19+, 361+, 6859+, κ.ο.κ.) παρατηρώ ότι, με την εξαίρεση του 1ου βήματος (το οποίο μάλλον δεν κοστίζει και πολύ), τα επόμενα βήματα που προτείνω είναι στη σωστή κατεύθυνση (στο + των αντίστοιχων δικών σου, έστω με διαφορά ενός βήματος), οπότε δε βλέπω γιατί η λύση που πρότεινα δε θα ήταν σωστή (δεδομένου μάλιστα ότι ζητείται μια αποτελεσματική στρατηγική και όχι κατ’ ανάγκη η βέλτιστη).
Αναμένω στωικά (ως έτερος Ζήνων, αλλά Κιτιεύς), τα δικά σου σχόλια επί του προκειμένου.
Και μέχρι να έλθουν τα σχόλια του αγαπητού Γιώργου, θα προσθέσω ένα δυο συμπληρωματικά ερωτήματα, για να απαντηθούν όλα μαζεμένα:
ΑπάντησηΔιαγραφήα)η ανάλυσή σου, Γιώργο, αποδεικνύει αναμφίβολα την αποτελεσματικότητα της στρατηγικής t-t^2-t^3.. προσδιορίζοντας ως συνθήκη για αυτό το t>19. Αυτή η τιμή όμως δεν είναι παρά ένα κατώφλι για το αρχικό βήμα. Κάθε εκκίνηση που γίνεται πάνω από αυτό το κατώφλι, π.χ. t=20 ή 21 ή 45... είναι μια αποτελεσματική στρατηγική. Το ερώτημα όμως ποια από αυτές είναι η βέλτιστη, αν μπορεί να απαντηθεί κάτι τέτοιο, θεωρώ ότι παραμένει.
β)Η ανάλυση αυτή δεν αποδεικνύει ότι μια 'οικογένεια' στρατηγικών με τα πιο πάνω χαρακτηριστικά είναι και η μόνη δυνατή. Νομίζω ότι εξ ίσου καλά στέκει και αυτή που πρότεινα ο ίδιος.
γ)η εκθετική κλιμάκωση των χρονικών βημάτων (t-t^2-t^3...) φαντάζει κάπως ως εξ απιφοιτήσεως επιλογή, χωρίς φυσικά να αμφισβητείται η αποδεικνυόμενη στη συνέχεια ορθότητά της για t>19. Στην προσέγγιση που πρότεινα από τη μεριά μου, η εκκίνηση γίνεται από ένα οσοδήποτε μικρό βήμα (π.χ. t=1) και κλιμακώνεται γρήγορα με βάση ένα συγκεκριμένο σκεπτικό 'βήμα-βήμα' πλησιάσματος του λαγού, χωρίς άλλο προαπαιτούμενο.
δ)εξακολουθώ, με βάση και τα πιο πάνω, να θεωρώ (και πιστεύω βάσιμα) πως η υπόθεση ότι η στρατηγική που ανέλυσες είναι η βέλτιστη, έναντι πιθανών εναλλακτικών στρατηγικών, παραμένει προς το παρόν αναπόδεικτη.
Επιφυλάσσομαι για περισσότερα σχόλια πάνω στο θέμα, αν χρειαστεί, στη συνέχεια.
Θέλω να προσθέσω λίγα λόγια στη συζήτηση για τη βέλτιστη στρατηγική και την προσδιορισιμότητά της ή όχι, με τα υπάρχοντα δεδομένα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕύκολα αντιλαμβάνεται κανείς ότι η μέση ωφέλιμη ταχύτητα (ΜΩΦ) της αλεπούς αυξάνεται όσο αυξάνεται είτε το αρχικό της βήμα t >19 (στη στρατηγική t-t^2-t^3-.. που ανέλυσε ο Γιώργος), είτε ο πολλαπλασιαστής 19 (στη ‘δική μου’ στρατηγική, η οποία εκφράζει το ίδιο ουσιαστικά σκεπτικό, διατυπωμένο με μια περισσότερο αλγοριθμική / αναδρομική λογική).
Αυτό φαίνεται καθαρότερα από τη σχέση στην οποία καταλήγει η ανάλυση του Γιώργου ΜΩΦ >= (t-1)/(t+1) > 0,9, με βάση την οποία συνάγουμε ότι όσο μεγαλώνει το αρχικό βήμα t, τόσο αυξάνεται το ασυμπτωτικό όριο της ΜΩΦ πλησιάζοντας το φράγμα του 1 όταν το t τείνει στο άπειρο.
Επομένως, αν ορίζαμε ως βέλτιστη στρατηγική αυτή που πετυχαίνει τη μέγιστη δυνατή ΜΩΦ, θα έπρεπε να πούμε, αν κάτι τέτοιο ήταν μαθηματικά επιτρεπτό (και λογικά νοητό), ότι η βέλτιστη στρατηγική της αλεπούς θα ήταν να τρέξει προς οποιαδήποτε από τις δυο κατευθύνσεις επ’ άπειρον και μετά να αλλάξει κατεύθυνση και να τρέξει επ’ άπειρον στο τετράγωνο, κ.ο.κ.).
Κάτι τέτοιο φυσικά δεν μπορεί να γίνει, αλλά δείχνει ξεκάθαρα νομίζω ένα πρόβλημα με τη συγκεκριμενοποίηση της όποιας αποτελεσματικής στρατηγικής. Αν ήμαστε σύμβουλοι της αλεπούς, θα μπορούσαμε ασφαλώς να της πούμε να ξεκινήσει με ένα t>19, αλλά αν μας ρωτούσε ποιο ακριβώς t είναι το καλύτερο, φοβάμαι ότι δε θα είχαμε μαθηματικά πειστική απάντηση, ό,τι κι αν της απαντούσαμε, αφού για κάθε πεπερασμένη τιμή του t, υπάρχουν πάντα και καλύτερες.
Αν πάλι μας ρωτούσε ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη διαφορά του t πάνω από το 19, και εκεί θα είχαμε μια δυσκολία αφού μια οσοδήποτε μικρή, μη μηδενική, διαφορά dt θα ήταν αρκετή, όταν ο χρόνος μπροστά της και τα αποθέματα ενέργειας είναι απεριόριστα .
Κατά την άποψή μου, η έννοια του βελτίστου είναι κυρίως οικονομική και λιγότερο μαθηματική. Στα μαθηματικά μελετούμε μέγιστα και ελάχιστα, τα οποία μεταφραζόμενα σε οικονομικούς όρους, σε συγκεκριμένο κάθε φορά πλαίσιο (αναζήτηση του μέγιστου δυνατού αποτελέσματος με δεδομένους πόρους ή δεδομένου επιθυμητού αποτελέσματος με τους ελάχιστους δυνατούς πόρους) μας οδηγούν σε βέλτιστες λύσεις.
Στο πλαίσιο όμως του συγκεκριμένου προβλήματος όμως, πέρα από τον προσδιορισμό ενός ορίου που χωρίζει τις αποτελεσματικές από τις αναποτελεσματικές στρατηγικές, δεν ξέρω τι θα μπορούσαμε να πούμε για τη βέλτιστη λύση.