Το 0,999... είναι ακριβώς 1. Όχι "περίπου 1" αλλά "ακριβώς 1" !
Απόδειξη
α = 0,999...
10α = 9,999...
10α - α = 9,999... - 0,999...
9α = 9
α = 1
Πάρτε μια λευκή κόλα χαρτί και γράψτε στην μια σελίδα: "Η πρόταση που είναι γραμμένη στην πίσω σελίδα αυτού του χαρτιού είναι αληθής". Κατόπιν, γυρίστε στην πίσω πλευρά του φύλλου και γράψτε: "H πρόταση που είναι γραμμένη στην πίσω σελίδα αυτού του χαρτιού είναι ψευδής". Βρείτε έναν τρόπο, χωρίς να γράψετε κάτι πρόσθετο ή καταστρέψετε ή αλλοιώσετε ή προσθέσετε οτιδήποτε πάνω στο χαρτί, να άρετε το προφανές λογικό παράδοξο.
Το παράδοξο συνίσταται στην αδυναμία συνεπούς απόδοσης οποιωνδήποτε τιμών Α ή Ψ σε κάθε μια από τις δύο προτάσεις, χωρίς δηλαδή να οδηγούμαστε σε αντίφαση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕδώ έχουμε μια παραλλαγή του αυτοαναφορικού παράδοξου του ψεύτη ('αυτή η πρόταση είναι ψευδής'), το οποίο και σε κάποια του παραλλαγή χρησιμοποιήθηκε για την απόδειξη της μη πληρότητας. Η διαφορά είναι ότι στην περίπτωσή μας η αυτοαναφορικότα είναι έμμεση (κυκλική), μέσω αναφοράς της μιας πρότασης στην άλλη.
Στο πλαίσιο ενός συστήματος που οι συντακτικοί του κανόνες αποδέχονται τη διατύπωση προτάσεων που περιέχουν άμεση ή έμμεση αυτοαναφορά, είναι αναπόφευκτη η εμφάνιση τέτοιων παραδόξων, των οποίων η άρση εντός του ίδιου του συστήματος νομίζω ότι δεν είναι εφικτή.
Papadim, σωστές οι σκέψεις σου και σωστή η παρατήρηση σχετικά με το θρυλικό αποτέλεσμα του Γκαίντελ! (πρέπει κάποια στιγμή να βρω χρόνο να γράψω κάτι..)
ΔιαγραφήΥπάρχει όμως ένας τρόπος (με μια φυσική-μηχανική διαδικασία) να άρουμε τρόπον τινά το παράδοξο.:-)
To ότι έχουμε ένα χαρτί, ή μάλλον το ότι έχουμε ένα ΟΡΘ.ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ...τοπολογία! :-)
Ας φύγουμε λοιπόν από τη λογική ουσία του παράδοξου κι ας πάμε στις τοπολογικές 'ταχυδακτυλουργίες':
ΑπάντησηΔιαγραφήΠιάνουμε την πάνω και την κάτω μεριά του χαρτιού και αφού τις στρέψουμε κατάλληλα τις ενώνουμε με ένα σελοτέιπ μετατρέποντας το χαρτί σε μια λωρίδα Mobius. Έτσι καταργούμε την πίσω σελίδα του χαρτιού και αίρουμε το παράδοξο.
Σωστός ο παίκτης! :-)
ΔιαγραφήNα σου πω την αλήθεια ,την ιδέα την πήρα εδώ ,πιο πάνω λίγο και αριστερά όπου υπάρχει ένα λόγοτυπο με μια πράσινη λωρίδα του Moebius. :-)
Μία ακμή, μία πλευρά/σελίδα---no paradox!
Σωστα ολα τα παραπανω, πλην ομως στην εκφωνηση του προβληματος ελεγε να μην αλλοιωσουμε το χαρτι. Προφανως το να το μετατρεψουμε σε λωριδα του Moebius το αλλοιωνει (και τοπολογικα αλλα και φυσικα). Οπως επισης λεει στην εκφωνηση και να μην προσθεσουμε κατι. Το σελοτεϊπ προφανως ειναι επιπροσθετο. (Διαφορετικα θα ελεγε δινεται ενα φυλλο χαρτι που εχει σελοτεϊπ στις γωνιες του) :)
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε καθε περιπτωση ομως η λογικη του προβληματος οπως και η απαντηση του ειναι ευφυης και πρωτοτυπη!!!
Δαμιανέ, οι παρατηρήσεις σου είναι βάσιμες, δεδομένου ότι ανάγονται στις προφανείς ‘υλικοτεχνικές’ δυσκολίες του εγχειρήματος που περιέγραψα. Θα πρέπει μάλλον αντί να πάρουμε το ορθογώνιο φύλλο χαρτί όπως είναι στην πραγματικότητα, να το φαντασθούμε σαν ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο (δηλαδή να ‘δουλέψουμε’ με την ιδέα του ορθογωνίου, την πλατωνική του μορφή).
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε ένα τέτοιο πλαίσιο, όλες οι κινήσεις με τις οποίες μετατρέπουμε το ορθογώνιο σε λωρίδα Moebius (δίπλωση, κάμψη, τύλιξη, κοπή, συγκόλληση κ.λπ.) είναι μαθηματικά επιτρεπτές και δεν συνιστούν τοπολογική αλλοίωση.
Όπως θα το έλεγε φαντάζομαι και ο φίλος μας ο Γιώργος, η λωρίδα Moebius είναι μια επιφάνεια με γκαουσιανή καμπυλότητα 0 και, επομένως, μπορεί να κατασκευαστεί με μετασχηματισμό ενός επιπέδου, στον οποίο επιτρέπονται όλες οι παραπάνω κινήσεις ή, αντίστροφα, να μετατραπεί σε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρίς να παραμορφωθεί, συμπιεστεί κ.ο.κ.