Πέντε φίλοι, ο ένας από τους οποίους είχε μαζί του κι ένα πίθηκο, πήγαν να μαζέψουν καρύδια. Μάζεψαν όλη την ημέρα και συμφώνησαν να τα μοιράσουν την άλλη μέρα το πρωϊ. Τη νύχτα σηκώθηκε ένας εξ αυτών και αποφάσισε να πάρει μόνος του το μερίδιο του. Μοίρασε τα καρύδια σε πέντε μερίδια αλλά περίσσεψε ένα. Πέταξε το ένα στον πίθηκο και πήρε το μερίδιο του, δηλαδή το 1/5 των υπολοίπων. Μετά έκρυψε τα δικά του καρύδια και πήγε να κοιμηθεί. Στη συνέχεια ξύπνησε και δεύτερος από τους φίλους και αποφάσισε και αυτός να πάρει το δικό του μερίδιο (δεν γνώριζε τι είχε προηγηθεί και ότι έλειπαν καρύδια). Μοίρασε και αυτός τα καρύδια σε πέντε μερίδια αλλά περίσσεψε ένα.
Πέταξε το ένα στον πίθηκο και πήρε το μερίδιο του. Μετά έκρυψε τα δικά του καρύδια και πήγε να κοιμηθεί. Μετά ξύπνησαν και οι άλλοι ένας - ένας με τη σειρά και έκαναν τα ίδια. Το πρωϊ που ξύπνησαν όλοι οι φίλοι μαζί μοίρασαν τα καρύδια που έμειναν. Περίσσεψε πάλι ένα το οποίο το πέταξαν στον πίθηκο και πήρε ο καθένας τους το 1/5 των υπολοίπων. Να βρεθεί πόσος τουλάχιστον πρέπει να είναι ο αρχικός αριθμός των καρυδιών για να είναι δυνατό ένα τέτοιο μοίρασμα;
Από το βιβλίο "Μαθηματικές Ολυμπιάδες - 101 προβλήματα μόνο για πολύ δυνατούς λύτες", του Ανδρέα Γ. Αθανασιάδη.
Πέταξε το ένα στον πίθηκο και πήρε το μερίδιο του. Μετά έκρυψε τα δικά του καρύδια και πήγε να κοιμηθεί. Μετά ξύπνησαν και οι άλλοι ένας - ένας με τη σειρά και έκαναν τα ίδια. Το πρωϊ που ξύπνησαν όλοι οι φίλοι μαζί μοίρασαν τα καρύδια που έμειναν. Περίσσεψε πάλι ένα το οποίο το πέταξαν στον πίθηκο και πήρε ο καθένας τους το 1/5 των υπολοίπων. Να βρεθεί πόσος τουλάχιστον πρέπει να είναι ο αρχικός αριθμός των καρυδιών για να είναι δυνατό ένα τέτοιο μοίρασμα;
Από το βιβλίο "Μαθηματικές Ολυμπιάδες - 101 προβλήματα μόνο για πολύ δυνατούς λύτες", του Ανδρέα Γ. Αθανασιάδη.
Έστω ότι στην τελευταία, παρουσία όλων, μοιρασιά κάθε φίλος πήρε χ καρύδες. Συνυπολογίζοντας και τη 1 του πιθήκου, η ποσότητα που μοιράστηκε σε αυτή τη φάση ήταν 5χ+1 καρύδες
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπομένως, στην αμέσως προηγούμενη διανομή, αυτή που έκανε ο 5ος φίλος στην έφοδό του, άφησε υπόλοιπο 5χ+1 καρύδες που ήταν τα 4 μερίδια των φίλων του από τη συγκεκριμένη διανομή. Αφού όμως ο 5ος πήρε και αυτός ίσο μερίδιο, θα πρέπει να πήρε (5χ+1)/4, ενώ 1 καρύδα πήρε και ο πίθηκος.
Αυτό σημαίνει ότι η ποσότητα που υπήρχε στο κοινό καλάθι πριν από την έφοδο του 5ου φίλου ήταν συνολικά (5χ+1)/4 + 1 + 5χ+1 = (25χ+9)/4.
Με παρόμοια συλλογιστική, υπολογίζουμε, συναρτήσει του χ, ποια ποσότητα καρύδων υπήρχε στο καλάθι πριν από την έφοδο κάθε αμέσως προηγούμενου φίλου.
Με τον τρόπο αυτό, καταλήγουμε ότι πριν από την έφοδο του 1ου φίλου, στο καλάθι υπήρχαν (15625χ + 11529) / 1024 καρύδες που ήταν η συνολική συγκομιδή.
Δια να είναι εφικτή η συγκεκριμένη διανομή που περιγράφεται στο πρόβλημα, θα πρέπει να βρεθεί ο ελάχιστος χ, για τον οποίο η ποσότητα αυτή έχει ακέραια τιμή, δηλαδή (15625χ + 11529) / 1024 = κ (ακέραιος).
Με επίλυση της διοφαντικής εξίσωσης για χ και κ ακέραιους (ή χρήση excel), προκύπττουν ελάχιστο χ = 1023 και ελάχιστη αρχική ποσότητα 15621 καρύδες.
@papadim
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν συμφωνώ με την ελάχιστη ποσότητα σε 15.621 καρύδες. Η ελάχιστη ποσότητα είναι 3.121 καρύδες.
Καρύδες που πήρε (1/5) κάθε φίλος χωριστά: 2.096 καρύδες.
Καρύδες που πήρε ο πίθηκος: 5 καρύδες.
Διανομή Υπολοίπων Καρυδών ανά Φίλο(1/5): 1.020 καρύδες.
Σύνολο: 3.121 καρύδες.
Αγαπητά papaveri, οι καρύδες μοιράστηκαν σε 6 στάδια, συγκεκριμένα 5 στις εφόδους καθενός φίλου και 1 το πρωί παρουσία όλων. Σε κάθε διανομή ο πίθηκος πήρε και από μια καρύδα. Ο πίθηκος επομένως πήρε 6 καρύδες και όχι 5 που υπολογίζεις.
Διαγραφή@papadim
ΔιαγραφήΈχεις δίκιο όπως και ο Γιώργος. Σ' αυτή τη παραλλαγή του προβλήματος ο πίθηκος πηρε 6 καρύδες.
@papadim
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστειλα τη λύση αναλυμένη στο Σωκράτη για να την αναρτήση.
Η λύση 3121 αντιστοιχεί σε άλλο πρόβλημα όπου η τελική διαίρεση είναι τέλεια (δεν μένει 1 καρύδι για τον πίθηκο):http://mathworld.wolfram.com/MonkeyandCoconutProblem.html
ΑπάντησηΔιαγραφήTo "κουφό" είναι πως η λύση του Γκάρντνερ από το 1961 (που είναι αυτή στην οποία αναφέρεται το Wolfram Mathworld και ταυτίζεται με τη λύση papadim) μάλλον είναι ανακριβής! Βρήκα αυτή και με μια (γρήγορη ομολογουμένως,οπότε επιφυλάσσομαι) ματιά που έριξα δεν βρήκα λάθος: http://mathforum.org/library/drmath/view/56769.html
Τέλος, για μια γενίκευση του προβλήματος δείτε και εδώ: :-)
http://eisatopon.blogspot.com/2013/04/blog-post_7548.html
Αγαπητέ Γιώργο, αν εννοείς τη λύση 12495 (που ξεκινάει όπως φαίνεται πιο κάτω), είναι νομίζω προφανέστατο το λάθος της, αφού μετά από την αφαίρεση 1 καρύδας για τον πίθηκο, οι 12494 που απομένουν για να μοιραστούν εξ ίσου στους φίλους δεν είναι πολλαπλάσιο του 5. Οι διαιρέσεις που κάνει είναι στρογγυλοποιημένες και όχι τέλειες.
Διαγραφή‘Starting with 12495:
The first man took 2499 coconuts, and the monkey took 1.
This left 12495 - 2500 = 9995 coconuts.’
Οh yes! Αρα σωστά επιφυλάχτηκα πριν. :-)
ΔιαγραφήEντάξει ,θα ήταν λίγο τραβηγμένο όντως να λαθεύει το Wolfram (και ακόμη πιο τραβηγμένο να λαθεύεις κι εσύ ταυτόχρονα με το Wolfram!):-)
Τώρα το έθεσες σωστά! Δεν είπες μόνο πώς πάει η ιεραρχία ανάμεσα στις δυο αυθεντίες-:)
ΔιαγραφήΚαι οι δύο λύσεις είναι σωστές! Και το 15621 είναι σωστό και το 12495 είναι επίσης σωστό!
ΔιαγραφήΠως είναι δυνατόν να συμβαίνει αυτό? Είναι πολύ απλό, τα προβλήματα μοιάζουν ίδια, αλλά δεν είναι, είναι διαφορετικά!
Σε αυτό εδώ, πρώτα βγαίνει το καρύδι της μαϊμούς και μετά παίρνουν το 1/5 από αυτά που μένουν, στο άλλο πρώτα παίρνουν το 1/5 και μετά έρχεται η μαϊμού και παίρνει το ένα από αυτά που απομένουν. Μοιάζει αλλά είναι διαφορετικό!
Η γλώσσα συνεχίζει να παίζει παιχνίδια!-:)
36/5=7 +1 υπόλοιπο.
Διαγραφή(36-1)/5=7 +0 υπόλοιπο.
ή xmod5+1=(x+1)mod5
Εμείς εδώ "βλογάμε τα γένια μας" ή για να το θέσω καλύτερα "παπαντιμούτσι από τον τόπο σου!.." ,οπότε η απάντηση στην ερώτησή σου περί ιεραρχίας είναι αυτονόητη! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχήν, αγαπητέ Ευθύμιε, η διατύπωση στο πρόβλημα που συζητάμε είναι ξεκάθαρο πώς εννοεί τη διανομή και είναι νομίζω το σενάριο με τη λύση 15621.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚατά δεύτερο, ακόμα κι αν μπορούσε να εννοεί το δεύτερο σενάριο, αυτό με τη λύση 12495, για να περπατήσει αυτή η λύση θα έπρεπε στην τελευταία διανομή που ξεκινάει με 4091 καρύδες, αντίθετα από ό,τι γινόταν στις προηγούμενες, ο πίθηκος να πάρει την πρώτη καρύδα και μετά να γίνει η διαίρεση με το 5.
Μάλλον δεν έγινε αντιληπτό τι έγραψα, ή δεν το έκανα τόσο σαφές! Θα το ξαναπροσπαθήσω.
Διαγραφή1) Το σημερινό πρόβλημα είναι σαφές και εννοεί ακριβώς αυτό που γράφει και τίποτε άλλο και πολύ καλά το αντιλήφθηκες και έχει μία και μόνο μία λύση σαν ελάχιστο αριθμό καρυδιών,αυτήν που υπολόγισες, 15621. Τελεία και παύλα με το σημερινό πρόβλημα και συγχαρητήρια για την ορθότατη λύση που έδωσες!!
2) Το 12495 είναι η σωστή λύση στο άλλο πρόβλημα, σε αυτό που μας παρέπεμψε ο Γ. Ριζόπουλοςεδώ:http://mathforum.org/library/drmath/view/56769.html
Tο πρόβλημα που αναφέρεται στην mathforum μοιάζει μεν πολύ με το σημερινό αλλά είναι διαφορετικό, έχει άλλο δεδομένο, όπως έγραψα και παραπάνω, στο πότε παίρνει η μαϊμού την καρύδα, είναι διαφορετικό πρόβλημα και έχει φυσικά άλλη λύση, το 12495, την μία και μοναδική όσον αφορά τον ελάχιστο αριθμό των καρυδών, και δεν υπάρχει καμία στρογγυλοποίηση και όλες οι διαιρέσεις είναι τέλειες.
"The five men went to sleep but the first man woke up and thought "I don't trust my buddies," so he took 1/5 of the pile of coconuts. then(THEN) a monkey came down and took 1 coconut. Ομοίως και για τους άλλους τέσσερις και σε κάθε περίπτωση η μαϊμού then=μετά το 1/5 παίρνει την καρύδα και στο τέλος γράφει:
"In the morning, the five men tried to divide the remaining pile ofcoconuts into five equal portions but had one left over, which they gave to the monkey. How many coconuts were in the original pile?
και η επαλήθευση:
12495 (12495/5 =2499)
1ος (12495-2499)-1=9995(9995/5=1999)
2ος (9995-1999)-1=7995(7995/5=1599)
3ος (7995-1599)-1=6395(6395/5=1279)
4ος (6395-1279)-1=5115(5115/5=1023)
5ος 5115-1023-1=4091
Και στο τέλος περισσεύει ένα παραπάνω(4090+1)
και το δίνουν στην μαϊμού και μοιράζονται τα υπόλοιπα(4091-1)/5=818
Μια χαρά έκλεισε και όλες οι διαιρέσεις τέλειες.
Δεν εννόησα κάτι διαφορετικό, Ευθύμιε, ούτε μου πέρασε από το μυαλό ότι αμφισβήτησες τη λύση που πρότεινα. Η ουσία είναι ότι στο σενάριο με τις λιγότερες καρύδες, οι πρώτες 5 του πιθήκου είναι κλεμμένες από τα μερίδια των εκάστοτε υπόλοιπων 4, ενώ η 1 τελευταία του στην τελική διανομή είναι πραγματικά περισσευούμενη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑντίθετα, στο σενάριο που αφορά τον παρόντα γρίφο, και στις 6 διανομές, η καρύδα κάθε φορά του πιθήκου είναι περισσευούμενη.
Ευχαριστώ πάντως που μπήκες στον κόπο να παρουσιάσεις αναλυτικά το πολύ ενδιαφέρον περιεχόμενο της παραπομπής του Γιώργου και το εναλλακτικό σενάριο με την επαλήθευσή του.
Όπως αντιλαμβάνεσαι από την αναφορά μου, στο προηγούμενο σχόλιό μου, σε 4091 καρύδες στο τελευταίο στάδιο της μοιρασιάς, την είχα κάνει και και ο ίδιος.
Αγαπητέ papadim
ΔιαγραφήΗ όλη μου αναφορά και σχολιασμός είχε και έχει να κάνει με αυτό που έγραψες για το άλλο πρόβλημα, της Μath Forum :
“Αγαπητέ Γιώργο, αν εννοείς τη λύση 12495
(που ξεκινάει όπως φαίνεται πιο κάτω), είναι
νομίζω ΠΡΟΦΑΝΕΣΤΑΤΟ το ΛΑΘΟΣ THΣ, αφού μετά από την αφαίρεση 1 καρύδας για τον πίθηκο, οι 12494 που απομένουν για να μοιραστούν εξ ίσου στους φίλους δεν είναι πολλαπλάσιο του 5.
Οι διαιρέσεις που κάνει είναιΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ
και ΟΧΙ ΤΕΛΕΙΕΣ.”
Και όπως έδειξα όχι μόνο δεν είναι προφανέστατα
λάθος και με διαιρέσεις μη τέλειες αλλά είναι
ορθότατη, με την διαφορά ότι δεν μεταφέρεται
στο σημερινό πρόβλημα, αφού πρόκειται για
διαφορετικά προβλήματα.
Οπότε ή συνεχίζεις να έχεις την άποψη ότι είναι
λάθος και σωστά, από την δική σου οπτική γωνία, έγραψες τα παραπάνω, αλλά διαφωνούμε,(τελείως εύλογο και ανθρώπινο φυσικά), ή επανεξετάζοντας την βρίσκεις σωστή και δεν είναι σωστή η πρώτη σου εκτίμηση (προφανέστατα λάθος )
Αγαπητέ Ευθύμιε,
ΔιαγραφήΕλπίζω ότι θα συμφωνήσουμε τουλάχιστον στα εξής βασικά:
α)Η συζήτηση που είχα με το Γιώργο έγινε πριν από τη δική σου πρώτη παρέμβαση και αφορούσε αποκλειστικά το σενάριο του προβλήματος όπως διατυπώνεται στην ανάρτηση αυτή. Δεν είχε τεθεί μέχρι το σημείο εκείνο από κανέναν δεύτερο πρόβλημα με παρεμφερές σενάριο, ούτε ο ίδιος γνώριζα ομολογώ την ύπαρξή του, επομένως ο χαρακτηρισμός μου της λύσης 12495 ως προφανέστατα λανθασμένης είχε ξεκάθαρη συσχέτιση αποκλειστικά και μόνο με το πρόβλημα που υπήρχε στο τραπέζι εκείνη τη στιγμή
β)Η λύση 12495 είναι προφανώς ορθή για το εναλλακτικό σενάριο που ανέφερες στη συνέχεια της συζήτησης και αυτό είναι κάτι που ήδη έχω αναγνωρίσει, ευχαριστώντας σε μάλιστα για την πρωτοβουλία σου να το παρουσιάσεις αναλυτικά. Έχεις ήδη κι εσύ φυσικά αναγνωρίσει ότι αφορά σε ένα άλλο πρόβλημα και όχι το πρόβλημα της ανάρτησης αυτής.
Εν κατακλείδι νομίζω ότι έχουμε αντιληφθεί ο ένας τον άλλο επί της ουσίας και, αν δεν έχεις σοβαρές αντιρρήσεις στα παραπάνω, θα πρότεινα να βάλουμε μια τελεία (άνω τελεία μάλλον γιατί βλέπω το swt να ετοιμάζεται για επέλαση -:)).
Με την επισήμανση-υπόμνηση ότι όχι απλά, "έχω ήδη κι εγώ φυσικά αναγνωρίσει ότι αφορά σε ένα άλλο πρόβλημα και όχι το πρόβλημα της ανάρτησης αυτής", αλλά ήταν και η αρχική μου δήλωση-παρέμβαση "Είναι πολύ απλό, τα προβλήματα μοιάζουν ίδια, αλλά δεν είναι, είναι διαφορετικά!"
ΔιαγραφήΚατά τα άλλα σαφώς τελεία και παύλα και σε αυτό το θέμα, έτσι ή αλλιώς σπάνια σχολιάζω απόψεις άλλων, πες πως τώρα παρασύρθηκα λίγο και η επιδίωξη μου ήταν να ξεδιαλύνω την διαφορετικότητα των δύο προβλημάτων αλλά και την ορθότητα των λύσεων και των δύο.
Περιμένω και εγώ με ενδιαφέρον την άποψη του swt, ο οποίος ειρήσθω εν παρόδω είναι γενικά προσεκτικός σε αυτά που γράφει. Λάθος στην λύση σου δεν βρίσκω. Κλείνει μια χαρά και όλες οι διαιρέσεις είναι τέλειες.
Να υπάρχει άλλος μικρότερος αριθμός από τον 15621? Ίδωμεν!...
Κι όμως! Ο φίλος papadim έκανε κάπου λάθος! Μπορείτε να το βρείτε;
ΑπάντησηΔιαγραφήΒοήθεια: Το ανακάλυψα μόνο μετά την απάντηση του Ευθύμιου Αλεξίου.
ΥΓ. Αντίστοιχο λάθος έκανε και ο RIZOPOULOS GEORGIOS στη γενίκευση που μας έστειλε!
http://mathforum.org/library/drmath/view/56781.html
ΑπάντησηΔιαγραφήΩς προς τη γενίκευσή μου στην παλιά ανάρτηση, έχεις δίκιο swt.
ΑπάντησηΔιαγραφήEίναι πλέον ξεκάθαρο ότι όταν ο μ-ιοστός χωρίζει σε μ στοιβες και περισεύει 1 (που δινει/παιρνει στη μαϊμού)η γενική λύση για π.χ. 5 συνολικά άντρες είναι:
ν + 4 = 5(α + 1)
4(α + 1) = 5(β + 1)
4(β + 1) = 5(γ + 1)
4(γ + 1) = 5(δ + 1)
4(δ + 1) = 5(ε + 1)
Άρα ν + 4 = 5 × (5/4)^4 *(ε + 1), και ετσι
ν = (5^5/4^4) (ε + 1) − 4.
Κι αφού το 5 και το 4 είναι σχετικώς πρώτοι,το κλάσμα 5^5/4^4=3125/256 είναι ανάγωγο.
Αρα η μονες ακέραιες λύσεις είναι για ε+1 πολλαπλάσιο του 4^4, με δ + 1, γ + 1, β + 1, και α + 1 ακέραιοι.
Ετσι η γενική λύση είναι ν = 3125κ − 4, με κ θετικός ακέραιος.
Ως προς τη γενίκευση τώρα. Για μ > 2 άτομα, η μικρότερη δυνατή λύση θα ήταν μ^μ − (μ−1) καρύδες. Κι αυτό γιατί για μ > 2, τα μ και μ−1 είναι πάντα σχετικώς πρώτοι. (και καθε διαιρέτης των μ και μ-1 διαιρεί επίσης και τη διαφορά τους).
Καλημέρα και συγνώμη για την αποπροσανατολιστική μου ερώτηση περί των "λαθών" που είχαν γίνει. Ελπίζω να μην ενόχλησε η χιουμοριστική μου διάθεση. Από πλευράς μου, ομολογώ ότι μόνο τώρα διαπίστωσα πως στη γενίκευση το τελικό πλήθος έπρεπε να διαιρείται ακριβώς με το n και να μην περισσεύει 1 καρύδα για τη μαϊμού. Σωστά όμως αναφέρθηκε ως γενίκευση του προβλήματος που μας απασχολούσε.
ΔιαγραφήΟΚ. Θα σας αποκαλύψω το λάθος. Είναι πολύ απλό. Ο papadim αντί για καρύδια μοίρασε καρύδες! Αντίστοιχα ο RIZOPOULOS GEORGIOS αντί για καρύδες είχε μοιράσει μπανάνες!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟύτε εγώ το είχα δει, αλλά με παραξένεψε η γενική "των καρυδιών" στο 1) σημείο της απάντησης του Ευθύμιου Αλεξίου και διαπίστωσα ότι είχε απόλυτο δίκιο. Μετά είδα ότι ίδιο θέμα υπήρχε και στο γενικότερο πρόβλημα με τις καρύδες.
Τώρα πιθανώς θα με κράξετε γιατί ασφαλώς αυτό δεν είναι σημαντικό για τη λύση αυτή καθαυτή, ωστόσο πιστεύω ότι άξιζε να το επισημάνω για να αναλογιστούμε όλοι, πόσο συχνά διαβάζουμε κάτι και καταλαβαίνουμε κάτι άλλο, καθώς είναι δύσκολο να ξεφύγουμε από τις δικές μας σκέψεις.
φίλε swt, περίμενα ότι θα είχα να αντιμετωπίσω έναν Goedel, αλλά εσύ έβγαλες σε πακέτο τον Saussure, τον Wittgenstein και τον Eco.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν έχω παρά να βγάλω κι εγώ από μέσα μου έναν Feyerabend: 'anything goes' (αρκεί να είναι σωστά τα νούμερα και να τα τρώει η μαϊμού).
Παρεμπιπτόντως, εντόπισα κι άλλο λάθος του Γιώργου (και του Ευθύμιου νωρίτερα και αμέσως πιο πριν δικό μου): την είπαμε μαϊμού και όχι πίθηκο όπως είναι στην εκφώνηση -:)
Αγαπητέ swt, προσωπικά δε με ενόχλησε καθόλου η χιουμοριστική σου διάθεση, ίσα-ίσα με ανακούφισε η τελική σου αποκάλυψη (γνωρίζοντας την οξεία αντίληψη και την επιμέλειά σου), όσο κι αν η αρχική αναφορά σου σε κοινό λάθος μου με το Γιώργο με κρατούσε ήσυχο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕκ του αποτελέσματος εξ άλλου, και μόνο για τη, μη σκοπούμενη ίσως αλλά πάντως θετική, συνέπεια της βελτίωσης από το Γιώργο της γενικής λύσης, η παρέμβασή σου υπήρξε απολύτως εποικοδομητική.
Θεωρώ δεδομένο ότι και η δική μου χιουμοριστική διάθεση, του τελευταίου μου σχολίου, έγινε εξ ίσου αντιληπτή.