1. Ποιος είναι ο λόγος μεταξύ των εμβαδών των δύο τριγώνων; Απαγορεύεται η χρήση του αριθμού π (3,1415..) αυστηρώς!
2. Υπάρχουν σε μια σειρά πάνω σε ένα τραπέζι 38 νομίσματα με διάφορες αξίες (π.χ μονόευρα, 2ευρα, 50 λεπτα, 20λεπτα, μονοδόλαρα, μισοδόλαρα,..κ.λ.π) Ο Α και ο Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο Α πρώτος θα πάρει ένα νόμισμα από ένα από τα δύο άκρα της σειράς. Μετά ο Β ομοίως ,και ούτω καθεξής εναλλάξ. Υπάρχει μια στρατηγική που εξασφαλίζει στον Α ότι θα πάρει τελικά τουλάχιστον τόσα χρήματα όσα και ο Β ή όχι;
3. Αποδείξτε ότι τουλάχιστον 2 Έλληνες έχουν τον ίδιο αριθμό Ελλήνων φίλων!
1)Προφανώς τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠλευρά περιγεγραμμένου τριγώνου =2*ριζα3*R
Πλευρά εγγεγραμμένου τριγώνου ρίζα3*R, άρα αναλογία
πλευρών 2:1, ομοίως και η αναλογία υψών 2:1 (όμοια τρίγωνα), άρα αναλογία εμβαδών 2*2/1*1 =4
Φτουυ! Ξέχασα να απαγορεύσω και τη χρήση του ρίζα3... :-) (αν και μέσω του π ,δεν προκύπτει ο τύπος;)
ΔιαγραφήΑσφαλώς σωστή η απάντηση, αλλά ήθελα την διαισθητική/"μπακάλικη" που προσθέτω ευθύς στην ανάρτηση. Τούμπα το εγγεγραμμένο τριγωνάκι, και το 1/4 είναι αμέσως φανερό!
Όχι δεν προκύπτει αναγκαστικά μέσω του π το ρίζα3 αλλά και από πυθαγόρειο θεώρημα, γωνία 30ο, η απέναντι της γωνίας 30ο κάθετος=R, άρα υποτείνουσα 2R, X^2=4R^2-R^2=3R^2 ->X=ριζα3*R
Διαγραφή->πλευρά=2Χ=2ριζα3*R, για το περιγεγραμμένο, αντίστοιχα στο εγγεγραμμένο υποτείνουσα=R, κάθετος απέναντι γωνίας 30ο R/2, πυθαγόρειο κλπ
Κρίμα που δεν έγινε καθαρό ότι ζητούσατε γραφική προσέγγιση του θέματος και βιαστήκατε να δώσετε την λύση, θα είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για μένα, αν αντιλαμβανόμουνα τι ζητούσατε, σε σχέση με την απλή γεωμετρική άσκηση που έλυσα!
Υ.Γ Παρομοίως είπα και εγώ κατά κάποιον τρόπο φτουυυ!, όταν είδα την γραφική λύση, που δεν το σκέφτηκα από μόνος μου και για το ότι δεν το σκέφτηκα αναλαμβάνω ακέραια την ευθύνη!
Διαγραφή3)Έστω Ν ο αριθμός όλων των Ελλήνων (ή οποιουδήποτε συνόλου ανθρώπων)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν 2 Έλληνες με τον ίδιο αριθμό φίλων, τότε ο καθένας θα έχει διαφορετικό αριθμό φίλων και ο μέγιστος αριθμός φίλων κάποιου θα είναι ο Ν-1 (έχει, αν είναι δυνατόν αλλά το δεχόμαστε για τις ανάγκες του προβλήματος, όλους τους Έλληνες φίλους και πρέπει να υπάρχουν Ν διαφορετικοί αριθμοί φίλων ήτοι:
0,1,2,3,...,N-1
Αλλά ο έχων Ν-1 φίλους δεν μπορεί να έχει φίλο τον έχοντα μηδέν (0) φίλους, άρα άτοπον το να μην υπάρχουν τουλάχιστον 2 με τον ίδιο αριθμό φίλων.
Πολύ ωραία απόδειξη!
Διαγραφή2) Χθες που ασχολήθηκα λίγο με το πρόβλημα, απογοήτευση!, στο μόνο που κατέληξα ήταν ότι πρέπει να συγκρίνω αθροίσματα αλλά το είδα σαν συνδυασμούς δυνατών επιλογών, αδύνατον!, και το παράτησα και άφησα τον ύπνο και το ασυνείδητο να δουλέψει αυτόνομα και πράγματι δούλεψε, τα συγκρίσιμα αθροίσματα είναι μόνον δύο!.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού κάνουμε τις μετατροπές των ισοτιμιών των νομισμάτων σε ένα μόνο νόμισμα, ας πούμε σε ευρώ, αθροίζουμε τις αξίες των νομισμάτων που βρίσκονται στις θέσεις (όπως τα βλέπουμε σε σειρά) 1,3,5,7,..,35,37 και έστω Σαρ το άθροισμα αυτών
και τις αξίες των νομισμάτων που βρίσκονται στις θέσεις 2,4,6,...,36,38 και έστω Σδεξ το άθροισμα αυτών. Συγκρίνουμε τα Σαρ και Σδεξ. Θα είναι ή ίσα (μικρή πιθανότητα αλλά όχι αποκλειστέα) ή κάποιο θα είναι μεγαλύτερο.
Αν υπάρχει μεγαλύτερο άθροισμα ο Α πρέπει να παίρνει από τις μόνο τις θέσεις που προέκυψε το μεγαλύτερο άθροισμα, είναι πολύ εύκολο να επιτευχθεί αυτό. Π.χ έστω ότι Σαρ>Σδεξ, ο Α παίρνει το 1, ο Β θα πάρει ή το 2 ή το 38, ο Α θα συνεχίσει παίρνοντας ή το 3 ή το 37 αντίστοιχα κοκ μέχρι να τελειώσουν τα νομίσματα
Αν Σαρ=Σδεξ είναι αδιάφορο αν θα παίρνει από τις θέσεις ή μόνο του Σαρ ή μόνο του Σδεξ , αφού τα αθροίσματα είναι ίσα.
Άρα υπάρχει μια στρατηγική που εξασφαλίζει στον Α ότι θα πάρει τελικά τουλάχιστον τόσα χρήματα όσα και ο Β, η παραπάνω περιγραφόμενη.
Η στρατηγική αυτή λειτουργεί για οποιονδήποτε άρτιο αριθμό νομισμάτων ή άλλων μεγεθών (που ζητάμε παρόμοια το μεγαλύτερο ή ίσο άθροισμα).
Εξαιρετικά! Πολύ σωστά!
ΔιαγραφήΑλλά, γιατί να μην πούμε απλά ότι ο 1ος παίκτης(ο Α) διαλέγει το μεγαλύτερο από τα δύο αθροισματα: Περιττοί ή Άρτιοι.Και επιλέγει αντιστοιχα το νο1 ή το νο38. :-)
Αν ξεκινησει με περιττό(1) θα πάρει όλους τους περιττούς. Αν ξεκινήσει με άρτιο(38) θα πάρει όλους τους άρτιους.