Δύο θέματα ,η λύση των οποίων απαιτεί μια-δυο,άντε τρεις σειρές, το πολύ! Προσοχή! Ουκ εν το πολλώ το ευ!
1. 25 τενίστες συμμετέχουν σε ένα τουρνουά νοκ-άουτ. Όποιος χάνει έναν αγώνα αποκλείεται. Πόσοι αγώνες θα παιχτούν συνολικά για να βγει νικητής;
2.Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι μ και ν που να ικανοποιούν τη σχέση: $μ^3 = 2^ν +15$;
Οι πιο λακωνικές (αλλά ολοκληρωμένες!) απαντήσεις θα βραβευτούν!
Συνολικά θα γίνουν 5 αγώνες. Χωρίζουμε τους παίκτες σε 12 ζευγάρια, ο ένας μένει εκτός παιγνιδιού (buy) μέχρι τον 3ο γύρο, ο οποίος σχηματίζει άρτιο αριθμό ζευγαριών στον 4ο γύρο.
ΑπάντησηΔιαγραφή1ος Γύρος: 24 παίκτες --> προκριθέντες: 12 παίκτες.
2ος Γύρος: 12 παίκτες --> προκριθέντες: 6 παίκτες.
3ος Γύρος: 6 παίκτες --> προκριθέντες: 3 παίκτες.
4ος Γύρος: 3 παίκτες συν ο ελεύθερος = 4 παίκτες --> προκριθέντες 2 παίκτες.
5ος Γύρος: 2 παίκτες --> πρόκριση 1 παίκτης (Νικητής).
Δεν είναι σωστή η απάντησή σου.
ΔιαγραφήΔιόρθωση:
ΔιαγραφήΑντι για "buy" να γραφεί "bye".
1) Παίζουν 24 αναγκαστικά, αποκλείονται 12, μένουν 13, 12 αγώνες
ΑπάντησηΔιαγραφή2) Παίζουν 12, αποκλείονται 6, μένουν 7, 6 αγώνες
3) Παίζουν 6, αποκλείονται 3, μένουν 4, 3 αγώνες
4) Παίζουν 4, αποκλείονται 2, μένουν 2, 2 αγώνες
5) Παίζουν 2, μένει ο νικητής!, 1 αγώνας
Σύνολο αγώνων 12+6+3+2+1=24
Ή λακωνικά
Απαιτούνται 24/2+12/2+6/2+(3+1)2+1=24 αγώνες
Σωστή η απάντησή σου! Υπάρχει όμως και μια ακόμη (ή μάλλον εξίσου) λακωνική που προκύπτει από έναν πολύ απλό (και κάπως ιδιόμορφο) τρόπο σκέψης.
Διαγραφή2 παίχτες, ένας αγώνας και άλλοι 23 για τον αποκλεισμό του ενός ή του άλλου, άρα 24
ΔιαγραφήE,ναι! Αφού στο τέλος υπάρχει ένας νικητής ,υπάρχουν και 24 (ή γενικά ν-1) χαμένοι. Άρα και 24 (ή γενικά ν-1) αγώνες. Απλούν!
ΔιαγραφήΔιόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνολικά θα γίνουν 24 αγώνες σε 5 γύρους.
Σωστά!
Διαγραφή2.Αντικαθιστουμε όπου μ=2ν και κ=2λ άρα έχουμε
ΑπάντησηΔιαγραφή8*ν^3=4^λ+15
4*(2*ν^3-4^(λ-1))=15
Αυτό είναι αδύνατον αφού (2*ν^3-4^(λ-1)) ακέραιος αριθμός.Άρα δεν υπάχρουν μ και κ που να το ικανοποιούν
Ντονάλτιε, και λοιποί αναγνώστες,με συγχωρείτε!
ΔιαγραφήΟ Δαίμων...! Η εκφώνηση διορθώθηκε. Θετικοί ακέραιοι μ και ν είναι ,τυχαίοι κι όχι άρτιοι.
Σωστός! Συμφωνώ! +1 Ντονάλτιε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ κ. Αλεξίου.Τι λέτε λοιπόν για την πρόταση που έκανα στα σχόλια του χθεσινού προβλήματος?(να αφήνεται ένα χρονικό διάστημα για τις απαντήσεις και όχι αυτόματη ανάρτηση)Προσωπικά δεν προλαβαίνω με τίποτα.Ας πουμε σήμερα το πρωι έλειπα σε δουλειές και γυρνώντας είδα τα νέα 2 προλήματα σχεδόν λυμένα.Ας μα ς πει και ο κ . Ριζόπουλος
ΑπάντησηΔιαγραφήΤώρα ας πουμε πρέπει να ξαναφύγω i ll be back το απόγευμα αργά και θα δω ποια είναι η γνώμη σας
ΑπάντησηΔιαγραφήΝτονάλτιε ,το αίτημά σου είναι εύλογο και θα το αντιμετωπίσω ευνοϊκά.. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροκύπτει βέβαια ένα μικρό πρακτικό θέμα, για το πόσο να περιμένει κανείς; και ένα πιο δευτερεύον ότι κάποιος που έδωσε μια απάντηση,μπορεί να μην ξαναπροσπαθήσει σε περίπτωση λάθους, αν δεν ενημερωθεί σχετικά. Βέβαια, το τελευταίο συμβαίνει σπάνια,μια και οι απαντήσεις είναι τις περισσότερες φορές σωστές.
Μια μέρα δεν είναι οκ?Επίσης μπορείτε να ενημερώνετε κάποιον αν έδωσε λάθος απάντηση με σχετικό σχόλιο.ΌΠως μπορείτε και να ενημερώνετε και κάποιον (για να μην περιμένει όπως λέτε) με αντίστοιχο σχόλιο σε περίπτωση που έχει απαντήση ορθα.Δεν νομίζω πως (πρακτικά) υπάρχει κάποιο πρόβλημα.Απο κει και πέρα εσείς διαχειρίζεστε ,εσείς αποφασίζετε!
ΑπάντησηΔιαγραφήOK. Δεκτό το αίτημα! Θα περιμένω μία μέρα τουλάχιστον πριν κάνω οποιοδήποτε σχόλιο. Θα ενημερώνω μόνο σε περίπτωση λάθος προσέγγισης ή εξόφθαλμα λάθος απάντησης.
ΔιαγραφήΌσο για τις αναρτήσεις των σχολίων ,δεν τις ελέγχω εγώ ,αλλά ο Σωκράτης.
ΑπάντησηΔιαγραφήE τοτε θα υπάρχει spoil οπότε δεν έχει νόημα...
ΑπάντησηΔιαγραφήAπό τη στιγμή όμως που δεν θα σχολιάζω άμεσα,δεν νομίζω ότι υπάρχει θέμα να αλλάξει ο Σωκράτης τη συνηθισμένη διαδικασία που ακολουθεί. Ας μην τον φορτίσουμε και με άλλες σκοτούρες...τον προνομιούχο! :-) Kαι γιατί spoil; Όποιος προλάβει ,και είναι σωστός, πρόλαβε!(το σβίνγγο με το ράμα) Έτσι σκληρή είναι η ζωή ρε συ Ντονάλτιε... :-)
ΔιαγραφήΑν εμφανίζονται αυτόματα τα σχολια τότε δεν έχει νόημα.Αυτό θα έπρεπε να αλλάξει
ΑπάντησηΔιαγραφήΕγω λέω το εξής.Αν γίνεται να υπάρχει έλεγχος σχολίων τότε μπορεί να γίνει αυτό που πρότεινα.Διαφορετικά αν όλα τα σχόλια εμφανίζονται αυτόματα δεν υπάρχει λόγος να καθυστερείτε το σχολιασμό(αφού όπως είπατε η πλειονότητα των απαντήσεων που δίνεται από τους λύτες εδώ είναι σωστή,άρα μαρτυρείται η απάντηση.),άρα η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όπως είναι...Αν θέλετε ρωτηστε τον Σωκράτη για διαχείριση των δικών σας σχολίων(αν γίνεται)
ΑπάντησηΔιαγραφήNτονάλτιε, το ιστολόγιο είναι του Σωκράτη,και αυτός διαχειρίζεται τα σχόλια και πολύ καλώς το πράττει. Δεν υπάρχει λόγος να τον βάλω να κοιτάει το ρολόι! Και στο φινάλε ,δεν είμαστε δα και μιλιούνια αυτοί που σχολιάζουμε εδώ μέσα.. μη το κάνουμε και μεσανατολικό.:-)
ΔιαγραφήΌπως και νάχει, την απόφασή μου την ανακοίνωσα και δεν παίρνω πίσω το λόγο μου. Θα περιμένω τουλάχιστον μία μέρα (εσένα θα σε περιμένω δύο,γιατί είσαι ομορφόπαιδο! :-) )
Α και κλείνοντας γιατί πρέπει να φυγω.Δεν είναι ακριβώς όποιος προλάβει,πρόλαβε.Δεν έχουμε όλοι τον ίδιο ελεύθερο χρόνο ούτε τη δυνατότητα να είμαστε μονίμως πάνω από το μπλογκ.Ο κ. Αλεξίου το επισήμανε και αυτό σε προηγούμενο του σχόλιο (όντας συνταξιούχος έχει περισσότερο ελευθερο χρόνο).Καλη σας μέρα
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα γίνουν 24 αγώνες: Γιατί θεωρώντας ότι κάθε τενίστας νικώντας τον αντίπαλό του έχει νικήσει και έχει αποκλείσει και τους αντιπάλους που έχει αποκλείσει ο αντίπαλός του κ.ο.κ. (κάθε αντίπαλος και αγώνας),έχουμε ότι ο τελικός νικητής του τουρνουά τενίστας (ο οποίος έχει νικήσει σε όλους τους γύρους και συνεπώς καθορίζει τον μέγιστο αριθμό των αγώνων)έχει νικήσει στην ουσία 25-1=24 αντιπάλους (επειδή δεν μπορεί να κερδίσει τον εαυτό του).Συνεπώς θα παιχτούν συνολικά 24 αγώνες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το μ^3=2^ν+15
ΑπάντησηΔιαγραφήΤΟ γράφουμε μ=2^ν+15/(μ^2)
Το 2^ν+15 δεν μπορεί να σπάσει σε παράγοντες άρα είναι πρώττος αριθμός
Άρα διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του
Άρα πρέπει μ=1 ή μ^2=2^ν+15
Το 2ο είναι αδύνατον
Και το 2ο είναι αδύνατον φυσικά άρα δεν υπάρχουν μ και ν που να ικανοποιούν την ισότητα
ΑπάντησηΔιαγραφήΑλλά κατευθειάν θα μπορούσαμε να πουμε ότι εφόσον το 2^ν+15 είναι πρώττος αποκλείεται να ισούται με μ^3=μ*μ*μ
ΑπάντησηΔιαγραφήτο οποίο είναι γινόμενο παραγόντων
Nτονάλτιε, έξυπνη η ίδέα σου,αλλά δεν στέκει.
Διαγραφή1ον Ο μετασχηματισμός που κάνεις είναι λάθος, και 2ον (και βασικότερο)ο 2^ν +15 δεν είναι πρώτος πάντα! Π.χ 2^7 +15=143=11*13
Παντως κ. Ριζόπουλε απαντήστε και άμεσα αμα θέλετε από την στιγμή που δεν μπορεί να γίνεται ο έλεγχος σχολίων.Δεν θέλω να παίρνω στο λαιμό μου και άλλους λύτες.Και ο κ. Αλεξίου π.χ. συμμετέχει πιο συχνά από εμένα(με εξαιρετικές επιδόσεις) και έχει ένα λόγο παραπάνω.Ας συνεχιστεί η διαδικασία όπως πριν.Με συγχωρείτε για την αναστάτωση αλλά δεν γνώριζα ότι δεν διαχειρίζεστε τα σχόλια.Σας ευχαριστώ πολύ για την πρόθεση σας να περιμένετε αλλά δεν νομίζω πως χρεάζεται δεδομένων των συνθηκών
ΑπάντησηΔιαγραφήNτονάλτιε, καμμία αναστάστωση ,κι ούτε ασφαλώς υπάρχει κάποιος λόγος για να αισθάνεσαι άσχημα ή άβολα! Ελεύθερα και μεγάλα παιδιά είμαστε , ώστε να λέμε την άποψή μας ευθαρσώς.
ΔιαγραφήΠροσωπικά, αντιμετωπίσα και αντιμετωπίζω τη συμμετοχή μου στο ιστολόγιο εξαρχής, είτε με τις γενικότερου ενδιαφέροντος (ελπίζω..) αναρτήσεις ,είτε με τα προβλήματα, σαν μια ευκαιρία εμβάθυνσης και εμπλουτισμού σε μαθηματικές προκλήσεις με κάποιο γενικότερο ενδιαφέρον. Τουλάχιστον αυτό επιδιώκω. Αν, και σε πoιο βαθμό τα καταφέρνω, ας το κρίνουν άλλοι. Όπως και νάχει, σε καμία περίπτωση δεν το βλέπω σαν "διαγωνισμό λύσεων" ή κάτι τέτοιο. Γι'αυτό ,όπως ίσως έχεις αντιληφθεί, και δεν συμμετέχω σα λύτης σε θέματα του Σωκράτη,παρά μόνον όταν έχουν για μένα κάποιο βαθύτερο ενδιαφέρον και πιθανώς μπορώ να προσφέρω μια άλλη οπτική.
Αυτά τα γράφω, όχι για να δικαιολογήσω κάτι ή να παροτρύνω τον οποιοδήποτε σε κάποια δική μου "οπτική", άλλωστε ο καθένας εδώ συμμετέχει για τους λόγους του ,που είναι σεβαστοί και αυστηρά προσωπικοί και κανείς ασφαλώς δεν υπουχρεούται στο να συναινεί με τις δικές μου επιδιώξεις.
Έτσι, με βάση και τα παραπάνω, προσπαθώ να κρατώ μια κάπως εύθραυστη(και ενίοτε παρεξηγίσιμη) ισορροπία μετaξύ του "πνεύματος συναγωνισμού" που ασφαλώς πρέπει να υπάρχει σε κάποιο βαθμό, και για κάποιους ίσως να είναι και το μοναδικό κίνητρο(καμία μομφή δεν υπάρχει σ'αυτό!) και της μαθημ. συζήτησης που ευελπιστώ να γεννιέται και να επεκτείνεται.
Έτσι ,η αμεσότητα των σχολίων κάποιες φορές είναι απαραίτητη! Χωρίς αυτή ,το πράγμα θα γίνει πολύ "ξερό" και καθόλου ενδιαφέρον για μένα. Απ'την άλλη ,έχεις δίκιο ότι κάποιες φορές σχολιάζω μάλλον βιαστικά και ίσως "καπελώνω" άθελά μου προσπάθειες και σχόλια ,πριν καν αυτά γίνουν!
Οπότε, προς το παρόν, μένουμε στο modification εκ μερους μου ,που ήδη ανακοίνωσα, και βλέπουμε. :-)
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το ακόμη άλυτο θέμα 2. δίνω μια μικρή βοήθεια.
ΑπάντησηΔιαγραφήEίναι του γνωστού Τσέχου μαθηματικού-αριθμοθεωρητικού
Raludom Nosirapmoc.
modular comparison λοιπόν ε?:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή2.μ^3-2^ν=15
ΑπάντησηΔιαγραφήMε μετατροπή σε mod10 των μ^3 και 2^ν (μ,ν>0) βλέπουμε το εξής
Τα mod10 του 2^ν είναι 2,4,6,8,2,4,6,8 κλπ
άρα έχουμε μονάχα θετικούς ακέραιους
ενώ το μοδ του μ^3 περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς για mod10
0,1,2,3... εως 9
Άρα βλέπουμε ότι είναι δυνατον για κάποια μ,ν η διαφορα να ισούται με 5mod10
Συγκεκριμένα θελουμε
μ^3 mod10(n+1)-2^ν mod(n)=5mod10(=15)
για οποιοδήποτε n>0 στο σύνολο των ακέραιων θετικών αριθμών
Άρα 5mod10+2^νmod(n)=7 ή 9 ή 3 ή 1 mod10(n+1)
Aυτό κάποια στιγμή συμβαίνει άρα υπαρχουν m και n που να ικανοποιούν αυτή την απαίτηση
Κάποιες βασικές και χρήσιμες ιδιότητες των μόντουλο:
ΑπάντησηΔιαγραφήΛήμμα:
Έστω α,β,γ,δ,μ ∈ Z,κ ∈ με α ≡ β mod μ και γ ≡ δ mod μ. Tότε έχουμε:
1. α+γ ≡ β+δ mod μ
2. α−γ ≡ β−δ mod μ
3. αγ ≡ βδ mod μ
4. α^κ ≡ β^κ modμ
και 5. Αν f είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, τότε f(α)≡ f(β)mod μ
Η 5. είναι πολύ χρήσιμη, ειδικά σε περιπτώσεις "μυστήριων" διοφαντικών εξισώσεων.
Ας πούμε η : X^2 -5y^2=2 δεν έχει λύση,κι αυτό γίνεται αμέσως φανερό γιατί αν ισχύει ,αυτό θα σήμαινε ότι : x^2 ≡ 2 mod 5 (Θυμίζω ότι ο συμβολισμός που εισήγαγε ο Γκάους α ≡ β mod ν δεν σημαίνει τίποτε άλλο παρά ότι το ν διαιρείται ακριβώς με το α-β )Αλλά το 2 δεν είναι τέλειο τετράγωνο mod 5 , έτσι η εξισ, δεν εχει λύση.
Στο προκείμενο πρόβλημα τώρα:
H απάντηση είναι πως δεν υπάρχουν μ και ν που να ικανοποιούν αυτή τη διοφαντική.
Όλοι οι τέλειοι κύβοι είναι 0,ή 1 ή 6 mod 7
Κάθε δύναμη του 2 είναι 1,2, ή 4 mod7.
15=1mod7. Άρα το 2^ν +15 ≡ 2,3 ή 5 mod7 (διαφορετικά όλα ισοϋπόλοιπα από τα 0,1,6) ,άρα δεν υπάρχει λύση.
Έπρεπε να παίξω μπάλα με το mod7 λοιπόν
ΑπάντησηΔιαγραφή