Είναι εύκολο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή και να τοποθετήσουμε ένθεν κι ένθεν τον ίδιο αριθμό σημείων στο επίπεδο.
Η αντίστροφη διαδικασία όμως, είναι εφικτή πάντα; Μπορούμε δηλαδή, αν έχουμε ένα δεδομένο πεπερασμένο σύνολο σημείων, να βρούμε πάντα μια ευθεία που να χωρίζει το σύνολο των σημείων σε δύο περιοχές, με ακριβώς το ίδιο πλήθος σημείων η καθεμιά; Ας θεωρήσουμε ότι αν το πλήθος των σημείων είναι περιττός αριθμός ,η γραμμή θα περιέχει/"διχοτομήσει" ακριβώς ένα από τα σημεία.
Προφανως και η απαντηση ειναι καταφατικη!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔαμιανέ,καλημέρα!
ΔιαγραφήΘυμήσου το "προφανώς.." του Κακουτάνι, λίγες αναρτήσεις πιο πίσω. :-)
Άσε που σούρνεται και Ευ-φορία...Πού πας χωρίς απόδειξη; :-)
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕιναι ευκολο!!! Μαλιστα οχι μονο υπαρχει μια ευθεια που διαιρει στα δυο τα σημεια αλλα υπαρχουν απειρες!!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑποδειξη:
Φερνω μια τυχαια ευθεια και παιρνω τις προβολες ολων των σημειων πανω σε αυτην. Μετα μετραω τα ιχνη και οταν τα αριστερα ιχνη γινουν ισα με τα δεξια φερνω μια καθετη ευθεια που τα χωριζει!!! εννοειται οτι αν καποια ειναι συνευθειακα(συμπιπτουν τα ιχνη τους) τοτε τα μετραω διπλα...
Καλημέρα και ευχαριστώ για τα σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο «προφανές» είναι σχετική έννοια! Ας πούμε, για ένα 7χρονο παιδί είναι προφανές ότι η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι το άθροισμα των πλευρών του, αλλά δεν είναι «προφανές» γιατί το εμβαδό του είναι το γινόμενο 2 γειτονικών πλευρών. Πρέπει να του το δείξεις π.χ χωρίζοντας σε μοναδιαία κουτάκια ,ώστε να τα μετρήσει κ.λ.π.
Νομίζω ότι αυτό το πολύ ενδιαφέρον για μένα θέμα είναι ένα τυπικό θέμα που δείχνει πως αυτό που θεωρούμε προφανές ,δεν είναι και τόσο προφανές τελικά, ειδικά όταν πρέπει να το δείξουμε χωρίς αμφισβήτηση και με σαφήνεια. Πρέπει να αποφύγουμε την συνηθισμένη λογική πλάνη(fallacy) του «κυκλικού επιχειρήματος-αυτοαναφοράς» ,δηλαδή τού να χρησιμοποιήσουμε σαν υποστηρικτικό επιχείρημα-ενδιάμεσο βήμα στην απόδειξη ,αυτό ακριβώς που καλούμαστε να δείξουμε! Έτσι, το να πούμε π.χ «από ένα οποιοδήποτε σημείο μπορούμε να φέρουμε τυχαία ευθεία και μετά να περιστρέψουμε την ευθεία κατάλληλα ώστε αυτή να μην περιέχει άλλο, γιατί ΠΑΝΤΑ υπάρχει τέτοια ευθεία…κ.λ.π» είναι λογική πλάνη. Μα αυτό ψάχνουμε να αποδείξουμε!
Όπως, αν το έχω εννοήσει σωστά Δαμιανέ (αυτό ήδη είναι ένα μειονέκτημα! Το να πρέπει δηλαδή να αποσαφηνίσεις την απόδειξή σου.:-) ) το να πούμε φέρνουμε κάθετη (στην αρχική φαντάζομαι) ευθεία που τα χωρίζει.. Γιατί να υπάρχει τέτοια ευθεία(που να μην «βρίσκει» σε κάποιο σημείο); Αυτό πρέπει να δειχτεί. Έτσι δεν είναι; Εκτός αν δεν έχω εννοήσει κάτι σε σχέση με το σχόλιό σου, οπότε σου ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων.
Η θεώρηση-απόδειξη που έχω κατά νού είναι η εξής:
Eνώνουμε όλα τα σημεία- ανά δύο- με ευθύγραμμα τμήματα (αν είναι στο πλήθος 2ν+1 θα περισσέψει ένα αζευγάρωτο). Τώρα , είναι (σχεδόν) προφανές ότι μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία που να μην είναι παράλληλη σε κανένα από τα ευθ. τμήματα αυτά. Αλλά ,επειδή πρέπει να άρω αυτό το «(σχεδόν)» ,όσο περιττό και «χαζό» ίσως να φαίνεται… υπάρχουν διάφοροι ίσως τρόποι για να δείξουμε ότι τέτοια (και όχι μόνο μία ασφαλώς!) ευθεία υπάρχει. Ο πιο απλός που σκέφτομαι είναι με Αναλυτική Γεωμετρία. Οι ευθείες που ενώνουν τα σημεία ανα δύο είναι yi=ai*x . Mε α1,α2,…,αi τις κλίσεις των ευθειών για τα 2i το πλήθος σημεία.
Άρα , εφόσον υπάρχει πάντα αριθμός-κλίση ευθείας: α’ διαφορετικός των {α1,α2,…,αi} υπάρχει και ευθεία y’=a’*x που δεν είναι παράλληλη σε καμία από τις άλλες.
Εναλλακτικά, μπορούμε να σκεφτούμε και με όρους γεωμετρικής πιθανότητας. Αν πάρουμε όλες τις ευθείες και τις βάλουμε διαμέτρους σ’έναν κύκλο, αφού είναι πεπερασμένες ,πάντα θα υπάρχει «χώρος» και για άλλες διαμέτρους, διαφορετικές από τις ήδη υπάρχουσες.
Οπότε πλέον, βάζοντας αυτή την ευθεία να παίξει μπάλα «έξω αριστερά» ας πούμε :-) ,δηλαδή ξεκινώντας τη εκτός των ακριανών σημείων, μπορούμε να τη μεταφέρουμε παράλληλα (διατηρώντας την κλίση της σταθερή) και κάθε φορά θα βρίσκει ακριβώς ένα σημείο! (αν έβρισκε 2 ,θα ηταν παράλληλη με το συγκεκριμένο ευθ. Τμημα, άρα άτοπο) . Οπότε , τη σταματάμε όχι μόνο στη μέση ακριβώς του αριθμού των σημείων, ή πάνω στο «κεντρικό» σημείο σε περίπτωση περιττού αριθμού, αλλά όπου θέλουμε!
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ:
ΔιαγραφήΔαμιανέ, απαλαγμένος από την πίεση του μεροκάματου, ξανακοίταξα το σχόλιό σου και διαπιστώνω πως σε αδίκησα! Ασφαλώς η ιδέα σου είναι σωστή και εφαρμόσιμη και ασφαλώς συνιστά απόδειξη ,μιας και η ευθεία(όπως και το επίπεδο στη δική μου μέθοδο) δεν "γεμίζει" από πεπερασμένο αριθμό ιχνών. Και έτσι μπορούμε να έχουμε όποια διαμέριση του αριθμού των σημείων θέλουμε.
Συγγνώμη για τη βιασύνη και την λανθασμένη κρίση μου. Mea culpa!
Ευχαριστω για το παραπανω σχολιο! Κατ'αρχην ειναι προφανες οτι το "προφανες" του πρωτου σχολιου μου το εγραψα για να το συνδεσω με του Κουτακανι!!!:).
ΔιαγραφήΗ μονη συμπληρωση που νομιζω οτι θελει η αποδειξη μου ειναι η εξης:
Στην "διαβολικη" περιπτωση που τα ιχνη των μεσαιων σημειων τυχει να ταυτιζονται (για παραδειγμα αν εχουμε 5 σημεια και το τερμα αριστερα μας δινει το πρωτο ιχνος το 2ο , 3ο και 4ο σημειο ειναι συνευθειακα και μας δινουν το δευτερο ιχνος ενω το 5ο σημειο μας δινει το τριτο ιχνος) τοτε θα πρεπει να στρεψουμε την πρωτη ευθεια (την ευθεια των ιχνων) κατα μια απειροελαχιστη γωνια ε>0 τετοια ωστε να παψουν να ειναι συνευθειακα τα ιχνη των σημειων 2,3 και 4. Τετοια γωνια υπαρχει σιγουρα αλλα χρειαζεται σχημα και αρκετα λογια για να αποδειχθει...
Ωραία η λύση με τις εξισώσεις των ευθειών, αλλά
ΑπάντησηΔιαγραφήδύσκολη κατασκευαστικά, βέβαια εδώ το θέμα είναι
θεωρητικό.
Έστω 2ν+1 τα σημεία. Από ένα τυχαίο σημείο φέρουμε
ευθεία και την περιστρέφουμε μέχρι να υπάρχει ένθεν
και ένθεν της ευθείας:
α) Ή ίσος αριθμός σημείων και η ευθεία, έστω (ε1) θα
περιέχει περιττό αριθμό σημείων(1,3,5,...) , οπότε
επιλέγουμε το μεσαίο (ή αν είναι μόνο ένα, δηλαδή
το αρχικό, έχουμε τελειώσει), έστω Ο. “Κλωνοποιούμε”
την (ε1) και με κέντρο περιστροφής το Ο περιστρέφουμε
τον κλώνο της (ε1), μέχρι να περιέξει/διχοτομήσει το
πρώτο σημείο που θα τύχει (που μπορεί να είναι 2,3,.)
και έστω (ε2) η ευθεία αυτή και φ η γωνία (η μικρή ) που σχηματίζουν. Άρα συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν όχι μία, αλλά άπειρες ευθείες που περιέχουν το Ο και βρίσκονται μέσα στο εύρος της γωνίας φ και χωρίζουν τις 2 περιοχές με ακριβώς ίδιο πλήθος(ν) σημείων.
β) Ή αριθμός σημείων στις 2 περιοχές που να διαφέρουν
κατά ένα και η (ε1) να περιέχει άρτιο αριθμό σημείων (2κ).
Από τα σημεία της (ε1) επιλέγουμε το σημείο( Ο) που αφήνει ένθεν και ένθεν αυτού αριθμό σημείων που να διαφέρουν κατά 1 (κ, κ-1). “Κλωνοποιούμε” την (ε1) και το “κλώνο” της τον περιστρέφουμε περί το Ο, έτσι που να αφήνει τα κ σημεία στην περιοχή που είχε ένα λιγότερο και τα (κ-1) στην περιοχή που είχε ένα περισσότερο, μέχρι να περιέξει/διχοτομήσει το πρώτο σημείο που θα τύχει (που μπορεί να είναι 2,3,..) κλπ παρομοίως με την (α) περίπτωση....
Αντίστοιχα και για όποια διαφορά σημείων, αντί μηδέν
της περίπτωσης μας, μας ζητηθεί ή στην περίπτωση
άρτιου αριθμού σημείων.
Υ.Γ Αυτή την λύση έστειλα χθες το πρωί, 2 περιστροφές
Για το «από ένα οποιοδήποτε σημείο μπορούμε να φέρουμε τυχαία ευθεία και μετά να περιστρέψουμε την ευθεία κατάλληλα ώστε αυτή να μην περιέχει άλλο, γιατί ΠΑΝΤΑ υπάρχει τέτοιαευθεία…κ.λ.π», συμφωνώ απόλυτα ότι είναι πλάνη και αν με αφορά δεν ήταν δικιά μου σκέψη και διατύπωση).
Το σκέφτηκα καλύτερα και την διέγραψα όταν γύρισα
από την θάλασσα και αφήνοντας τον χώρο στον
κ. Κανελόπουλο να ολοκληρώσει την σκέψη του,
αλλά και για να μην με “ξαναμαλώσει” ο φίλος Ντονάλτιος, του οποίου τις παρατηρήσεις που έκανε τις έλαβα πολύ σοβαρά υπόψιν,και όσον με αφορά θα καθυστερώ πολύ περισσότερο από ότι μέχρι τώρα να στέλνω τα σχόλια και θα μειώσω αρκετά την συμμετοχή μου σε σχόλια!
Έτυχε και αυτό το διάστημα να μην αναρτά θέματα ο κος Ρωμανίδης, και μου έμειναν μόνο τα δικά σου και τα Ρέμπους.
@Ευθυμιος Αλεξιου
ΑπάντησηΔιαγραφήEυχαριστώ κ. Αλεξίου ,εκτιμώ την κινησή σας αλλά δεν είναι ανάγκη να σας παίρνει η μπάλα.Η ενστασή μου βρισκόταν στο αυτόματο της ανακοίνωσης των σχολίων αλλά εφόσον δεν λύνεται δεν χρειάζεται να την πληρώνουν και άλλοι λύτες.Οπότε πάμε όπως πριν
Και φυσικά δεν υπήρχε καμία μομφή ή "μάλωμα" ως προς σε εσας.Απευθύνθηκα στον κ. Ριζόπουλο για το "τεχνικό" θέμα της εμφάνισης των σχολιών.Απλά η αναφορά μου σε εσάς είχε να κάνει με τον περιορισμό του ελευθερου χρόνου που είχατε θίξει σε προηγ. σχόλιο
ΑπάντησηΔιαγραφή@ donaltios duckios
ΔιαγραφήΝτονάλτιε το θέμα που έβαλες, να αφήνεται ένα χρονικό διάστημα μέχρι να αναρτηθεί ένα σχόλιο είναι και σαφέστατο και πολύ λογικό και συμφωνώ μαζί σου και επίσης σαφές είναι ότι το έβαλες προς τον κ. Ρωμανίδη διαμέσου Γ. Ριζόπουλου ή προς Γ.Ριζόπουλο θεωρώντας ότι ελέγχει τις αναρτήσεις.
Ούτε ίχνος μομφής προς εμένα δεν διαφαίνεται, το αντίθετο μάλιστα θα έλεγα, όσον αφορά το "μην με "ξαναμαλώσει"" αστειεύτηκα με το "δεν είμαστε όλοι πάνω από το μπλόγκ", πιθανόν και να μην με αφορούσε και να μην το κατάλαβα. Σοβαρά έγραψα τα υπόλοιπα και παραμένω στην απόφαση μου γιατί την θεωρώ σωστή αλλά και για δικούς μου λόγους, ενώ μου αρέσει πάρα πολύ η διαδικασία για την εύρεση της λύσης το ..μαρτύριο της πληκτρολόγησης δεν υποφέρεται!