1.Σε ένα πουγκί υπάρχουν δύο ζάρια. Το ένα είναι ένα συνηθισμένο τίμιο ζάρι και το άλλο είναι επίσης τίμιο και εξάεδρο, αλλά ο άσσος του έχει αντικατασταθεί από ένα εξάρι. Τραβάτε ένα ζάρι από το πουγγί στην τύχη και το ρίχνετε. Φέρνετε "Έξι". Ποια είναι η πιθανότητα να φέρετε "έξι" αν ξαναρίξετε το ίδιο ζάρι;
2. Το καζίνο "Η Ελπίς" προσφέρει το καινούργιο παιχνίδι "Φτιάξε τρίγωνο!". Ο παίκτης ρίχνει 3 τίμια στάνταρ ζάρια Αν οι 3 αριθμοί που θα φέρει σχηματίζουν τρίγωνο (δηλαδή αντιστοιχούν σε μήκη πλευρών μή εκφυλισμένου τριγώνου) κερδίζει 1ευρώ. Αν όχι, χάνει 1 ευρώ. Θα δοκιμάζατε την τύχη σας στο καινούργιο παιχνίδι;
Η πιθανότητα να έρθει έξι στο σωστό ζάρι είναι 1/6, ενώ στο αλλοιωμένο ζάρι είναι 2/6, δηλαδή διπλάσια. Επομένως, η πιθανότητα το έξι της πρώτης ρίψης να προήλθε από το αλλοιωμένο ζάρι είναι διπλάσια της πιθανότητας να προήλθε από το σωστό ζάρι. Άρα η πιθανότητα να τραβήξαμε από το πουγκί το αλλοιωμένο ζάρι είναι 2/3, έναντι 1/3 το σωστό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα να ξαναέρθει το έξι στη δεύτερη ρίψη, με στάθμιση των ενδεχομένων, υπολογίζεται σε 1/3*1/6 + 2/3*2/6 = 5/18.
Πολύ σωστά αγαπητέ papadim!5/18. Και ωραία και απλή ανάλυση της υπό συνθήκη πιθανότητας!
ΔιαγραφήΝα προσθέσω απλώς τον εναλλακτικό τρόπο για να καταλήξουμε στο 1/3 με χρήση του θεωρήματος Βayes.
Aν έστω Α το γεγονός "επέλεξα το στάνταρ ζάρι" , Β το συμπληρωματικό,δηλ το "επέλεξα αυτό με τα 2 εξάρια" και Γ το "έριξα 6",έχουμε:
P(A/Γ)=(P(Γ/Α)P(A)): [(P(Γ/Α)P(A)+ P(Γ/Β)P(Β)]
= (1/6 * 1/2) / (1/6 *1/2 + 2/6 *1/2)=1/3
Για να σχηματίζεται τρίγωνο, αρκεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς που θα φέρουν τα τρία ζάρια να είναι μικρότερος από το άθροισμα των άλλων δύο. Η συνθήκη αυτή, αν λογάριασα σωστά, από το σύνολο των 6^3=216 συνδυασμένων πιθανών περιπτώσεων, ικανοποιείται στις 111, δηλαδή περισσότερες από τις μισές.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεπώς, αν το είχα το 1€ θα το 'παιζα.
Ωραία απάντηση για το πρώτο.Αλλά για το δεύτερο νομίζω ότι πρέπει να συμπεριλάβουμε και το γεγονός ότι ο μικρότερος θα πρέπει να είναι και μεγαλύτερος από την διαφορά των άλλων 2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το 2:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστά λογάριασες papadim. Συγχαρητήρια!
Ο δειγματικός χώρος είναι 6^3=216.
Και πολύ σωστά μέτρησες τις ευνοϊκές =111
Δεν θα αναλύσω διεξοδικά,θα πω μόνο τα εξής:
Tρεις θετ. αριθμοί είναι πλευρές τριγώνου εάν και μόνο εάν το άθροισμ. των δύο μικρότερων είναι μεγαλύτερο από τον τρίτο.
Έστω ότι α<=β<=γ με α,β,γ οι αριθμοί που ρίξαμε ανά ζάρι.
Αν γ=1 τότε α=β=1 και έχουμε μια "νικητήρια τριάδα"
Αν γ=2 και β=2 , τότε α=2 ή α=1 δίνουν νίκη.
Θέλει ΠΡΟΣΟΧΗ όμως στο μέτρημα γιατί υπάρχουν 3 διακριτοί τρόποι να ρίξουμε 2 διπλά και 1 άσσο.
(επίσης χρειάζεται προσοχή στο ότι αν γ=2 και β=1 τότε αναγκαστικά α=1 και ΔΕΝ έχουμε νικητήρια τριάδα. Είναι νομίζω αυτό που επεσήμανε ο Κώστας,αλλά το έχει λάβει- προφανώς- υπ'όψι του στο μέτρημα ο papadim. )
Δεν θα αναλύσω πιο κάτω,απλά μπορούμε να συνεχίσουμε ανάλογα,πάντα φιξάροντας μια τιμή για το γ και εξετάζοντας τις διαθεσιμες επιλογες για τα α και β ,βλέπεοντας ποιοι συνδυασμοι δίνουν νίκη (και πάντα προσέχοντας πως "η σειρά μετράει όταν μετράμε"!).
Συγκεντρωτικά έχουμε:
Για γ=1 υπάρχει 1 νικ.τριάδα.
Για γ=2 --- 4 νικ.τρ.
Για γ=3 --- 10 νικ.τρ.
Για γ=4 --- 19 νικ.τριάδες
Για γ=5 --- 31 νικ.τρ.
Για γ=6 --- 46 νικ. τριάδες
ΣΥΝΟΛΟ: 111 νικ. τριάδες,άρα P(νίκης)=111/216=37/72. λίγο πάνω από 0,5.
Με μικρή λοιπόν (μόλις +2,8 σεντς ανά πονταρισμένο ευρώ) αλλά πάντως θετική μαθημ. ελπίδα, θα άξιζε ίσως να παίξουμε στο παιχνίδι όντως,όπως λέει ο papadim, αν βεβαίως είμαστε διατεθειμένοι για πολύ...long term! :-)
Και επειδή τα καζίνα γνωρίζουν καλά τα Μαθηματικά που τα αφορούν ,και δεν υπάρχει παιχνίδι (εκτός από το Μπλακ-Τζακ! αλλά εκεί υπάρχουν άλλης φύσης αρνητικά) που να δίνει θετική μέση τιμή στον παίκτη, μην ψάξετε να βρείτε το καζίνο "Η Ελπίς"! Δεν υπάρχει! :-)
Κ. Ριζόπουλε, αγαπητέ Γιώργο (ο ενικός νομίζω είναι ο φυσικός τρόπος μεταξύ παίδων και αεί παίδων), σε ευχαριστώ καταρχήν για τα σχόλια, τις άρτιες αναλύσεις και τα ωραία 'παραλειπόμενά' τους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔυο λόγια μόνο θέλω να προσθέσω για 'ζαροτρίγωνα':
Η δεύτερη συνθήκη που αναφέρει ο φίλος Kostas είναι ισοδύναμη έκφραση αυτής που ανέφερα στο αρχικό μου σχόλιο, αφού αν οι τρεις αριθμοί μας είναι κατά φθίνουσα σειρά οι max, mid και min, τότε αν max < mid+min <==> min > max-mid.
Όσο αφορά το μέτρημα των περιπτώσεων, αφού βρήκα τις ευνοϊκές τριάδες, ακολούθησα τον εξής απλό κανόνα: 1 για τις ισόπλευρες τριάδες, 3 για τις ισοσκελείς και 6 για τις σκαληνές.
Πολύ καλό και έξυπνο! Να λοιπόν πώς συνδέεται η Συνδυαστική και η Γεωμετρία! Μπράβο papadim και ευχαριστούμε για τα ωραία σου σχόλια και τη συμμετοχή σου γενικά!
ΔιαγραφήΝαι όντως, ευχαριστώ για την παρατήρηση...
ΑπάντησηΔιαγραφήΩραία και απλή η ανάλυση του papadim! Η δική μου ανάλυση στο πρώτο ερώτημα έχει ως εξής: Αν Α είναι το ενδεχόμενο να ήρθε η πρώτη ρίψη 6 και Β το ενδεχόμενο να ήρθε η δεύτερη ρίψη 6, τότε με χρήση του τύπου της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήP(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (1/2 * 1/6 * 1/6 + 1/2 * 2/6 * 2/6) / (1/2 * 1/6 + 1/2 * 2/6) = 5/18
Πάνος
Ωραία εφαρμογή μιας βασικής σχέσης που οδηγεί απευθείας στο ζητοούμενο αποτέλεσμα, χωρίς ενδιάμεσο υπολογισμό της πιθανότητας να τραβήχτηκε από το πουγκί το σωστό ή το πειραγμένο ζάρι.
ΔιαγραφήΜπράβο Πάνο!