1. Από Ουγγρικό μαθηματικό διαγωνισμό για 11χρονους:
Πώς μπορούμε να διαιρέσουμε έναν κύβο 3 X 3 X 3 σε 20 κύβους;
2. Σε ένα αεροπλάνο υπάρχουν 120 θέσεις για 120 επιβάτες. Ο πρώτος επιβάτης που επιβιβάζεται, αντί να καθίσει στην προβλεπόμενη από την κάρτα επιβίβασης θέση του, κάθεται σε μια άλλη τυχαία θέση. Οι επόμενοι επιβάτες κάθονται κανονικά στη θέση τους αν είναι διαθέσιμη. Αλλιώς,κάθονται σε μια ελεύθερη θέση.Ποια είναι η πιθανότητα ο τελευταίος που θα επιβιβαστεί, ο 120ος επιβάτης,να καθίσει στη θέση του;
3. Στο Πόκερ (με 52 φύλλα) υπάρχουν 13 διαφορετικά "καρέ",όσα και τα διαφορετικά φύλλα ,και 40 διαφορετικά "φλος", δηλαδή 5 φύλλα του ίδιου χρώματος/φυλής σε αύξουσα σειρά. Γιατί τότε το φλος κερδίζει το καρέ; Λογικά, οι πιο σπάνιες χαρτωσιές αξίζουν περισσότερο, άρα κερδίζουν τις πιο συνηθισμένες.
ΓΙΑ ΤΟ 1.
ΓΙΑ ΤΟ 1.
Όσον αφορά το 3. νομίζω πως η εξήγηση βρίσκεται στο γεγονός ότι το καρέείναι συνδυασμός 4 φύλλων ενώ το φλος 5.Άρα ναι μεν έχουμε λιγότερους συνδυασμούς στα καρέ αλλά ταυτόχρονα αναφερόμαστε σε μικρότερο πλήθος χαρτιών οπότε τελικά στα 5 φύλλα οι δυνατοί συνδυασμοί του καρέ προκύπουν περισσότεροι(4 ίδια και ένα οποιοδήποτε αδιάφορο).
ΑπάντησηΔιαγραφή1) 3*3*3=27=19+8=19*1^3+2^3
ΑπάντησηΔιαγραφήάρα κόβουμε 19 κυβάκια 1*1*1 και έναν κύβο 2*2*2,
επιτυγχάνεται αν από τον 3*3*3 κόψουμε 1*3*3=9 και αυτό σε 9 1*1*1 και μένει 2*3*3, από το οποίο κόβουμε το 2*1*3=6 που μας δίνει 6 κυβάκια 1*1*1 και μένει 2*2*3 από το οποίο κόβουμε 2*2*1=4 που μας δίνει 4 κυβάκια 1*1*1 και μένει ένας κύβος 2*2*2
Σύνολο 9+6+4+1=20 κύβοι (Δεν λέει να είναι ίσοι και δεν θα μπορούσε να είναι.!)
11 χρονών!!
3)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠιθανότητα για καρέ =13*C(48,1)/C(52,5)=1/4165
Πιθανότητα για Φλος =40/(52,5) =1/64974
64974/4165=15.6
13*48/40=15.6
Συγκεντρωτικά κάποιες πιθανότητες, πιθανόν κάποιες να είναι λάθος (τριάδα, 2 ζεύγη?)
ΔιαγραφήΦλός Ρουαγιάλ Π=4/C(52,5)=1/649740
Φλός Π=40/(52,5)=40/2598960=1/64974
Kαρέ Π=13*C(48,1)/C(52,5)=624/2598960=1/4165
Φούλ Π=13*C(4,3)*12*C(4,2)/C(52,5)=
=3744/2598960=1/694,1666...
Χρώμα Π=4*C(13,5)/C(52,5)-40(τα φλός)=
=5108/2598960=1/508,801879...
Κέντα Π=10*4^5/C(52,5)-40(τα φλός)=
=10200/2598960=1/254,80
Τριάδα Π=13*C(4,3)*C(48,2)/C(52,5)= =58656/2598960=1/44,3085..
2 Zεύγη
Π=(13*C(4,2)*12*C(4,2)*C(44,1)/2)/C(52,5)=
=123552/2598960=1/21,03535...
Οσον αφορά το 2ο ερώτημα νομίζω πως η απάντηση είναι 50%
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τη στιγμή που θα κάτσει ένας επόμενος(οποιοσδήποτε ) επιβάτης στη θέση του 1ου τότε όλοι οι υπόλοιποι κάθονται στη σωστή τους θέση άρα και ο 120
Οποιοσδήποτε επιβάτης πριν τον τελευταίο έχει την ίδια πιθανότητα να πιάσει είτε την θέση του 1ου οπότε οι μετεπειτα κάθονται στη θέση τους(και ο τελέυταίος εννοείται) είτε την θέση του 120 οπότε αυτό δεν γίνεται
Αφου η πιθανότητα είναι ίδια μεταξύ αυτών των ενδεχομένων έχουμε 50-50
1)Aκριβώς όπως τα λέει και ο κ. Αλεξίου.19 1*1*1 και 1 2*2*2
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε καθεμία από τις 3 έδρες του 2*2*2 βάζουμε 4 κύβους 1*1*1
Μεχρι τώρα 1+3*4=13 κύβους
Για να κατασκευαστεί ολόκληρος ο κύβος 3^3 πρέπει να βάλουμε επίσης 2 κύβους σε καθεμία από τις 2 έδρες(που έχουν μπει ήδη 4) για να φτάσουμε το ύψος 3 και μία στήλη 3 κύβων 1*1*1 στην γωνία
Αρα 13+4+3=20
Αν το πάμε ανάποδα-κατασκευαστικά...
Θα πρότεινα κάποιο χρόνο αναμονής στα σχολιά μας και όχι αυτόματη ανάρτηση.Ισως να αφήνει και ο κ. Ριζόπουλος κάποιο χρονικό διάστημα.Προσωπικά δεν προλαβαίνω πάντα.Καλό θα ήταν να απαντούν όσο περισσότεροι γίνεται(θα μπορούσαμε να βλέπουμε έτσι και εναλλακτικές λύσεις. κλπ).Ας πουν και την γνωμη τους οι υπόλοιποι
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο 1. η πιο απλή ιδέα είναι μάλλον το να έχουμε 27 μοναδιαία κυβάκια και να "συγχωνεύσουμε" 8 σε έναν κύβο 2Χ2Χ2 (όπως στην εικόνα, που πρόσθεσα στην ανάρτηση). Γράφει ο Ρος Χόνσμπεργκερ ,μαθηματικός του Πανεπιστημίου του Waterloo, o οποίος ανθολόγησε το θέμα: "Kολάκευα τον εαυτό μου με την διαβεβαίωση ότι είμαι σε θέση να απαντήσω αμέσως σε οποιονδήποτε μαθηματικό προβληματισμό που θα ετίθετο σε κάποιο 11χρονο. Πλέον,δεν θεωρώ πια τίποτε δεδομένο!" :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια τα 2. και 3. τα είπαν πολύ καλά οι φίλοι! Δεν χρειάζεται να προσθέσω τίποτα.
Αυτό ακριβώς δεν ακριβώς δεν κάναμε (27=19+8)?
ΔιαγραφήΓιατί; είπα εγώ πως κάνατε κάτι άλλο; Απλώς πρόσθεσα την οπτική και το αυτοσαρκαστικό χιούμορ του Χόνσμπεργκερ...
Διαγραφή"Για τα 2. και 3. τα είπαν πολύ καλά οι φίλοι!"
ΔιαγραφήΆρα στο 1..? Λεπτομέρειες βέβαια...
Tα είπαν ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΚΑΙ στο 1. οι φίλοι Ντονάλτιος Ντάκιος και Ευθύμιος Αλεξίου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕντάξει, αλλά όχι και έτσι!..., Γέλασα με την καρδιά μου, που λένε. Να είσαι καλά!
ΑπάντησηΔιαγραφή