Ένα δικό μου πρόβλημα:
Γράφουμε σε μια σειρά, ν θετικούς ακέραιους ,από το 1 έως και το ν. 1 2 3...(ν-1) ν. Πρέπει να βάλουμε μπροστά από κάθε αριθμό το πρόσημο "συν" (+) ή "μείον" (-) ώστε το άθροισμα όλων των αριθμών να είναι 0.
Βρείτε την πιθανότητα, το πρόβλημα αυτό να έχει λύση για ένα τυχαίο ν. Πρόσθετο ερώτημα: Bρείτε τη σειρά προσήμων για ν=7 και γενικά για ν=3mod4.
Γενικά πρέπει το άθροισμα όλων των διαδοχικών αριθμών να είναι άρττιο για να έχουμε μηδενισμό.Αν είναι περιττό δεν γίνεται
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς δουμε πιθανές περιπτωσεις
1 (1+2)=3, (1+2+3)=6, (1+2+3+4)=10 ,(1+2+3+4+5)=15, (1+2+3+4+5+6)=21 κλπ
Θα χρησιμοποιήσουμε μετατροπή mod10 για να κρατησουμε τις μονάδες
Άρα 1mod10, 3mod10, 10mod10=0, 15mod10=5mod10, 5mod10+6mod10=1mod10
1mod10+7mod10=8mod10 , 8mod10+8mod10=6mod10
6mod10+9μοδ10=5mod10 5mod10+0=5mod10
Άρα παρατηρούμε μια συχνότητα 2 συνεχομένων περιττών αθροισμάτων και εν συνεχεία 2 άρττιων και ξανά το ίδιο
Άρα η πιθανότητα να έχει λύση είναι 50%
Συμφωνώ με τον Ντονάλτιο (ή σωστότερα σε αυτό κατέληξα και ο ίδιος, αλλά προτίμησα να μην στείλω την λύση, συνταξιούχος γάρ έχω αρκετό χρόνο στην διαθεση μου σε σχέση με εργαζόμενους ή φοιτητές, άρα άνισες οι συνθήκες!) 50%(=2/4)η πιθανότητα να έχει λύση το πρόβλημα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα προσθέσω ότι η περιοδικότητα των 2 συνεχόμενων περιττών αθροισμάτων και εν συνεχεία 2 άρτιων, ανά 4 διαδοχικούς αριθμούς, μπορεί να φανεί αν όπου θεωρήσουμε ν=4κ-3,4κ-2,4κ-1,4κ όπου κ=1,2,3,...
1. ν=4κ-3 Σ(ν=1έως(4κ-3})=(4κ-3)*(4κ-2)/2=
=(4κ-3)*(2κ-1)=περ.*περ=περιττός
2. ν=4κ-2 Σ(ν=1έως(4κ-2))=(4κ-2)*(4κ-1)/2=
=(2κ-1)*(4κ-1)=περ.*περ.=περιττός
3. ν=4κ-1 Σ(ν=1έως(4κ-1))=(4κ-1)*4κ/2=(4κ-1)*2κ =
άρτιος
4. ν=4κ Σ(ν=1έως4κ)=4κ*(4κ+1)/2=2κ*(4κ+1)=άρτιος
Άρα Σ=περιττός, περιττός, άρτιος, άρτιος, περιττός,.
Παρατήρηση: To πρόβλημα αυτό αποκτά ενδιαφέρον ίσως και κυρίως δυσκολία (αν έχει λύση!) αν τα πρόσημα(+,-) μπουν τυχαία (2^ν επιλογές) και ζητείται πάλι η πιθανότητα το άθροισμα να είναι 0
Υ.Γ Ντονάλτιε, χαίρομαι ιδιαίτερα που σε βλέπω να συμμετέχεις!
Η 8η σειρά
Διαγραφή"αριθμούς, μπορεί να φανεί αν όπου θεωρήσουμε"
διορθώνεται σε:
αριθμούς, μπορεί να φανεί αν όπου ν θεωρήσουμε
Γεια σας κ. Αλεξίου.Οσο μπορώ και προλαβαίνω συμμετέχω.Έλειπα και σε διακοπές προσφατως.Και γω χαίρομαι να διαβάζω τις εξαιρετικές σας λύσεις!Απ ότι βλέπω ο κ. Ριζόπουλος μας βομβάρδισε με γρίφους το διάστημα που έλειπα:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήEυχαριστώ για τα σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, οι προσεγγίσεις των 2 σχολιαστών είναι ορθότατες!
Είναι μάλλον ατυχής ο τρόπος που διατύπωσα το πρόβλημα,καθώς αυτό που βασικά ήθελα ήταν αυτό που προκύπτει εμμέσως-πλην σαφώς- από το σχόλιο του Ε.Αλεξίου. Ότι δηλαδή για να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει ο τυχαίος ακέραιος ν να είναι της μορφής 0mod4 ή 3mod4. έτσι το πρόβλημα έχει λύση για ν=3 και ν=4 ας πούμε αλλά όχι για ν=5 και ν=6. Λύση για ν=7 ή 8 ,όχι για ν=9 ή10 κ.λ.π.
Ή εναλλακτική διατύπωση ,το πρόβλημα έχει λύση αν το ν ή το ν+1 διαιρείται ακριβώς με το 4.
Αυτό εξηγείται θεωρητικά απο το γεγονός ότι αφού το άθροισμα σειράς Σ=ν(ν+1)/2 , το Σ πρέπει να είναι αρτιος για να υπάρχουν 2 υποσύνολα (με τομή 0, δηλ με διαφορετικά στοιχεία)του Σ με ίδιο απόλυτο άθροισμα και διαφορετικόμ πρόσημο μπροστά το καθένα.
και, όπως συνάγεται ,αν συσχετιστεί, και από το σχόλιο Αλεξίου, η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ο ν(ν+1)/2 άρτιος είναι το ν να είναι πολ/σιο του 4 ,ή το ν+1 να είναι πολ/σιο του 4.
Αυτό γιατί ν(ν+1)/2=άρτιος σημαίνει ν(ν+1)/2=2κ,άρα
ν(ν+1)=4κ .Αρα αφού είτε το ν είτε το ν+1 είναι περιττός ,ο άλλος πρέπει να διαιρείται με το 4.
Βάζω ,μιας και υπάρχει ενδιαφέρον απο τους φίλους ένα δεύτερο ερώτημα:
Bρείτε μια σειρά προσήμων για ν=7 και γενικεύστε για ν=3mod4. (11,15,19,...)
To εξτρά ερώτημα δεν το κατάλαβα.Για τυχαία σειρά προσήμων για ν=7 ζητείται η πιθανότητα να έχουμε μηδενισμό?Και εν συνεχεία γενίκευση?
ΑπάντησηΔιαγραφήΌχι. Ζητάω να βάλεις τα πρόσημα στους αριθμούς από το 1 ώς και ν=7, ώστε το Σ να είναι 0. Και η γενίκευση αφορά το πώς θα είναι τα πρόσημα για τυχαίο ν της μορφής 3mod4.
ΔιαγραφήΈνα τυχαίο ν μπορεί να είναι 0,1,2 ή 3mod4. Το πρόβλημα, όπως είδαμε, έχει λύση για τα μισά ν (εξού και το 50% που σωστά βρήκες)δηλαδή για ν=0mod4 και ν=3mod4
Για ν=0mod4 ,δεν το ζήτησα ,γιατί είναι σχεδόν προφανές .Συν+ στούς ακραίους και μείον- στους μεσαίους (ανά τετράδα)και αντίστροφα:
ΑπάντησηΔιαγραφή(1-2-3+4)+...+((n-3)-(n-2)-(n-1)+n)=0
ν=7
ΑπάντησηΔιαγραφή(1+2-3)+(4-5-6+7)=0 ή (-1-2+3)+(4-5-6+7)=0 ή
(1+2-3)+(-4+5+6-7)=0 ή (-1-2+3)+(-4+5+6-7)=0
Οι 3 πρώτοι αριθμοί δίνουν 2 λύσεις και οι υπόλοιποι 4 αριθμοί 2 λύσεις, δηλαδή 2* 2^[(7-3)/4]=4 λύσεις
ν=11
1+2-3+4-5+6-7-8+9-10+11=0
ή (1+2-3)+(4-5-10+11)+(6-7-8+9)=0
Οι 1,2,3 δίνουν 2 λύσεις και οι υπόλοιποι 11-3=8 ανά τέσσερις 2^2 λύσεις
ήτοι συνολικά 2*2^2=2*2^[(11-3)/4]=8 λύσεις
ν=15
1+2-3+4-5+6-7+8-9-10+11-12+13-14+15=0
(1+2-3)+(4-5-14+15)+(+6-7-12+13)+(+8-9-10+11)
Οι τρεις πρώτοι (1,2,3) δίνουν 2 λύσεις και οι υπόλοιποι 15-3=12, ανά 4 δίνουν από 2 λύσεις ήτοι 2^3=2^[(15-3)/4] ήτοι συνολικά 2*2^[(15-3)/4]=16
κ.ο.κ για ν=19,23,...4κ-1, κ=1,2,3,...
Οι τρεις πρώτοι (1,2,3) δίνουν 2 λύσεις
και οι υπόλοιποι ν-3 ανά 4 2 λύσεις, άρα 2^[(ν-3)/4]
σύνολον λύσεων 2* 2^[(ν-3)/4]
Παρατηρώ επίσης ότι οι 1,2 πρέπει να είναι ομόσημοι,
οι υπόλοιποι να έχουν εναλλάξ πρόσημο
π.χ αν +1+2, -ή+3+ή-4,..ή -1-2, +ή-3-ή+4,...
εκτός από τους 2 που έχουν άθροισμα ν+4
(πχ για ν=7, 7+4=11, οι 5 και 6 και γενικά οι
(ν+3)/2 και (ν+5)/2) να είναι ομόσημοι)
Υ.Γ Δεν είμαι και σίγουρος ότι μόνον η παράσταση
Α=2* 2^[(ν-3)/4] δίνει το σύνολο των λύσεων.
Ανεξάρτητα από αν είναι σωστή ή όχι, αν είναι
σωστό το Α είναι το σύνολο των ευνοϊκών
περιπτώσεων, αν ζητηθεί πιθανότητα π.χ με τα
πρόσημα να μπαίνουν τυχαία, τότε:
Π= 2*2^[(ν-3)/4]/2^ν,
2^ν το σύνολο των δυνατών τοποθετήσεων
των προσήμων(2*2*..*2, ν φορές το 2)
για ν βέβαια =3mod4
Y.Γ Και φυσικά, είναι προφανές, ότι για ν=3mod4 η αρχική ζητούμενη πιθανότητα με κατάλληλη τοποθέτηση των προσήμων να έχουμε άθροισμα 0 είναι 100%
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνειδητά είμαι εν μέρει..εκτός θέματος, προσπαθώντας να δώσω λύση στο πρόβλημα που ο ίδιος έθεσα.
ΔιαγραφήΥ.Γ 2 Η παράσταση Α=2*2^[(ν-3)/4], απλοποιείται
Διαγραφήπερισσότερο σε Α=2^[(ν+1)/4]
Για ν=3mod4 θα μπορούσαμε να χωρίσουμε τους αριθμούς ως εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφή-.....ν
+1....ν-1
-2....ν-2
+3....ν-3
-...
+...
Να συμπληρώσω ότι η τελευταία σειρά (με πρόσημο +) έχει τους αριθμούς (ν-1)/2 και (ν+1)/2.
ΑπάντησηΔιαγραφή