▪ Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

Επειδή η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $2\pi$, π.χ. το $[0,2\pi ]$, Έχουμε αναφέρει όμως ότι το $\eta \mu x$ είναι η τεταγμένη του σημείου ${\rm M}$ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας $x$ rad τέμνει τον τριγωνομετρι -
κό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το ${\rm A}$.

Παρατηρούμε ότι:

● Όταν το x μεταβάλλεται από το $0$ μέχρι το $\frac{\pi }{2}$, το ${\rm M}$ κινείται από το ${\rm A}$ μέχρι το ${\rm B}$. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0,\frac{\pi }{2}]$.

Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι: 

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[\frac{\pi }{2},\pi ]$,

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[\pi ,\frac{3\pi }{2}]$ και

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$.

● Η συνάρτηση παρουσιάζει

- μέγιστο για $x=\frac{\pi }{2}$, το ημ$\frac{\pi }{2}=1$ και

- ελάχιστο για $x=\frac{3\pi }{2}$, το ημ$\frac{3\pi }{2}=-1$.

Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής:

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε:

Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή.

Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα $[0,2\pi ]$:

Επειδή η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιοδική, με περίοδο $2\pi$, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα $[2\pi ,4\pi ]$, $[4\pi ,6\pi ]$ κτλ. καθώς και στα διαστήματα $[-2\pi ,0]$, $[-4\pi ,-2\pi ]$ κτλ.

Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.

Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε $x\in R$ ισχύει ημ$(-x)$ = -ημ$x$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή $0(0,0)$ των αξόνων.
Από το βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.