Επειδή η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιοδική με περίοδο $2π$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $2π$, π.χ. το $[0, 2π]$, Έχουμε αναφέρει όμως ότι το $ημx$ είναι η τεταγμένη του σημείου $Μ$ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας $x$ rad τέμνει τον τριγωνομετρι -κό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το $Α$.
Παρατηρούμε ότι:
● Όταν το x μεταβάλλεται από το $0$ μέχρι το $\frac{π}{2}$, το $Μ$ κινείται από το $Α$ μέχρι το $Β$. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0, \frac{π}{2}]$.
Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι:
- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[\frac{π}{2}, π]$,
- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[π, \frac{3π}{2}]$ και
- γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\frac{3π}{2}, 2π]$.
● Η συνάρτηση παρουσιάζει
- μέγιστο για $x = \frac{π}{2}$, το ημ$\frac{π}{2} = 1$ και
- ελάχιστο για $x = \frac{3π}{2}$, το ημ$\frac{3π}{2} = -1$.
Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής:
Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε:
Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα $[0, 2π]$:
Επειδή η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιοδική, με περίοδο $2π$, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα $[2π, 4π]$, $[4π, 6π]$ κτλ. καθώς και στα διαστήματα $[-2π, 0]$, $[-4π, -2π]$ κτλ.
Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.
Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε $x ∈ R$ ισχύει ημ$(-x)$ = -ημ$x$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$x$ είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή $0(0,0)$ των αξόνων.
Από το βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.
Από το βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου