Κατασκευή τριγώνου - 21

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΒΓ=α, ύψος ΑΔ=υ και γωνία A = ω, όπου α, υ γνωστά τμήματα και ω γνωστή γωνία.

Λύση • Ανάλυση Έστω ΑΒΓ το ζητούμενο τρίγωνο (σχ.27) που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία A = ω. Επειδή A = ω η κορυφή Α βλέπει γνωστό τμήμα ΒΓ υπό γνωστή γωνία, άρα είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ1που αποτελείται από τα τόξα τ = τ΄, που γράφονται με χορδή τη ΒΓ εκατέρωθεν αυτής και δέχονται το καθένα γωνία ω. Επίσης, αφού το Α απέχει από τη ΒΓ γνωστή απόσταση υ, είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ2 που αποτελείται από δύο ευθείες παράλληλες προς τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής σε απόσταση υ. Άρα η κορυφή Α είναι η τομή των γεωμετρικών τόπων Τ1 και Τ2.

• Σύνθεση. Με χορδή τμήμα ΒΓ = α γράφουμε τα τόξα τ και τ΄ που δέχονται γωνία ω. Στη συνέχεια σε απόσταση ΖΗ = υ από τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής φέρουμε ευθείες ε, ε'//ΒΓ που τέμνουν τα τόξα τ και τ΄. Αν Α είναι ένα από τα σημεία τομής των Τ₁, Τ₂, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο.

• Απόδειξη. Το τρίγωνο ΑΒΓ, από την κατασκευή έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία A = ω, αφού το Α είναι σημείο π.χ. του τόξου τ τα σημεία του οποίου βλέπουν το ΒΓ υπό γωνία ω.

• Διερεύνηση. Για να υπάρχει λύση πρέπει οι γεωμετρικοί τόποι Τ₁ και Τ₂ να έχουν κοινά σημεία. Έτσι, αν ΑΔ < ΕΖ η ευθεία ε τέμνει το τόξο τ σε δύο σημεία Α και Α₁ και η ε' τέμνει το τ΄ στα Α' και Α'₁, οπότε έχουμε τέσσερα τρίγωνα τα οποία είναι ίσα μεταξύ τους (τρεις πλευρές ίσες), οπότε θεωρούμε ότι έχουμε μία λύση. Αν ΑΔ=ΕΖ, η ε έχει ένα κοινό σημείο με το τ, το Ε, οπότε έχουμε ως λύση το ισοσκελές τρίγωνο ΕΒΓ και η ε' έχει ένα κοινό σημείο με το τ΄, το Ε' , οπότε έχουμε ως λύση το ισοσκελές τρίγωνο Ε'ΒΓ. Τα τρίγωνα αυτά όμως είναι ίσα, οπότε έχουμε μία μόνο λύση. Τέλος, αν ΑΔ>ΕΖ δεν υπάρχουν κοινά σημεία των Τ₁, Τ₂ και το πρόβλημα είναι αδύνατο.

Από σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄- Β΄ Λυκείου.