Κατασκευή τόξου κύκλου

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίνεται ένα τμήμα ΑΒ και μία γωνία φ. Να κατασκευασθεί τόξο κύκλου που να έχει χορδή το ΑΒ και να δέχεται γωνία φ.

Ανάλυση Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται από ένα σημείο Μ υπό γωνία φ, δηλαδή ΑΜΒ = φ, τότε αρκεί να προσδιορίσουμε το κέντρο και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ. Έστω ΑΒ ένα τόξο κύκλου, κέντρου Ο, με χορδή την ΑΒ τέτοιο, ώστε για κάθε σημείο του Μ διαφορετικό των Α,Β να ισχύει ΑΜΒ = φ (σχ.11). Αν φέρουμε την ημιευθεία Bx εφαπτόμενη του κύκλου στο Β θα έχουμε ΑΒx = ΑΜΒ = φ (γωνία χορδής και εφαπτομένης) και επομένως η Bx είναι μία σταθερή, ανεξάρτητη του Μ, ημιευθεία. Επειδή OB ⊥ Bx, το κέντρο Ο θα βρίσκεται στη σταθερή ευθεία ζ που είναι κάθετη στη Bx στο Β. Αλλά το Ο βρίσκεται επίσης και στη μεσοκάθετο ε του ΑΒ, άρα είναι η τομή των ε και ζ.

Σύνθεση

Θεωρούμε το δοσμένο τμήμα ΑΒ και φέρουμε ημιευθεία Bx έτσι, ώστε ΑΒx = φ. Στη συνέχεια φέρουμε ευθεία ζ κάθετη της Bx στο Β, που τέμνει τη μεσοκάθετο ε του ΑΒ στο Ο. Γράφουμε τον κύκλο (Ο,ΟΑ) και το τόξο (σχ.11) (χωρίς τα άκρα του) είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη Για κάθε σημείο Μ του τόξου ΑΤΒ έχουμε ΑΜΒ = AΒx = φ, αφού η AΒx είναι γωνία χορδής και εφαπτομένης και η ΑΜΒ εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής, ενώ για κάθε σημείο Ν του τόξου ΑΣΒ έχουμε ΑΝΒ = AΒx' = 2∟ - ΑΒx = 2∟ - φ, όπου Bx' η αντικείμενη ημιευθεία της Bx. Διερεύνηση Για να υπάρχει λύση πρέπει η ευθεία ζ να τέμνει την ε, το οποίο συμβαίνει πάντοτε, αφού AΒx = φ ≠ 0. • Έστω φ>1∟ Τότε με τον ίδιο, όπως παραπάνω, τρόπο κατασκευάζουμε τον κύκλο κέντρου Ο και το τόξοΑΓΒ (σχ.12) που είναι το ζητούμενο (χωρίς τα άκρα του). • Έστω φ = 1 ∟ Τότε το σημείο τομής των ευθειών ε, ζ είναι το μέσο Ο του ΑΒ (σχ.13). Επομένως, το ζητούμενο τόξο είναι καθένα από τα ημικύκλια διαμέτρου ΑΒ, χωρίς τα άκρα τους Α και Β.

Από σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄- Β΄ Λυκείου.