Στο παρακάτω σχήμα, οι δύο ροζ κύκλοι ακτίνας $r$ και οι δύο λευκοί κύκλοι ακτίνας $t$ είναι εγγεγραμμένοι σε ένα τετράγωνο, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε ένα μεγάλο τρίγωνο.
Δύο άλλοι κύκλοι με ακτίνες $R$ και $r$ είναι εγγεγραμμένοι στα δύο μικρότερα τρίγωνα. Να αποδειχθεί ότι $R = 2t$.
Πηγή: cut-the-knot
Πυθαγόρειο θεώρημα στο πάνω-δεξιά ορθ. τρίγωνο
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω χ το μήκος της εφαπτομένης από την πάνω κορυφή μέχρι το σημείο επαφής με τον (ροζ) κύκλο,
οριζόντια κάθετος πλευρά 4r, κατακόρυφη κάθετος πλευρά (χ+r), υποτείνουσα (3r+x), ισχύει:
(4r)^2+(x+r)^2=(x+3r)^2, η οποία δίνει λύση χ=2r, άρα πλευρές τριγώνου 3r, 4r, 5r
Tο τρίγωνο που περιέχει τον πράσινο κύκλο είναι όμοιο με το τρίγωνο που περιέχει τον ροζ κύκλο με αναλογία 4:3
Άρα R=(4/3)r
Σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές το κέντρο του άσπρου κύκλου, το κέντρο ενός ροζ και το σημείο επαφής των δύο ροζ.
Εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος στο παραπάνω τρίγωνο:(2r-t)^2+r^2=(t+r)^2, η επίλυση του οποίου δίνει λύση t=(2/3)r.
Άρα R/t =(4/3)r/(2/3)r =12/6 =2, άρα R=2t ό.έ.δ