Το αλφάβητο στην συνήθη διάταξη του
.
.
είναι το 
. Αναδιατάσσουμε το για να πάρουμε το 
που είναι
. Αναδιατάσσουμε το για να πάρουμε το που είναι.
Χρησιμοποιούμε την ίδια αναδιάταξη στο για να πάρουμε το 
που είναι
για να πάρουμε το που είναι .
Συνεχίζουμε να χρησιμοποιούμε την ίδια αναδιάταξη σε κάθε 
, για να πάρουμε το 
. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος 
έτσι ώστε 
.
, για να πάρουμε το . Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος έτσι ώστε .
USA Purple Comet 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ωραίο και ασυνήθιστο πρόβλημα Συνδυαστικής. Θα το χαρακτήριζα «τυπικά αμερικάνικο» με την έννοια ότι απαιτεί σκέψη «out of the box!» που λένε…
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ αρχική ακολουθία-εγγλέζικο αλφάβητο ,η Τ(0) είναι η:
1,2,3,4….,26
Aς δούμε πώς μεταβάλλεται η σειρά κάποιων γραμμάτων τα οποια αντιστοιχούμε: το Α στο 1, το Β στο2 κ.λ.π.
1-7-17 (μετακινείται το Α)
2-24-26 (μετακ. Το Β)
3-12-25 (μετακιν. Το C)
4-22-13 (to D)
5-16-6 (το Ε)
…….
Κ.λ.π . Κάποια εμφανής σταθερή σχέση που να συνδέει όλους τους αριθμούς δεν είναι εμφανής, οπότε επιχειρούμε να συνεχίσουμε την ακολουθία των μεταθέσεων :
Aν συνεχίσουμε ας πούμε την 2-24-26 αρχίζοντας από το 26 (το Z) στην Το και μετά στην Τ1 και στην Τ2 έχουμε:
26-10-1 . Ουπς! καταλήξαμε στο 1 ,οπότε η συνέχεια είναι 1-7-17 όπως πιο πάνω. Πάμε λοιπόν στο 17 (πάλι στην Τ0) και έχουμε 17-2-24-26 και ο κύκλος των μεταθέσεων κλείνει!
Είναι δηλαδή: (1-7-17-2-24-26-10-1-7…) Kύκλος μήκους 7 . Όλοι οι αριθμοί-γράμματα αυτού του κύκλου λοιπόν ανά 7 ακολουθίες T, κάνουν κύκλο σε όλες τις θέσεις.
Ομοίως (ξεκινώντας από την 3-12-25 (γράμμα C)βρίσκουμε την ακολουθία:
(3-12-25-15-3) μήκος 4.
Ξεκινώντας από την 4-22-13 έχουμε την: (4-22-13-14-8-19-18-11-23-4) μήκους =9
Και τελευταία την : (5-16-6-21-20-9-5) μήκους 6.
4+6+7+9=26 Ο.Κ.
Άρα για να ολοκληρωθούν όλες οι μεταθέσεις/αναδιατάξεις ανάμεσα στα 4 υποσύνολα μήκους 4,6,7 και 9 στοιχείων απαιτείται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των 4,6,7,9 που είναι =252.
Άρα η 252η αναδιάταξη Τ(252) ταυτίζεται με την αρχική Τ(0) ,δηλαδή και πάλι το αλφάβητο.