Έστω $B,C$ δύο μεταβλητά σημεία επί του κύκλου $C: x^2+y^2=25$.
Αν $A(2,0)$ και $M$ το μέσο του τμήματος $BC$ και τα σημεία $B,A,C$ είναι συνευθειακά, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $M$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Καλημέρα κ. Ρωμανίδη και χρόνια πολλά με υγεία και δημιουργία.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα ήθελα μερικές διευκρινίσεις
- Το C της εξίσωσης C:χ^2+ψ^2=25, σημαίνει ότι το C είναι το κέντρο του κύκλου(που δεν νομίζω αφού το C είναι μεταβλητό σημείο στον κύκλο και απλά έχουμε σύμπτωση των C)
-Τα μεταβλητά σημεία B,C μπορούν να βρίσκονται συνευθειακά με το Α σε όλον τον κύκλο ή μόνον στην περιφέρεια? (διαφορετικός Γ.Τ ανάλογα με την περίπτωση)
Υ.Γ Η πρώτη ερώτηση απαντήθηκε τυχαία με το πρόβλημα P(x,y), που αναρτήσατε όπου φαίνεται και το κέντρον του κύκλου Ο, άρα είναι συμβολισμός.(από το circle υποθέτω)
ΑπάντησηΔιαγραφήΧαίρετε κ. Αλεξίου, χρόνια σας πολλά με υγεία. Ακριβώς, όπως το καταλάβατε...
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν απαντήθηκε το 2ο ερώτημα, δεν πειράζει, θα εξετάσω και τις δύο περιπτώσεις
ΑπάντησηΔιαγραφήα) B,C μεταβλητά σημεία στην περίμετρο του κύκλου C
Έστω Ο(0,0) το σημείο αρχής των αξόνων
και κέντρο του κύκλου C.
Ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ διέρχεται από το Ο,
όταν B και C βρίσκονται στον άξονα των Χ, επίσης διέρχεται από το σημείο Α, όταν B και C βρίσκονται στην ευθεία, την κάθετο στην ΟΧ που διέρχεται από το Α.
Επίσης γωνία ΟΜΑ=90 μοίρες (Μ βρίσκεται στο μέσον χορδής του κύκλου).
Άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η περίμετρος κύκλου διαμέτρου ΟΑ, ο οποίος Γ.Τ ισχύει και για κάθε κύκλο C: x^2+ψ^2>ή=4, για C: x^2+ψ^2<4 μόνο το τόξο που βρίσκεται μέσα στον C
β) B,C μεταβλητά σημεία σε όλον τον κύκλο.
Εύκολα φαίνεται ότι ο Γ.Τ είναι όλος ο κύκλος C,
δεν φαίνεται όμως πιθανή αυτή η εκδοχή και λόγω ευκολίας της λύσης.