▪Πειραγμένο ή τίμιο ζάρι;

"Η Θεωρία των Πιθανοτήτων είναι το μοναδικό διαθέσιμο μαθηματικό εργαλείο για να χαρτογραφήσουμε το άγνωστο και το ανεξέλεγκτο. Ευτυχώς, αυτό το εργαλείο,αν και δύσκολο στο χειρισμό καμιά φορά, είναι θαυμαστά δυνατό και βολικό."

Μπενουά Μάντελμπροτ

α) Kατά μέσο όρο, πόσες φορές πρέπει να ρίξετε ένα κανονικό ζάρι ($6$-πλευρο) μέχρι να εμφανιστούν όλοι οι αριθμοί του, τουλάχιστον μία φορά;

Το ίδιο ερώτημα για ένα τυχαίο ζάρι με $ν$ πλευρές.

Τα ζάρια είναι "αμερόληπτα". Κάθε πλευρά έχει τις ίδιες πιθανότητες να εμφανιστεί με καθεμιά από τις υπόλοιπες.

β) (Δύσκολο!) Πρέπει με ένα ζάρι να φέρετε "διπλές" (οποιεσδήποτε διπλές. Άσσους ή δυάρες ή τριάρες ή..κλπ) . Έχετε να επιλέξετε μεταξύ ενός κανονικού αμερόληπτου ζαριού (με ν πλευρές) και ενός μη αμερόληπτου - "πειραγμένου". Να αποδειχτεί ότι πρέπει να επιλέξετε το πειραγμένο $ν$-ζάρι!

Σημείωση: 

Ως "πειραγμένο" ζάρι, νοούμε κάποιο ζάρι για το οποίο ισχύει πως οι πιθανότητες να έρθει $1$,ή $2$,...ή $ν$ δεν είναι ίδιες για όλους τους αριθμούς, αλλά $p_1, p_2, p_3...,p_ν$. (άγνωστες).

Ισχύει βεβαίως πάντα, το πατροπαράδοτο για ανεξάρτητα συμβάντα: 

$p_1+p_2+...+p_ν=1$.