"Η άχρηστη γνώση μπορεί να μας χαρίσει μεγάλη ευχαρίστηση."
Μπέρντραντ Ράσσελ
Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίον ισχύει:
Το διπλάσιό του είναι τέλειο τετράγωνο. Το τριπλάσιό του είναι τέλειος κύβος. Το πενταπλάσιό του είναι τέλεια 5η δύναμη;
Αρχικά αποφάσισα να μην ασχοληθώ με το πρόβλημα αφού δεν είχα ασχοληθεί ποτέ με την Θεωρία Αριθμών, εκτός από το διάστημα που συμμετέχω εδώ,
ΑπάντησηΔιαγραφήαλλά στην πορεία έκανα την σκέψη ότι δεν πρέπει να είναι θέμα Διοφαντικής εξίσωσης που είχα υποθέσει αρχικά αλλά ο αριθμός να προκύπτει από παραγοντοποίηση δυνάμεων αριθμών αλλά ποιών αριθμών και ποιών δυνάμεων?
Ε, μετά από αυτήν την ερώτηση το θέμα της εύρεσης του ζητούμενου αριθμού έγινε σχετικά ευκολη υπόθεση.
Οι αριθμοί έπρεπε να είναι τουλάχιστον οι 2,3,5.
Ωραία με τους αριθμούς αλλά ποιες δυνάμεις?
Οι δυνάμεις έπρεπε να είναι τέτοιες που για τον κάθε πολλαπλάσιο του ζητούμενου αριθμού, διπλάσιο, τριπλάσιο, πενταπλάσιο οι δυνάμεις των άλλων δύο να καλύπτουν και να στηρίζουν τον καθένα από τους τρεις, την δύναμη του καθενός, δηλαδή η δύναμη του 2 έπρεπε να είναι πολλαπλάσιο του 3*5=15, η δύναμη του 3 να είναι πολλαπλάσιο του 2*5 και του 5 πολλαπλάσιο του 2*3, έτσι που να έχουμε σε κάθε περίπτωση και για τους 3 παράγοντες ταυτόχρονα και τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος και τέλεια 5η δύναμη
και μάλιστα η δύναμη του καθενός για τον ίδιο τον αριθμό να υπολείπεται κατά μία μονάδα έτσι που πολλαπλασιαζόμενος ο αριθμός είτε επί 2 τότε και ο ίδιος να γίνεται τέλειο τετράγωνο, δηλαδή το (2^15) επί 2 γίνεται 2^16(4^2), τέλειο τετράγωνο!
όσον αφορά το 3, το 2*5=10 και 1 ίσον 11 απορρίπτεται αφού δεν δίνει τέλειο κύβο, το επόμενο πολλαπλάσιο, το 2*10=20 και ένα 21, (^7)^3 τέλειος κύβος!
Και όσον αφορά το 5 το 2*3=6 και 1 ίσον 7 απορρίπτεται, δεν δίνει 5η δύναμη,
το 12 και 1 13 επίσης, όπως και τα άλλα πολλαπλάσια μέχρι τον αριθμό 4*6=24 και
1=25,(^5)^5 τέλεια 5η δύναμη!
Έτσι ο αριθμός που πρέπει να πληρεί τις προυποθέσεις
2^(3*5*α=2κ-1)*3^(2*5*β=3λ-1)*5^(2*3*γ=5μ-1)
όπου α,β,γ=1,2,.. και κ = 0mod2, λ=0mod3 και μ=0mod5
πρέπει να είναι ο 2^15*3^20*5^24 = 6810125783203125*10^15
α) (2^15*3^20*5^24)*2 = 2^16*3^20*5^24 = (2^8*3^10*5^12)2 = (36905625*10^8)^2
Β) (2^15*3^20*5^24)*3 = 2^15*3^21*5^24 = (2^5*3^7*5^8)^3 = 27337500000^3
γ) (2^15*3^20*5^24)*5 = 2^15*3^20*5^25 = (2^3*3^4*5^5)^5 = 2025000^5
Με κάποια επιφύλαξη αν είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος, αλλά δεν έχω χρόνο να το ψάξω περισσότερο προς το παρόν αλλά και μου αρκεί και ας μην είναι ο μικρότερος και φυσικά και με την επιφύλαξη λάθος πράξεων!
Κύριε Αλεξίου, πολλά άμα τε και θερμά συγχαρητήρια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση σας είναι ολόσωστη και ο αριθμός όντως ο μικρότερος δυνατός.
Συγκεντρώνω κάπως τη λύση:
Θέουμε να επαληθεύονται ταυτόχρονα οι εξισώσεις
(1) 2*N = μ^2
(2) 3*N = ν^3
(3) 5*N = κ^5
Για καθέναν από τους παρόγοντες των (1), (2) και (3), οι αντίστοιχοι εκθέτες πρέπει να είναι:
Για τον 2: περιττός, για να ικανοποιείται η(1).
πολλαπλάσιο του 3, για να ικαν. η (2).
πολλαπλάσιο του 5, για να ικαν. η (3).
Ο μικρότερος εκθέτης που πληρεί και τα τρία είναι το 15.
Για τον 3: άρτιος , για να ικανοποιείται η (1).
ένα λίγοτερο από πολλαπλάσιο του 3, για να ικαν. η (2).
πολλαπλάσιο του 5, για την (3).
Ο μικρότερος εκθέτης που πληρεί και τα τρία είναι το 20.
Για το 5: άρτιος , για να ικανοποιείται η (1).
πολλαπλάσιο του 3, για να ικαν. η (2).
ένα λίγοτερο από πολλαπλάσιο του 5,για την (3).
Ο μικρότερος εκθέτης που πληρεί και τα τρία είναι το 24.
Ο μικρότερος εκθέτης που ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις είναι
το γινόμενο των αποπάνω παραγόντων:
N = (2^15)*(3^20)*(5^24).
ΥΓ. Σας προτρέπω (αν έχετε χρόνο και διάθεση βεβαίως)να ασχοληθείτε και με τα προβλήματα συνδυαστικής (Το Πυργόνι και τα ορθογώνια της σκακιέρας μΧν) Είναι θεωρώ στο στυλ σας ,με την έννοια ότι δεν απαιτούν ιδιαίτερους τύπους ή υπολογισμούς, μόνο να ξέρει κάποιος να μετράει καλά :-)και να σκεφτεί out of the box! (μη συμβατικά)-σπιρτόζικα. :-)
Aλλωστε, όπως έλεγε και ένας παλιός μακαρίτης συνάδελφος (Heinrich Seidel):"Dem Ingenieur ist nichts zu schwer!" :-)
DANKE!
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα ασχοληθώ με το Πυργόνι!