"Οι Πιθανότητες και η Στατιστική κυριαρχούν, όταν βρισκόμαστε στην καθημερινότητά μας αντιμέτωποι με την αβεβαιότητα. Δηλαδή, σχεδόν πάντα!"
Pere Grima
Ο Γιώργος και ο Σωκράτης παίζουν το εξής παιχνίδι:
Ο Γιώργος διαλέγει μία ακολουθία μήκους 3, από: Κορώνα ή Γράμματα και μετά ο Σωκράτης διαλέγει μία διαφορετική ακολουθία μήκους 3.
Ένα «τίμιο» νόμισμα (p(Κορώνα)=p(Γράμματα)=0,5) στρίβεται διαρκώς και τα αποτελέσματα /ακολουθία καταγράφονται.
Ο πρώτος του οποίου η ακολουθία εμφανιστεί, είναι ο νικητής.
Για παράδειγμα, αν ο Γιώργος επιλέξει Κορώνα-Γράμματα-Κορώνα ή χάριν συντομίας ΚΓΚ και ο Σωκράτης διαλέξει ΓΚΓ , και η σειρά των ρίψεων είναι : ΓΓΚΚΓΚ..., τότε κερδίζει ο Γιώργος.
α) Αν ο Γιώργος επιλέξει ΚΚΓ και ο Σωκράτης ΓΚΚ, ποιος είναι ο πιθανότερος νικητής και με ποια πιθανότητα;
β) Αν ο Γιώργος επιλέξει ΚΚΓ και ο Σωκράτης ΚΓΚ, ποιος είναι ο πιθανότερος νικητής και με ποια πιθανότητα;
γ) Τι συμβαίνει γενικά; Υπάρχουν «καλές» και «κακές» επιλογές για τους δύο παίκτες;
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το γ) περιμένετε τώρα το ελέγχω
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήγ) Θα θελα να κάνω μια διόρθωση.Για τον 1ο παίκτη η καλύτερη επιλογή είναι να διαλέξει σαν πρώτη όψη οποιαδήποτε και ως 2η την αντίθετη
ΑπάντησηΔιαγραφήδηλ ΚΓΓ ή ΚΓΚ ή ΓΚΓ ή ΓΚΚ
ενώ για τον 2ο η καλύτερη επιλογή αντίθετη 1ο όψη από τον 1ο και αντίθετη 2η όψη από την 1η όψη που επέλεξε
Αν και οι 2 παίξουν βέλτιστα η πιθανότητα θα είναι πάντα 50-50
Διόρθωση
ΑπάντησηΔιαγραφήα) Ας δούμε πότε είναι νικηφόρος ο Γιώργος
Σημαντικές είναι οι 2 πρώτες ρίψεις
Μπορεί να είναι ένα από τα 4 ενδεχόμενα ΚΚ,ΓΓ,ΚΓ ή ΓΚ
Αν τύχει ένα από τα 3 τελαυταία (τουλάχιστον ένα Γ δηλαδή) τότε κατά 3/4 οι πιθαντότητες νίκης του είναι μηδαμινές
διότι για τα ΚΓ και ΓΓ εφόσον έχουμε Γ στην τελευταία ρίψη τότε ότι και να γίνει νικά ο ΓΚΚ(απλά μπορεί να καθυστερήσει)
Για να έχει ελπίδες νίκης πρέπει να έρθει ΚΚ στην 1η ρίψη
Άρα πιθανότητα νίκης Π=(1/4)*(1/2)+(1/4)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/4)*(1/2)^5+.....=(1/4)*((1/2)+(1/2)^3)+....)=....
Aκολουθία της οποίας πρέπει να βρεθεί το άθροισμα και είναι μικρότερη του 50
Αν πάρουμε προσσεγγιστικά μόνο τους 2 πρώτους όρους μια συντηρητική εκτίμηση είναι
1/8+1/32=5/32
Άρα ο Σωκράτης έχει 27/32 πιθανότητες να νικήσει
β)Εδώ οι πιθαντότητα των 2 είναι 50-50
Για τα ενδεχόμενα των 2 πρώτων ρίψεων ΓΓ και ΓΚ
οι πιθανότητες για νίκη στις επόμενες ρίψεις είναι 50-50 αφού και οι 2 έχουν σαν αρχικό όρος της ακολουθίας το Κ (αυτό είναι το κλειδί)
Αντίθετα για ΚΚ (1/4) ο Γιώργος έχει 50-50 στην επόμενη ρίψη και ομόίως για ΚΓ ο Σωκράτης
Άρα πλήρη συμμετρία
@donaltios:Για το α): 1/32 για τον Γιώργη...σαν λίγες δεν είναι ρε παλικάρι; :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΣκέψου το εξής απλό: H πιθανότητα να έρθει κατευθείαν η σειρά ΚΚΓ(ή οποιαδήποτε άλλη) είναι (1/2)^3=1/8 . Σύμφωνοι; Μπορεί ποτέ η ζητούμενη(για οποιονδήποτε από τους δύο και ανεξαρτήτως επιλογής τριάδας) να είναι μικρότερη;
Για το β)επίσης λάθος.
Το κλειδί είναι να εξετάσει κάποιος τα ενδεχόμενα μετά από τις 2 πιθανές ρίψεις ΠΡΙΝ την ρίψη που βγάζει νικητή (που σωστά είπες ότι είναι:KK KT TK TT.
To πρόβλημα είναι "λίγο" πιο δύσκολο απ'ό,τι ίσως δείχνει. Κάπου ,πρέπει να μπλέξει και λίγη Άλγεβρα,στον υπολογισμό της πιθανότητας..
Συστήνω πινακάκια και βήμα-βήμα εξέταση των ενδεχομένων. :-)
Το σχόλιο του donaltios :"Αν και οι 2 παίξουν βέλτιστα η πιθανότητα θα είναι πάντα 50-50" ισχύει, αλλά το βέλτιστο πρέπει να βρεθεί.
ΑπάντησηΔιαγραφήHint:Oι "βέλτιστες" επιλογές τριάδας (αν οι παίκτες επιλέξουν ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ, δηλ.χωρίς να ξέρει ο ένας την επιλογή του άλλου)είναι 4.
Συγγνώμη, διάβασα λίγο "λοξά" το γ) του donaltios.
ΑπάντησηΔιαγραφήTo σχόλιό σου όσον αφορά το γ) είναι σωστό στο σύνολό του! :-)
Όντως οι τριάδες: ΚΓΓ ή ΚΓΚ ή ΓΚΓ ή ΓΚΚ είναι οι βέλτιστες επιλογές για τους παίκτες.
(οπότε το hint στο από πάνω σχόλιο, ήταν..τζούφιο):-)
Mένει το α) και το β) (και μια πιο στέρεη δικαιολόγηση του γ))
Kύριε Γιώργο :-) το πρόσεξα ότι το ένα 1/32 δε στέκει και το είχα ξαναστείλει σα σχόλιο.Δεν εμφανίστηκε?
ΑπάντησηΔιαγραφήΦαντάζομαι δεν τον εμφανίσατε νομίσατε ότι είναι το ίδιο σχόλιο.Δεν ξέρω αν είναι σωστό αλλά είχα διορθώσει έγκαιρα το 1/32 ώστε να είναι>1/8 όπως λέτε...
ΑπάντησηΔιαγραφήβ) Για το β) η διόρθωση είναι
ΑπάντησηΔιαγραφήέχουμε ΚΚΓ και ΚΓΚ
Η πιθανότητα να κερδίσει ο Γιώργος ή ο Σωκράτης(συμμετρικές σωστά?)
προκύπτει ως άθροισμα όρων ακολουθίας ως εξής
(1/4)*(1/2)+(1/4)*(1/2)^3+(1/4)*(1/2)^5+....(αναφερόμαστε στην πιθανότητα να έρθει ΚΚ)
+(1/4)*(1/2^4)(αναφερόμαστε στην πιθανότητα να έρθει ΚΓ)+ (1/2)*((1/2)^3+(1/2)^5+.....)(αναφερόμαστε στην πιθανότητα να έρθει ΓΓ ή ΓΚ)
Σωστή η λογική?*(η άλγεβρα φαντάζομαι μπλέκει στον υπολογισμό αθροίσματος των σειρών)
Kαι όμως στο β) οι πιθανότητες δεν είναι οι ίδιες.Αυτό που τις διαφοροποιεί είναι ο όρος που αναφέρεται στην περίπτωση νίκης εάν έρθουν οι 2 πρώτες ευνοικές ρίψεις για τον αντίπαλο.Για τον Γιώργο η πιθανότητα νίκης είναι
ΑπάντησηΔιαγραφή+(1/4)*(1/2)^4
ενώ για τον Σωκράτη
+(1/4)*(1/2)^3 δηλαδή αυτός έχει λίγο μεγαλύτερη πιθανότητα
donaltie, γράφω βιαστικά λόγω πίεσης χρόνου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΛάθος οι πιθανότητες, στο β) ο Γιώργος έχει περισσότερες από τον Σωκράτη.
ΥΓ. Τα σχόλια δεν τα ελέγχω εγώ,αλλά ο κος Ρωμανίδης.
Δίνω μια βοήθεια:
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο παιχνίδι περιγράφεται για κάθε χρονική στιγμή ΠΡΙΝ από το στρίψιμο που αποφασίζει τον νικητή, πλήρως από τις 2 τελευταίες ρίψεις που μπορεί να είναι
..,ΚΚ , ΚΓ, ΓΚ, ή ΓΓ.
Η επόμενη ρίψη καθορίζει τον νικητή . Σημειογραφικά/εποπτικά βάζω το σημάδι (γ) και (σ) για τους Γιώργο και Σωκράτη αντίστοιχα στην νικητήρια τριάδα τους.
Άρα για το α)ερώτημα , έχουμε το εξής πινακάκι:
O (Γ) επιλέγει ΚΚΓ και ο (Σ) επιλέγει ΓΚΚ
2 τελευταίες ρίψεις: KK KΓ ΓΚ ΓΓ
Νέα ρίψη: K : KK ΓΚ ΚΚ(σ) ΓΚ
Ν.ρίψη: Γ : KΓ(γ) ΓΓ ΚΓ ΓΓ
Βλέπουμε λοιπόν ότι 2 αλλαγές (μία για κάθε παίκτη) από τις «2 τελευταίες ρίψεις ΠΡΙΝ» στις «2 τελευταίες ρίψεις ΜΕΤΑ» βγάζουν νικητή.
Οι πιθανότητες να κερδίσει ο Γιώργος όταν οι πρώτες 2 ρίψεις είναι ΚΚ, ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ, έστωσαν
x, y,z,w αντίστοιχα. Και οι 4 περιπτώσεις έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν που είναι 1/4.
Άρα, η ΑΡΧΙΚΗ(πριν την έναρξη του παιχνιδιού) πιθανότητα να κερδίσει ο Γιώργος είναι (x+y+z+w)/4
Επομένως ,όσο δεν υπάρχει νικητής, η επόμενη ρίψη παράγει τις εξισώσεις (βάσει του Πίνακα πιο πάνω!):
x=(1/2)x +(1/2)*1 [για την 1η στήλη]
... (η συνέχεια επί της οθόνης)
α)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια τον πίνακα
2 τελευταίες ρίψεις: KK KΓ ΓΚ ΓΓ
Νέα ρίψη: K : KK ΓΚ ΚΚ(σ)ΓΚ
Ν.ρίψη: Γ : KΓ(γ ΓΓ ΚΓ ΓΓ
1η στήλη x=(1/2)*x +(1/2)*1 (1)
2η στήλη y=(1/2)*z +(1/2)*w (2)
3η στήλη z=(1/2)*0 +(1/2)*y (3)
4η στήλη w=(1/2)*z +(1/2)*w (4)
Άρα έχουμε σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους
χ=1,z=0,5y ,w=z,y=z
Άρα προκύπτει y=z=w=0
Άρα πιθανότητα νίκης γιώργου= χ/4=1/4
β) Με την ίδια λογική το πινακάκι εδώ είναι
για ΚΚΓ(γ) και ΚΓΚ(σ)
2 τελευταίες ρίψεις: KK KΓ ΓΚ ΓΓ
Νέα ρίψη: K : KK ΓΚ(σ) ΚΚ ΓΚ
Ν.ρίψη: Γ : KΓ(γ)ΓΓ ΚΓ ΓΓ
1η στήλη x=(1/2)*x +(1/2)*1 (1)
2η στήλη y=(1/2)*0 +(1/2)*w (2)
3η στήλη z=(1/2)*x +(1/2)*y (3)
4η στήλη w=(1/2)*z +(1/2)*w (4)
w=z=10/15
x=1 και y=10/30
άρα η πιθανότητα του γιώργου ε΄δω είναι
π=2/3=66%
γ)Οι πιθανότητες που συμφέρουν όπως προαναφέρθηκε είναι
ΚΓΓ ή ΚΓΚ ή ΓΚΓ ή ΓΚΚ
2 τελευταίες ρίψεις: KK KΓ ΓΚ ΓΓ
Νέα ρίψη: K : KK ΓΚ ΚΚ ΓΚ
Ν.ρίψη: Γ : KΓ ΓΓ ΚΓ ΓΓ
Λογικά αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα του πίνακα μεγιστοποιείται όταν το 0 και το 1 βρίσκονται στις 2 κεντρικές στήλες του συγκεκριμένου πίνακα
@donaltios:Πολύ σωστά για α)και β) !
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το γ) δείτε και το πινακάκι με όλες τις δυνατότητες (στις σειρές οι πιθαν. Γιώργου & στήλες οι πιθαν. Σωκράτη, ανά τριάδα) Ελπίζω να εμφανιστεί σωστά ο πίνακας
ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
ΚΚΚ ∗ 1/2 3/5 3/5 7/8 7/12 7/10 1/2
ΚΚΓ 1/2 ∗ 1/3 1/3 3/4 3/8 1/2 3/10
ΚΓΚ 2/5 2/3 ∗ 1/2 1/2 1/2 5/8 5/12
ΚΓΓ 2/5 2/3 1/2 ∗ 1/2 1/2 1/4 1/8
ΓΚΚ 1/8 1/4 1/2 1/2 ∗ 1/2 2/3 2/5
ΓΚΓ 5/12 5/8 1/2 1/2 1/2 ∗ 2/3 2/5
ΓΓΚ 3/10 1/2 3/8 3/4 1/3 1/3 ∗ 1/2
ΓΓΓ 1/2 7/107/12 7/8 3/5 3/5 1/2 ∗
Από τον ολικό πίνακα προκύπτει ότι για να έχει μια πιθανότητα νίκης τουλάχιστον 1/3, ο Γιώργος που επιλέγει πρώτος, πρέπει να επιλέξει μεταξύ των:
ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ και ΓΚΓ (γιατί σ'αυτές τις στήλες υπάρχουν οι μεγαλύτερες "μίνιμουμ" τιμές του)
Τότε ο Σωκράτης πρέπει να επιλέξει ΚΚΓ (για τις επιλογές ΚΓΚ ή ΚΓΓ του Γιώργου) ή ΓΓΚ (για τις επιλογές ΓΚΚ ή ΓΚΓ του Γιώργου), ώστε να ΜΗΝ δώσει πιθανότητα νίκης στον Γιώργο > 1/3
Αν οι επιλογές γίνουν ανεξάρτητα, και ο Γ. και ο Σ.
μπορούν να επιλέξουν μεταξύ των ΚΓΚ,ΚΓΓ,ΓΚΚ καιΓΚΓ και να έχουν από 1/2 πιθανότητα νίκης ο καθένας.
@Ριζόπουλος
ΑπάντησηΔιαγραφήΩραίο πρόβλημα!Εγώ το πήγαινα με άθροισμα σειρών εξαρχής αλλά λυνόταν πιο απλά.Ξέρετε αν λύνεται και με το αρχικό μου σκεπτικό?Έλεγα να προσπαθήσω να το λύσω και έτσι...Στο πρόβλημα με το ολοκλήρωμα έκανα κάποιους μετασχηματισμούς και ούτε εγώ μπορούσα να το λύσω.Καλύτερα που με απαλλάξατε από τον κόπο