"Aρχή, ήμισυ παντός"
Πλάτων
Στο μέσον μιας πλευράς, σε ένα τετράγωνο βοσκοτόπι πλευράς α, είναι δεμένη μία αγελάδα. Ποιο πρέπει να είναι το μήκος του σκοινιού της, συναρτήσει της πλευράς α, ώστε να μπορεί να βοσκήσει το μισό εμβαδόν του τετραγώνου;
Προφανώς το σχήμα που περικλείει το μισό εμβαδόν είναι κομμάτι κυκλικού τόξου έτσι?
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό που συμπεραίνω είναι ότι έχουμε
την εξίσωση α^2/2=Integr από 0 εώς φ (r^2/2*dφ)
όπου r είναι το ζητούμενο μήκος-ακτίνα και
(r^2/2)*dφ είναι το εμβαδό ενός στοιχειώδούς κυκλικού τόξου γωνίας dφ
Φαντάζομαι ότι πρέπει να εκφραστει το dφ συναρτήσει του α.Ως εδώ σωστή λογική?
Υ.Γ.Αν γίνεται μη δώσετε τη λύση στο γρίφο με το κέρμα.Θα το ξαναπροσπαθήσω με τα νέα δεδομένα
@ donaltios: Η λογική σωστή, αλλά δύσκολα θα βγάλεις άκρη με πολικές συντεταγμένες (και πώς θα βρείς τα όρια του ολοκληρώματος ;) Καλύτερα, να εκφράσεις τον κύκλο καρτεσιανά που βολεύει και για τα όρια του ολοκληρ. σε σχέση με το τετράγωνο. Επίλεξε κατάλληλη αρχή των αξόνων (κάπου πάνω στο τετράγωνο) και εξίσωση κύκλου y=sq.rt(r^2 - x^2)...
ΑπάντησηΔιαγραφήΘεωρούμε την αρχή των αξόνων στο κέντρο της πλευράς που είναι στερεωμένο το σκοινί
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχουμε 2*integr(0 εώς α/2)sqrt(r^2 - x^2)*dx=α^2/2
Αφού το r σταθερά:
2*{2*(r^2 - x^2)^(3/2)}(0 εώς α/2)=α^2/2
(r^2 - (α/2)^2)=(α^2/8)^(2/3)
Άρα r=sqrt((α/2)^2)+(α^2/8)^(2/3))
@donaltios:Η εξίσ. r=sqrt((α/2)^2)+(α^2/8)^(2/3)) απλοποιείται στην r=(3/4)α που είναι λάθος(πολύ μεγάλο
ΑπάντησηΔιαγραφήr)
Tα όρια ολοκλήρωσης και η λύση του ολοκληρώματος είναι λάθος.
Δεν έκανα σωστή επιλογή της αρχής των αξόνων?
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ τώρα που το ξαναείδα κατάλαβα τι λέτε.Σόρυ:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροσπέρασα το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι σύνθετο και χρειάζεται κάποιος μετασχηματισμός άρα αλλάζουν και τα όρια:-)
Αρχή αξόνων στο σημείο δεσίματος.
ΑπάντησηΔιαγραφήα^2/2=Ολοκλ(από -α/2 ώς α/2)sqrt(r^2-x^2) dx
α^2/2 = [x*sqrt(r^2-x^2)/2+r^2*arcsin(x/r)/2]
(από -α/2 ώς α/2)
Με την αντικατάσταση: r=α*κ , προκύπτει η:
4*κ^2*arcsin(1/[2*κ]) + sqrt(4*κ^2-1) - 2 = 0
1 = 2κ*sin([2-sqrt(4*κ^2-1)]/[4*κ^2])
Αυτή δεν λύνεται αλγεβρικά (ή τουλάχιστον, δεν μπορώ εγώ να την λύσω αλγεβρικά..)και με χρήση υπολογιστή (excel)βρίσκω κ=0,58282216..
Άρα: r=0,58282216*α
Βλεπω οτι με προλαβε ο κ.Ριζοπουλος ως προς την πρωτη λυση, οποτε καταθετω και μια δευτερη θεωρωντας το ιδιο συστημα αξονων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ΑΒΓΔ το βοσκοτοπι, Η το μεσον της ΑΒ, Θ και Ι τα σημεια τομης του κυκλου (Η,ρ) με τον αξονα Ηψ και την πλευρα ΒΓ αντιστοιχα και <)ΙΗΒ=ω, τοτε:
ρ = α/2*συν(ω)
Ετριγ(ΗΙΒ)= (1/2)*ρ*(α/2)*ημ(ω)= (α^2)*εφ(ω)/8
Εκυκλ.τομ.(ΗΙΘ)=(1/2)*(ρ^2)*(π-2*ω)/2=
=(α^2)*(π-2ω)/16(συνω)^2
Το αθροισμα των δυο εμβαδων πρεπει να ισουται με (α^2)/4. Μετα τις πραξεις καταληγουμε στην εξισωση:
π-2ω+ημ(2ω)=4(συνω)^2
Μια γρηγορη προσεγγιστικη λυση,(αν δεχθουμε οτι: χ=ημχ, οταν οι γωνιες ειναι σε ακτινια):
συνω= sqrt(π)/2, οποτε: ρ=0,564189*α
ΥΓ. Βρηκα στα κιταπια μου παρομοια ασκηση με το βοσκοτοπι να ειναι κυκλικο, παρομοια και η λυση του, για οποιον ενδιαφερεται.
Αν ρ είναι η ακτίνα (μήκος σχοινιού) και α είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε ρ=α*sqrt(2/π). Το αποτέλεσμα βγαίνει αν κάνουμε το ολοκλήρωμα του κ. Ριζόπουλου μόνο που τα όρια ολοκλήρωσης δεν είναι από -α/2 έως α/2 αλλά από -ρ/2 έως ρ/2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν α η πλευρά και ρ το μήκος του σχοινιού, τότε ρ=α*sqrt(2/π). Το αποτέλεσμα βγαίνει αν κάνουμε το ολοκλήρωμα που έχει γράψει ο κ. Ριζόπουλος αλλά με όρια ολοκλήρωσης από -ρ/2 έως ρ/2 και όχι από -α/2 έως α/2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚύριε Νούσιο, γιατί όρια από -ρ/2 ώς ρ/2 ;
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάς ενδιαφέρει η περιοχή MEΣΑ στο τετράγωνο (με κορυφές στα:(0,α/2), (-0,-α/2), (α,α/2)και
(α,-α/2) αλλά ΚΑΤΩ από τον κύκλο:y=sqrt(r^2-x^2).
Τα όρια ολοκλήρωσης είναι από -α/2 ώς α/2.
ΥΓ. Άλλωστε και σε ένα απλό μιλιμετρέ χαρτί να βάλουμε το αποτέλεσμά σας (ρ=α*sqrt(2/π)) ή ρ=0,7978..*α είναι φανερό ότι το εμβαδόν αυτό είναι πολύ μεγαλύτερο από το μισό του τετραγώνου.
@Voulagx: Ενδιαφέροντα ακούγονται τα κιτάπια σου,αγαπητέ! Για στείλε τίποτις!:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΚύριε Ριζόπουλε έχετε απόλυτο δίκιο. Είναι αλήθεια ότι πήγα να λύσω επιπόλαια το πρόβλημα. Η απάντηση είναι αυτή που δίνετε.
ΑπάντησηΔιαγραφή@RIZOPOULOS GEORGIOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολυ ευχαριστως! Για αρχη το παρομοιο προβλημα που αναφερω στο προηγούμενο σχόλιό μου:«Σε σημειο της περιφέρειας ενός κυκλικού βοσκοτοπου ακτινας r ειναι δεμενο με σκοινι ενα κατσικι (κιντ που λεμε στα ελληνικος για να καταλαβαινομαστε).Ποιο πρεπει να ειναι το μηκος του σκοινιου ωστε το κατσικι να βοσκησει τον μισο βοσκοτοπο;»
Για περισσοτερα ... συχναζω στο τζιμαιλντοτκομ.