"Πρέπει να νιώθουμε όλοι ευγνωμοσύνη που έχουμε τα Μαθηματικά. Για παράδειγμα, χωρίς Μαθηματικά, θα ήταν σχεδόν αδύνατον να υπολογίσει κάποιος πόσο μεγάλο φιλοδώρημα πρέπει ν'αφήσει. Ακόμη και με χρήση Μαθηματικών, είναι πολύ δύσκολο αυτό!
Ο μαθηματικός τύπος του φιλοδωρήματος, ο οποίος ανακαλύφθηκε από τον Σερ Ισαάκ Νεύτωνα, λέει ότι το φιλοδώρημα ισούται με το 15% του ποσού του λογαριασμού, αλλά φευ!...ο λογαριασμός είναι πάντα 17,43 δολάρια, και κανείς δεν έχει την παραμικρή ιδέα πόσο είναι το 15 τοις εκατό του 17,43.
Τα λαμπρότερα μυαλά της χώρας δουλεύουν για χρόνια πάνω σ'αυτό το πρόβλημα,χρησιμοποιώντας μεγάλους υπολογιστές, και ακόμη δεν έχουν καταλήξει σε λύση.
Έτσι οι περισσότεροι από 'μάς καταλήγουμε ν'αφήνουμε ένα τυχαίο φιλοδώρημα ,συνήθως 3,50 δολάρια, το οποίο ενίοτε προσαυξάνουμε ελαφρώς, αν ο σερβιτόρος έχει προσφέρει κάποια έξτρα υπηρεσία, όπως ας πούμε να μην έχει φτύσει στο πιάτο μας πριν το σερβίρει.
Κι αυτός είναι ΜΟΝΟ ΈΝΑΣ τρόπος που χρησιμοποιούμε τα Μαθηματικά στην καθημερινή μας ζωή.."
Πέρα από τη χιουμοριστική του πλευρά, το παραπάνω κείμενο με έβαλε στην προσφιλή μου (άχρηστη, σύμφωνα με κάποιους άσπονδους φίλους μου..) διαδικασία της εξεύρεσης αναλογίας και ηθικού διδάγματος...
Κατέληξα λοιπόν ότι η Νευτώνεια "Μέθοδος υπολογισμού Φιλοδωρήματος και πρακτικές εφαρμογές προσέγγισης αυτού" δεν είναι τίποτε άλλο παρά η περίφημη, αν και σχετικά άγνωστη:
Μέθοδος της εσφαλμένης θέσης (regula falsi) των αρχαίων Aιγυπτίων! Ή, για να ακριβολογούμε, του γραφέα A’hmose ή Αχμές, αντιγραφέα του διάσημου πάπυρου Rhind. Στη μέθοδο της εσφαλμένης θέσης, υπολογίζουμε το αποτέλεσμα έχοντας πρώτα υποθέσει μια τιμή για τον άγνωστο. Το πρόβλημα υπ’αριθμ.24 του πάπυρου (έχω ειδική πρόσβαση στον γνήσιο πάπυρο που έχει στην κατοχή του απόγονος του Alexander Henry Rhind και τον μελετώ κατά βούληση. Αυτός που είναι στο βρετανικό μουσείο είναι απομίμηση ,να ξέρετε!) έχει ως εξής:
« Να βρεθεί ο αριθμός που προστιθέμενος στο έν έβδομό του δίνει αποτέλεσμα 19».
Με τις μεταγενέστερες γνώσεις του κυρίου Αλγόριθμου (κατά κόσμον Αλ Κουαρίζμι) το πρόβλημα θα ισοδυναμούσε με την απλή γραμμική εξίσωση: x+(1/7)x=19.
Με τις μεταγενέστερες γνώσεις του κυρίου Αλγόριθμου (κατά κόσμον Αλ Κουαρίζμι) το πρόβλημα θα ισοδυναμούσε με την απλή γραμμική εξίσωση: x+(1/7)x=19.
Πφφ..σιγά τα ωά!,και σιγά το πρόβλημα!..θα έλεγε κάποιος. Κι ένα μικρό παιδί θα έλυνε σήμερα αυτή την απλούστατη πρωτοβάθμια εξίσωση. Ναι! Αλλά η κάθε εποχή έχει τα εργαλεία και τις μεθόδους της, και ο Αχμές ,που δεν είχε το εργαλείο της Άλγεβρας, το λύνει ως εξής:
Να πούμε καταρχάς ότι οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν/γνώριζαν μόνο τα μοναδιαία κλάσματα, δηλαδή κλάσματα με αριθμητή το 1. Υποθέτει αρχικά μια τιμή για τον άγνωστο ,έστω 7, και κάνει την ακόλουθη πράξη: 7 + 7*(1/7)=8. Καθώς το αποτέλεσμα δεν είναι το 19, ψάχνει να βρει με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσει το 8 για να βγάλει 19, δηλαδή διαιρεί το 19 με το 8, και σύμφωνα με την αιγυπτιακή μέθοδο έχουμε:
8 X 2 … 16
8 X 1/4 ……2
8X 1/8…..1
Καταλήγει λοιπόν ότι: 19/8 =2+(1/4)+(1/8).
Έτσι, αν πολλαπλασιάσει το 7 με το [2 + (1/4) + (1/8)], παίρνει 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8. Σήμερα θα γράφαμε 16 + 5/8 ή 16,625 (ιδανικός αριθμός για Νευτώνειο υπολογισμό τιπ!)
Όπερ έδει δείξαι! Ή ,όπως λέγανε στην εποχή του Αχμές «Σεεν κεμετ Α’μοσεε» («πάλι τυχερός ο Αχμές!» ) Γιατί ,για να βρεις σωστή λύση έτσι, πρέπει να είσαι λίγο τυχερός!
Αυτή είναι λοιπόν, σε αδρές γραμμές, η regula falsi των αρχαίων Αιγυπτίων και πριν χαμογελάσουμε όλοι μας με συγκατάβαση, ας σκεφτούμε ότι οι προσεγγιστικές και ευριστικές μέθοδοι στην Αριθμητική και σε όλα τα πεδία εφαρμοσμένων Μαθηματικών, υπάρχουν και αναπτύσσονται και στις μέρες μας.
Σίγουρα η μέθοδος του Αχμές που αναπτύχτηκε πιο πάνω, φαντάζει σήμερα παιδαριώδης και αφελής, αλλά στην εποχή της ήταν Ανακάλυψη!
Κι όπως έλεγε και ο Όϋλερ « δεν με νοιάζει τόσο ν’ αποδείξω, όσο το ν’ ανακαλύψω!»
Δηλαδή, δεν το είπε αυτό ακριβώς έτσι …αλλά το εννοούσε! Αλλά αυτό είναι μια ολόκληρη άλλη ιστορία…
Γιώργος Ριζόπουλος ,Λεμεσός 2013
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου